1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 43
Текст из файла (страница 43)
1,8 Ответ: На 0,003131, где 1 — длина нити на поверхности Земли. 31.19(31.19). В неподвижной точке О и, ~4 посредством нити ОМ длины 1 подвешен груз М массы и. В начальный момент нить ОМ составляет с вертикалью угол а и ско- К заааче 31.19 рость груза М равна нулю. При последую- щем движении нить встречает тонкую проволоку 01, направление которой перпендикулярно плоскости движения груза, а положение определяется полярными координатами: й = ОО, и ~).
Определить наименьшее значение угла а, при котором нить ОМ после встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с проволокой. Толщиной проволоки пренебречь. гь гз зч Ответ: а=агссоз1с — 1ч — + соз 3) — — 1; натЯжение нити Увели- 1! \2 ) 21' а гз чиваетсЯ на величинУ 2нод — 1ч — + соз Р) . 31.20(31.20). Тяжелая точка М массы во движется по внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса г.
Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, определить давление точки на цилиндр. Начальная скорость точки равна по величине во и составляет угол сс с горизонтом. здоО соз а Ответ: У =- и 31.21(31.21). В предыдушей задаче составить уравнения движения точки, если в на- 22 чальный момент точка находилась на оси х. Гоесоаа 1 Ответ: х = г сов ~ 1 / у=гз1п~""о'" 21, а=вот 3!па+дГ2/2. 31.22(31.22). Камень М, находяшийся на к заде 31ао вершине А гладкого полусферического купола радиуса Я, получает начальную горизонтальную скорость оо. В каком месте камень покинет купол? При каких значениях со камень сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь. "о ~1 Ответ.
'зр=агссоз~ — + 3 й ). во) 'УЖ. ~з зал!' К задаче 31.23 К задаче 31,22 31.23(31.23). Точка М массы ан движется по гладкой поверхности полусферического купола радиуса )с. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная осн х, и зная, что в начальный момент точка имела скорость оо и находилась на высоте Ьо от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте Ь от основания купола. дзк 1 О Ответ: Ьз = — (ЗЬ вЂ” 2ЬΠ— — ).
— т~ 31.24(31.24). Точка М массы и движется по цепной линии у = — (е"' + е "") = асо†а к 2 а под действием силы отталкивания, параллельной оси Оу, направленной от оси Ох и равной Ьпу. В момент!= 0 х=! м, х= 1 м/с. Определить давление Ж точки на кривую и движение точки при й = 1 рад/сд и а = 1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кривизны цепной линии равен уд/а. Ответ: !и' = 0; х = (1+ !) м. ! 1 с[ к л' К задаче 31зи К задаче 31,23 К задаче 3!.21 31.25(31.25).
По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью вт вокруг оси Оу? ! аз Ответ: По параболе у= — — ха+с. 2 я 31.26(31.26). Точка М массы т =1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2а =90', под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональной расстоянию: т = с ОМ Н, где с = 1 Н/м.
В начальный момент точка М находится в точке А, расстояние ОА равно а = 2 м, начальная скорость во — — 2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки М (силой тяжести пренебречь). Положение точки М определяем координатой г и полярными координатами г и ~р в плоскости, перпендикулярной оси Ок; уравнение поверхности конуса гз кз О. Ответ: гя=е" +е 2' !я! ~ + — 1=в" ч Ч/2 4/ 31.27(31.27).
При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса. а оеып2о 1 Ответ: зт'=и 3!и а~у+ 2гз 31.28(31.28). Материальная точка А под действием силы тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Ог вертикальна; поверхность задана уравнением г = агр + /(г)", коэффициент трения точки о поверхность равен й. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ = = гс, т. е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а = сопз1.
У к а з а н и е. Для решения задачи целесо. образно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой ~~ ь уа линии в точке А. На рисунке угол между нормальной компонентой Ф реакции винтовой по- '., )( у верхности и ортом главной нормали л' обозначен через р. 4 Ы Ответ: Движение по винтовой линии возможно при условии 1д а — оо — й )/1+ /" (ге) созза=0, где 1па = = а/га, скорость движения о = Ж = "ч/иго/ (го) ° 31.29(31.29). Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса 3». Какую начальную горизонтальную скорость во, а К задаче Зцзв К задаче ЗЬЗО направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны /? Ответ: оо( л)/,+4 ()/1+)гв '~е' — (1 — 21 )1 где гуо=агс18/.
31.30(31.30). Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиуса )?. Какую начальную горизонтальную скорость оо, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен /. изз Ответ: оо > 31.31. Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту. Ответ: й = 2 25 м.
31.32. Материальная точка единичной массы движется в горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциалом П = х'+ ху + у'. В начальный момент точка имеет координаты х = 3 см, у = 4 см и скорость 10 см/с, параллельную положительному направлению оси х. Определить движение точки. 5 1ГЗ Ответ: х= 3,5соз т/3!+ — зщ !/3! — 0,5 сов!+ 5 з!и 1, у=3,5 сов т~З!+ — з1п ~/3 !+0,5соз! — 5 з!и и — 5 з/3 з 31.33.
Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизонтальную окружность радиуса а, сообщили начальную скорость оо. Коэффициент трения кольца о проволоку равен !. Определить, через какое время кольцо остановится. м а! де О-: з= — ! т '~'а 31.34. Материальная точка массы 2 кг притягивается к некоторому центру силой г" =( — 8х1 — 8у! — 2хй) Н.
Начальное положение материальной точки определяется координатами х = 4 см, у = = 2 см, х = 4 ом. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию. Ответ: х = 4соз21, у =2 сов 21, х=4соз!. Траектория — линия ез пересечения двух параболических цилиндров х = — — 4 и у = = — 2. Это — парабола, лежащая в плоскости х = 2у. Движение 4 по траектории осуществляется на участке от точки х =4 см, у = =2 см, г = 4 см до точки х = 4 см, у = 2 см, г = — 4 см. 31.35. Конический маятник имеет длину ! и описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса а. Определить период обращения конического маятника. Ответ: Т = Зя;/~* — е ~/а в 32. Колебательное движение а) Свободные колебания 32.1(32Л). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н.
В некоторый мемент к нижнему концу В недеформироваиной пружины подвешивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири. А Ответ: х= — 0,05соз 14) м, а = 5 см, Т= 0,45 с. 32.2(32.2). При равномерном спуске груза массы М = 2 т со скоростью о = = 5 м/с произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из-за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой к задаче ил к задаче ид троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4 10' Н/м. Ответ: 466,8 кН.
32.3(32.3). Определить наибольшее натяжение троса в предыдущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости с~ = 4'.10з Н/м. Ответ: 154,4 кН. 32.4(32.4). Груз О, падая с высоты Ь =1 м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине„ концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь. Ответ: х = ( — 0,5 соз 44,31+ 1О з1п 44,31) см.
32.5(32.5). На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба. Ответ: Т = 0,45 с. 32.6(32.6). Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной М = 90 т, площадь подошвы фундамента 5 = = 15 мз, коэффициент жесткости грунта с= ХВ, где Х= 30 Н/сма— так называемая удельная жесткость грунта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
