1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли !г = 6,37.10' м, средняя плотность 5,5 т/м*, большая полуось земной орбиты а = 1,49 10" м, время обращения Земли вокруг Солнца Т =365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии о ое ! м считаем равной — 'Н, где т — масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна 4н'азгл где г — расстояние Земли от Солнца. таге Ответ: М = 1,966 10'о кг. 28.16(28.16). Точка массы т, подверженная действию центральной силы Р, описывает лемнискату ге = аспид, где а— величина постоянная, г — расстояние точки от силового центра; в начальный момент г = го, скорость точки равна по и составляет угол а с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы Р, зная, что она зависит только от расстояния г.
еса г Ва (!/г) 1 ч По формуле Бине Р= — — )ч — з — + — г1, где с — удвоенная секторвч гг' ная скорость точки. Зтоа Ответ: Сила притяжения Р = —,г'па з!п'а. о о 28.17(28.17). Точка М, масса которой т, движется около неподвижного центра О под влиянием силы Р, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния МО =г. Зная, что скорость точки и = а/г, где а — величина постоянная, найти величину силы Р и траекторию точки. Ответ: Сила притяжения Р = таа/га; траектория — логарифмическая спираль. 28.18(28.18).
Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, скорость по =0,5 м/с и составляет угол 45' с направлением прямой, проведенной из центра к точке. Ответ: г' = 4 + ! ~/2, г = 2во.
28.19(28.19). Частица М массы ! кг притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМо = =2 м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМо и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частипы. Ответ: Окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на линии ОМо на расстоянии 1 м от центра притяжения. 28.20(28.20). Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения Р при этом движении. Ответ: Р,„= 1,97 10-з Н, Р ш — — 1,23.10-а Н. 28.21.
Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину 1 этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/сз. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину 1г должен иметь секундный лунный маятник? Ответ: 1=99,4 см, Т, = 2,45 с, 11 — — 16,56 см.
28.22. В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на Т секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника. Т Ответ: 81 =де (1 — ! . где де — ускорение силы тяжести абеоо/ ' в первоначальном положении маятника. 9 29. Работа и мощность 29.1(29А). Бетонный блок АВСО, размеры которого указаны на рисунке, имеет массу 4000 кг. Определить работу, которую надо затратить на опрокидывание его враще- ' 'Вгг нием вокруг ребра О. Ф' 'б' Ответ: 39,24 кДж.
29.2(29.2). Определить наименьшую работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его Э~ по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30'. Коэффициент трения 0,5. Ответ: 183 кДж. 29.3(29.3). Для того чтобы поднять5000ма воды на высоту 3 м, поставлен насос с двигателем в 2 л. с. Сколько времени потребуется для выполнения этой работы, если коэффициент полезного действия насоса 0,8? Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопротивлений.
Ответ: 34 ч 43 мин 20 с. 29.4(29.4). Как велика мощность машины, поднимающей 84 раза в минуту молот массы 200 кг на высоту 0,75 м, если коэффициент полезного действия машины 0,7? Ответ: 2,94 кВт. 218 29.5(29.5). Вычислить общую мощность трех водопадов, расположенных последовательно на одной реке. Высота падения воды: у первого водопада — 12 м, у второго — 12,8 м, у третьего — 15 м, Средний расход воды в реке — 75,4 м'/с.
Ответ: 29,4 МВт. 29.6(29.6). Вычислить мощность турбогенераторов на станции трамвайной сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого вагона 10 т, сопротивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя скорость вагона З,З м/с и потери в сети 5е . Ответ: 309 кВт. 29.7(29.8). Вычислить работу, которая производится при подьеме груза массы 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м, если угол образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30', а коэффициент трения равен 0,01.
Ответ: 598 Дж. 29.8(29.9). Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, турбина его развивает мощность 3800 кВт. Определить силу сопротивления воды движению турбохода зная, что коэффициент полезного действия турбины и винта равен 0,41 и 1 узел = = 0,5144 м/с. Ответ: 201,9 кН. 29.9(29.10). Найти мощность двигателя внутреннего сгорания, если среднее давление на поршень в течение всего хода равно 49 Н на 1 сме, длина хода поршня 40 см, площадь поршня 300 смз, число рабочих ходов 120 в минуту и коэффициент полезного действия 0,9.
Ответ: 10,6 кВт. 29.10(29.11). Шлифовальный круг диаметра 0,6 м делает 120 об/мин. Потребляемая мощность 1,2 кВт. Коэффициент трения шлифовального круга о деталь равен 0,2. С какой силой круг прижимает шлифуемую деталь? Ответ: 1591,5 Н. 29.11(29.12). Определить мощность двигателя продольно-строгального станка, если длина рабочего хода 2 м, его продолжительность 10 с, сила резания 11,76 кН, коэффициент полезного действия станка 0,8. Движение считать равномерным. Ответ: 2,94 кВт. 29.12(29.14). К концу упругой пружины подвешен груз массы М. Для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу в е Н.
Составить выражение полной механической энергии груза на пружине. Движение отнести к оси х, проведенной вертикально вниз из положения равновесия груза на пружине. Ответ: Е = '/тМх'+ '/тех' — Мух. 29.13(29.15). При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км по горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармонические колебания с амплитудой 8 см и с периодом 7=4 с, масса лыжника 80 кг, а коэффициент трения лыж о снег /=0,05. Определить работу лыжника на марше, если всю дистанцию он прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника.
Примечание. Считать, что работа торможения при опускании центра тяжести лыжника составляет 0,4 работы при подъеме центра тяжести на ту же высоту. Ответ: А = 1021 кДж, Ф = 188,9 Вт. 29.14(29.16). Математический маятник А веса Р и длины под действием горизонтальной силы Рх/1 поднялся на высоту у. Вычислить потенциальную энергию маятника двумя способами: 1) как работу силы тяжести, 2) как работу, произведенную силой Рх/1, и указать, при каких условиях оба способа приводят к одинаковому о результату. 1 Раз 1 Ответ: 1) Ру; 2) — —. Оба ответа одина- 2 1 ковы, если можно пренебречь уа. 29.15(29.17).
Для измерения мощности дви- гателя на его шкив А надета лента с деревян„„,„,мде ными колодками. Правая ветвь ВС ленты удер- живается пружинными весами Я, а левая ее ветвь РЕ натягивается грузом. Определить мощность двигателя, .если, вращаясь равномерно, он делает 120 об/мин; при этом пружинные весы показывают. натяжение правой ветви ленты и 39,24 Н; масса груза равна 1 кг, диаметр шкива 41 = 63,6 см, К задаче 29.19 К задаче 29.19 Разность натяжений ветвей ВС и ОЕ ленты равна силе, тормозящей шкив. Определить работу этой силы в 1 с. Ответ: 117,5 Вт.
29.16(29.18). Посредством ремня передается мощность 14,71 кВт. Радиус ременного шкива 0,5 м, угловая скорость шкива соответствует 150 об/мин. Предполагая, что натяжение Т ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения 1 ведомой ветви, определить натяжение Т и й Ответ: 1 = 1873 Н; Т = 3746 Н. 6 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки 30.1(30.1).
Тело Е, масса которого равна «о, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру О,. Длина недеформированной пружины равна 1о, ОО! — — 1. В начальный момент тело Е отклонено от положения равновесия О на конечную величину ОЕ = а и отпущено без начальной скорости. Определить скорость тела в момент прохождения положения равновесия. а ! ! ! Ответ: о= т1/ т [2 +1о (1 — 1/Р+а')). т 30.2(30.2). В условиях предыдущей задачи определить скорость тела Е в момент прохож- к залаче оо.! дения положения равновесия О, предполагая, что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения равен /.
Ответ: о'= — (с [ — + 1о(1 — 1/Р+а')~ — /[(тй + с1)а + + с1о1 1и — о,]~. 30.3(30.3). Тело К находится на шероховатой наклонной плоскости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту а и Го ~ 1да, где ?о в коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу сообщена начальная скорость во, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь з, пройденный телом до остановки, если коэффициент трения при движении равен 1. о~~ св 2Е (1 соо о — Мо а) ' 30.4(30.4). По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30', спуска.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
