1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 46
Текст из файла (страница 46)
С какой скоростью точка проходит через середину хорды? Ответ: х = 34,6 соз 71 см, х = ~242 см/с. 32.49(32.49). К стержню АВа массой которого пренебречь, прикреплены три пружины. Две, с жесткостью сз и с,, удерживают стержень и расположены на его концах. Третья пружина, жесткость которой сз, прикреплена к середине стержня и несет груз Р массы т. Определить собственную частоту коЛебаний груза. Ч сз(4с| сз + с1 сз + сз сз) 32.50(32.50).
Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости с =1,96 кН/м, совершает колебания. Определить полную механическую энергию груза и пружины, пренебрегая массой пружины, построить график зависимости упругой силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию пружины. Принять положение статического равновесия за начало отсчета потенциальной энергии.
Ответ: Т = '/,тх~+ '/ ехз =(5х'+ 980х') Дж, если х — в м, х — в м/с. Заштрихованная на рисунке площадь равна потенциальной энергии пружины. 32.51. Материальная точка массы т находится в поле действия силы с потенциалом П= '/ й(хе+ 4уз+ 16хз) Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) начального положения через некоторое время точка снова придет в это положение. Определить это время.
Будет ли скорость при возвращении равна начальной скорости) Ответ: Т =2я ЧГт/й. Скорость точки через промежуток времени Т станет равной своему начальному значению. 32.52. Материальная точка массы т находится в поле действия силы, потенциал которой П= /,й( +2уз+5хг) Вернется ли точка в этом случае в исходное положение по' прошествии некоторого времени? Ответ: Нельзя указать момента времени, когда все три координаты примут исходные значения.
Точка в процессе сложения трех колебательных движений не вернется в исходное положение. б) Влияние сопротивления на свободные колебания 32.53(32.51). Пластина Р массы 100 г, подвешенная на пружине АВ в неподвижной точке А, движется между полюсами магнита. Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна япФз Н, где 5=0,001, о — скорость в м/с, Ф вЂ” магнитный поток между полюсами У и В.
В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута. Удлинение ее А на 1 м получается прн статическом действии В силы в 19,6 Н, приложенной в точке В. ОпреЮ делить движение пластинки в том случае, когда Ф= 10 1/5 Вб (вебер — единица магнитного потока в СИ). Ответ: х= — е зм(0,05соз13,77г+ +0,00907зш13,771) м, где ось х направлена вниз из положения статического равновесия к задачам э2.53 и м.64 центра тяжести пластинки.
32.54(32.52). Определить движение пластинки Р при условиях предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф =, =!00 Вб. Ответ: х = — 0,051е-з'+ 0,001е-~'. 32.55(32.53). Цилиндр веса Р, радиуса г и высоты й подвешен иа пружине АВ, верхний конец которой В закреплен; цилиндр погружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину своей высоты. В начальный 6 момент времени цилиндр был погружен в воду на '/2 своей высоты и затем без начальной скорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно положения равновесия. Принять удельный вес воды равным у. А 1 Ответ: х = — й соз яг, где й2 = р (с + иуг2). 32 56(32.54).
В предыдущей задаче опреде-:: — г лить колебательное движение цилиндра, если СОПРотнВЛЕНИЕ ВОДЫ ПРОПорпноиаЛЬНО ПЕРВОЙ К задаче 222В степени скорости и равно ссп. Ответ: Движение цилиндра будет колебательным, если Тогда — — аз х = 5. т/ —,, е "' 21П ( 1/Й2 — и21+ 1)), с исз а ~/а' — ззг Р где аа= — + — у, и= —, 186=, т= —.
аз зд ' зм ' д ' д' 32.57(32.55). Тело А массы 0,5 кг лежит на негладкой горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения тела о плоскость 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на 1 см требуется сила 2,45 Н. Тело А отодви- А путо от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено без начальной скорости. К задаче 22.27 Найти: 1) число размахов, которые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжительность Т каждого из них.
Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее. Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т = =0,14 с. 32.58(32.56). Груз массы М = 20 кг, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сообщилн ему начальную скорость пе — — 0,5 м/с, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения 1= 0,08, коэффициент жесткости пружины с= 20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, а = 45'. Определить: !) период колебаний, 2) число максимальных отклонений от положения равновесия, которые совершит груз, 3) величины этих отклонений.
Ответ: 1) Т=0,628 с; 2) 7 отклонений; 3) 7,55 см; 6,45 см; 5,35 см; 4,25 см; 3,15 см; 2,05 см; 0,95 см. 32.59(32.57). Тело массы М = 0,5 кг совершает колебания на горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пружин, прикрепленных к телу одним концом и к неподвижной стойке — другим; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой, Ф Коэффициенты жесткости пружин с,= с2 се,.
=со= 1,225 Н/см, коэффициент трения при движении тела ~=0,2, при покое /6=0,25. В начальный момент 62 тело было отодвинуто от своего сред- К задаче 32ез него положения О вправо в положение х, =3 см и отпущено без начальной скорости. Найти: 1) область возможных равновесных положений тела — «область застоя», 2) величину размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность каждого нз них, 5) положение тела после колебаний.
Ответ: 1) — 0,5 см ( х (0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) 4 размаха; 4) Т = 0,141 с, 5) х = — 0,2 см. 32.60(32.58). Под действием силы сопротивления )7, пропорциональной первой степени скорости ()чз = ао), тело массы т, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т превосходит период незатухающих колебаний То, если отношение и/и = 0,1 (й' = с/т, и = а/(2т) ) . Ответ: Т ж 1,005То. 32.61(32.59). В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.
Ответ: через 7,5 полных колебаний. 32.62(32.60). Для определения сопротивления воды движению модели судна при очень малых скоростях модель М пустили плавать в сосуде, привязав нос и корму посредством двух »2 одинаковых пружин А и В, силы натяжения которых — — — — — пропорциональны удлине- ниям. Результаты наблюде- К задача» 32.62 а 32.63 ний показали, что отклоне- ния модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а продолжительность каждого размаха Т= 0,5 с. Определить силу Я сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/с, предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
Ответ: 1с = 0,42 Н. 32.63(32.61). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движении модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пружина В сжата на величину И=4 см и модель была отпущена без начальной скорости. Ответ: х = е-'2" (4 сов 6282+ 0,134 з(п 6281) см. 32.64(32.62). Для определения вязкости жидкости Кулон употреблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку А, он заставлял ее колебаться сначала в воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжительность одного размаха: Т! — в первом случае и Т2 — во втором.
Сила трения между пластинкой и жидкостью может быть выражена формулой 25/го, где 23 — поверхность пластинки, о— ее скорость, й — коэффициент вязкости. Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, л определить коэффициент в по найденным из опыта величинам Т, и Т„если масса пластинки равна вг. паз К задаче 22.64 Ответ: й = —,/Т2 — Т'. Втт, 2 1 32.65(32.63). Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффициент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический декремент колебаний.
Ответ: Т = 0,316 с, Х = аТ/2 = 0,3106. 32.66(32.64). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости. Ответ: х = е '2"( — 2,45соз19,91 — 0,242зйп19,91) см, 32.67(32.65). Тело массы 6 кг, подвешенное на пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т = 0,4я с, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, с периодом Т! — — О,бп с. Найти коэффициент пропорциональности а в выражении силы сопротивления 12 = †с и определить движение тела, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено самому себе.
Н с 4х Ответ: а=36 —, х=5е 2'з(п !ч41+агс(д — ) см. 3) 32.68(32.66). Тело массы 1,96 кг, подвешенное на пружине, которая силой 4,9 Н растягивается на 10 см, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скорости 1 м/с равное 19,6 Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
