1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Математический маятник ОМ длины 1 в начальный момент отклонен от положения равновесия ОА на некоторый с -. угол а и имеет скорость, равную Я 33.8. Точка, находящаяся на широте А, брошена в западном направлении под углом св к горизонту с начальной скоростью оо. Определить время и дальность полета точки. 2ое мп а 2ое 31п а т 2азоасовЛсова) Ответ: 1= В + 2азоа сов А сов а оовв!п2а ооваз совА 31п а(16 в1пв а — 12) д + зев где ов — угловая скорость вращения Земли. 33.9(33.9). Шарик массы вв, прикрепленный к концу горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с, находится в положении равновесия в трубке на расстоянии а от вертикальной оси. Определить относительнае движение шарика, если трубка, К задаче 3339 К задаче 33.9 образующая с осью прямой угол, начинает вращаться вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью 93.
Ответ: В системе координат, начало которой совпадает с точкой равновесия шарика, ва /~,в а езао х=,, (с11 11'сов — 131 — 1) при Й= ~/ — (со. 33.10(33.10). Горизонтальная трубка СО равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью ов. Внутри трубки находится тело М. Определить скорость о тела относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент о = О,х = хо, длина трубки равна В.
Трением пренебречь. Ответ: о =,~à — х~~со. 33.11(33.11). В условиях предыдущей задачи определить время движения тела в трубке. 1 Ь+ ~/Ав — х,', Ответ: Т= — 1и ез ха 33.12(33.12). В условиях задачи 33.10 составить дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент трения скольжения между телом и трубкой равен 1.
о % г — ~* 1~/Р гтег: Р* у у х ( О, нижнему х ) О. 33.13(33.13). Кольцо движется по гладкому стержню АВ, который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А, делая один оборот в секунду; длина стержня 1 м; в момент Г = 0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца А и имело скорость, равную нулю.
Определить момент гь когда кольцо сойдет со стержня. Ответ: Г1 — — — ! и 3 = 0,175 с. 1 2я 33.14(33.14). Трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью оо вокруг вертикальной оси СО, составляя с ней неизмен- ный угол 45'. В трубке находится тяжелый р' шарик М. Определить движение этого шарика относительно трубки, если начальная скооз' ~ Ю рость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а. Трением пренебречь. Г о Ответ: ОМ = — ! а — — о) (еол"'о~о + !У Я~7Я~ о о о 2 оо ,-о,о со/Г) ! мо А 33.15(33.15).
Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимости от широты места ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли ?? = 6370 км. Ответ: Если пренебречь членом с оо4 ввидр его малости, то я, =д(! — ), или д1 — — 9,81(! — ), где д — ускорение силы тяжести на полюсе, ~р — географическая широта места. 33.16(33.16). Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находящаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Радиус Земли Я = 6370 км. Ответ: В 17 раз. 33.17(33.17).
Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории (т. е. по траектории, которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость снаряда во время движения оо —— 900 м/с. Снаряд должен поразить цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте ? = 60'. Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину в = <опого зйп Х = = 22,7 м независимо от направления стрельбы. 33.18(33.18). Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север-юг.
Считая отклонения 260 маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью запад-восток. Маятник расположен на 60' северной широты. Огеег: Т= 13,86(0,5+ й) часов, где й = О, 1, 2, 3, ... 33.19.
Тяжелая точка может двигаться без трения по вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью а. Радиус кольца равен Я. Найти положение равновесия точки и определить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия она получит малую скорость в, по касательной вверх. Ответ: Положение равновесия соответствует углу <рз —— вЧ~ ' =агссоз —, отсчитываемому от нижнего положения точки на круге. Точка, получившая малую скорость по, будет совершать малые колебания около положения равновесия согласно уравнеэр ° ч/в'Р— л нию: <р = — ' з(п йд где й = дь ' ад 33.20. Пружинный вибродатчик используется для измерения вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора крепится пружина с коэффициентом жесткости с = 17,64 кН/м.
К пружине прикреплен груз массы ш = 1,75 кГ. Амплитуда относительного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи прибора. Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Какова амплитуда вибрации поезда? Ответ: Максимальное вертикальное ускорение поезда равно и ,„ = 1237 см/сз. Амплитуда вертикальных колебаний поезда равна: а =12,37 см. 33.21. Виброметр используется для определения вертикальных колебаний одной из частей машины.
В подвижной системе прибора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виброметра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота колебаний виброметра — 6 Гц, частота колебаний вибрирующей части машины в 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, максимальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части машины? Ответ: Амплитуда колебаний равна а =0,04 см, максимальная скорость равна о = 0,5 см/с, максимальное ускорение равно ш„= 6,316 см/сз.
33.22. Груз массы т = 1,75 кг подвешен внутри коробки на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с = =0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вертикальном направлении. Уравнение колебаний стола х = = 0,225 з(п Зг см. Найти абсолютную амплитуду колебаний груза. Ответ: к = 0,2254 см. ГЛАВА Х динлмикл млтприлльнои систпмы ф 34.
Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел 34.1(34.1). Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изображенный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных под углом 120' друг к другу. Определить положение центра масс коленчатого вала, считая, что массы колен сосредоточены в точках А, В и О, причем тд = тз — — то = т, и пренебрегая массами остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке. Ответ: Центр масс совпадает с началом координат О.
К задаче ЭЕЗ 34.2(34.2). Найти уравнения движения центра масс шарнирного параллелограмма ОАВОь а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа ОА с постоянной угловой скоростью в. Звенья параллелограмма — однородные стержни, причем ОА = ОЗВ = АВ/2 = а. з з Ответ: хс = а + — а соз вг, Ус = — а зйп 331; УРавнение тРаек- /3 з торин (хс — а)2+ уес = ~ — а) — окружность радиуса — а с центром в точке К с координатами (а, О). К задаче 33.2 К задаче 33.3 34.3(34.3). К ползуну 1 массы Мч посредством тонкой невесомой нити прикреплен груз П массы М2.
При колебаниях груза по законУ зР =чРе3!п 331 ползУн скользит по неподвижной гоРизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна ззз х,=((1), считая, что в начальный момент (1=0) ползун находился в начале отсчета О оси х. Длина нити равна 1. Ответ: х,= — 13!п(фе ьйп е1).
Мз 4+ Мз 34.4(34.4). Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из шаров А и В равна Мь масса муфты 0 равна М3. Шары А и В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь. Ответ: хс = О, ус = 2 1 сов ф. м +м 2М1+ Мз 34.5(34.5). Определить траекторию центра масс механизма зллипсографа, состоящего из муфт А и В массы М4 каждая, криво- шипа ОС массы Мд и линейки АВ массы 2М3, дано: ОС =АС = = СВ = 1.
Считать, что линейка и кривошип представляют однородные стержни, а муфты — точечные массы. К задаче 34.3 К задаче М.е К задаче 34.3 Ответ: Окружность с центром в точке О и радиусом, равным 4М4+ ЗМз 1 зм,+зм, з ' 34.6. К вертикальному валу АВ прикреплены два одинаковых груза Е и О с помощью двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней ОЕ = ОО = г. Массами стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами. Найти положение центра масс С системы, а также центробежные МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ Х „13з, Уза. Ответ: С(4(ег, Чдг, 0), Узз = Уда — — Узд = О.
34.7(34.8). Вычислить момент инерции стального вала радиуса 5 см и массы 100 кг относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром. Ответ: 3750 кг смз. 34.8(34.9). Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска массы М и радиуса г относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск. ,Отеет: Мгд/4. 34.9(34.10).
Вычислить осевые Х и Х„моменты инерции изображенной на рисунке однородной прямоугольной пластинки массы М относительно осей х и у. Ответ: Х„= з/3Мад, У„= а/3М33. К задаче М.Ю К задаче 34.9 К задаче ЗЗЛ! 34 10(34.11). Вычислить моменты инерции изображенного на рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы М относительно осей х, у и г. Ответ: Х„= — (а'+ 4сд), Х„= — (33+ 4сд), Х,= — (а'+ Ьд). з з з 8 34.11(34.12). В тонком однородном круглом диске радиуса Р высверлена концентрическое отверстие радиуса г.
Вычислить момент инерции этого диска массы М относительно оси а, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска. Ответ: Хд = 2 (Хчз + ! ). М 34.12(34.13). Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки массы М, имеющей форму равнобедренного треугольника с высотой Х3, относительно оси, проходящей через ее центр масс С параллельно основанию. ,э Ответ: — МУ!3. 1 18 34.13. Однородная металличе- Ю ская пластинка выполнена в виде К задаче И.!3 к - .„ 3з,!3 равностороннего треугольника. Масса пластинки равна М, длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относительно оси а, проходящей через ее вершину параллельно основанию. Ответ: Х = — МР. з 34.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
