1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 39
Текст из файла (страница 39)
я ь' ь'а 27.54(27.57). Точка массы т движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону а=йоте, где г — радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в Мо(а,0) и имела скорость и„ направленную параллельно оси у. Определить тра- тх екторию точки. 1 Ответ: ( — ) — ( — ~) = 1 (гипербола).
27.55(27.58). Упругая нить, закрепленная в точке А, проходит через неподвижное гладкое кольцо О; к свободному концу ее прикреплен шарик М, масса которого равна т. Длина невытянутой нити 1=АО; для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу, равную йот. Вытянув нить по Ф прямой АВ так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость в„перпендикулярную прямой АВ. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.
Ьохо Ко Ответ: Эллипс — + — = 1. 2 12 о 27.56(27.59). Точка М, масса которой равна т, притягивается к и неподвижным центрам Сь См ., С„силами, пропорциональными расстояниям; сила притяжения точки М к центру С; (1 = 1, 2, ...., и) равна й;т МС; Н; точка М и притягивающие центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М, если при 1=0: х=хо, у=уо, х= 0, у = во. Действием силы тнжести пренебречь. Ответ: Эллипс (-~ — — 1 + 1(У вЂ” Ь)+ — (Ь Уо)Т о = 1 ° ~ хо — а/ хо — а 1 оо а и л 1 1 где а= — ~Х й,хи Ь= — „) Ь~уо й=~ йо. о-о 2!1 27.57(27.60). Точка М притягивается к двум центрам С, и Ся силами, пропорциональными расстояниям: Игп. МС, и Ит МС.;, центр С, неподвижен и находится в начале координат, центр С, равномерно движется по оси Ох, так что хя —— 2(а+ Ьг).
Найти траекторию точки М, полагая, что в момент 1 = 0 точка М находится в плоскости ху, координаты ее х = у = а и скорость имеет проекции у=0. Ответ: Винтовая линия, расположенная на эллиптическом цирз линдре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид —, + 2ягз /2 + —,= 1; шаг винта равен яЬ,у —. ь 27.58(27.61). Частица массы лт, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное электрическое поле напряжения Е со скоростью пв, перпендикулярной направлению напряжения поля.
Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила Г = еЕ, направленная в сторону, противоположную напряжению Е; действием силы тяжести пренебречь. Ответ: Парабола, параметр которой равен тиф(еЕ). 27.59(27.62). Частица массы т, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное магнитное поле напряжения Н со скоростью ио, перпендикулярной иаправГ лению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что на часа, Π— ьв тицу действует сила Р = — е(и Х Н). Прн решении удобно пользоваться уравнениями двяяге- И ння точки в проекпнях на касательную н на главную нор- К задаче яг.вя мель к траектории. Ответ: Окружность радиуса тпоу(еН) 27.60(27.63).
Определить траекторию движения частицы массы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = = А соз И (А и й — заданные постоянные) со скоростью ив, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила Р = — еЕ.
еА / е Ответ: у = — — ~1 — соз — х), где ось у направлена по надя ~ оо пряжению поля, начало координат совпадает с начальным положением точки в поле. 27.61(27.64). По негладкой наклонной плоскости движетсн тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна 12 м/с. Определить вторую составляющую о~ скорости, а также натяжение Т нити при следующих данных: уклон плоскости 1па = 1/30, коэффициент трения (= 0,1, масса тела 30 кг.
Ответ: оз — — 4,24 см/с, Т = 27,7 Н. 27.62(27.65). Точка М массы в7 находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам 07 и 02 (см. рисунок). Величина этих снл пропорциональна расстоянию от точек О, и 02. Коэффициент пропорциональности одинаков и К задаче 27.61 К задаче 27.62 равен с. Движение начинается в точке АС со скоростью иа, перпен- дикулярной линии 0702. Определить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты времени, когда она пересекает направ- ление линии 070м и вычислить ее координаты в эти моменты времени.
Расстояние от точки Аа до оси у равно 2а. 62 в /26 Ответ: Эллипс — +, =1, где /2= т/ —, 1= О, (2а)а (ие)а)а па х,= — 2а, ус=0; 7',=72//6, х)=2а, у,=0; (2=2п/72, хт= — 2а, у, = 0 и т. д. Время, в течение которого точка описывает эллипс, Т = 2п/л. У 27.63(27.66). На точку А массы т, которая начинает движение из положения г=га (где г — радиус-вектор точас ки) со скоростью ве, перпендикулярной 72 гм действует сила притяжения, направленная к центру О и пропорциональная К задаче 27.63 расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен тс7.
Кроме того, на точку действует по- стоянная сила в7сга. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение с7/с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр 07 Ответ: 1) г = — га + — 'з(п (/с7 7+ ге(1 — — 1соз 7/С7 0 С~ ( ) С 2 "('-У) 2(3 3) точка А пройдет через центр О, если с~/с = 2; 4) точка А пройдет через центр О со скоростью пс = — пс в момент времени 1= и/ 1/с, . 27.64(27.67). Тяжелая точка массы т падает из положения, определяемого координатами хо = О, ус = й при 1 = О, под действием силы тяжести (параллельной оси у) и силы отталкивания от оси у, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности с).
Проекции начальной скорости точки на оси координат равны о, = ос, о„ = О. Определить траек- торию точки, а также момент времетур — -- — „ ни 1~ пересечения оси х. Ответ: Траектория ф,ъ.1 с, /2 с = — '~ыг ~/ — (ь — у), ет' /с /2Ь где й= х/ —, 1,= х/ —. 'Ч "1/ а 27.65(27.68). Точка М массы сн движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса т. В начальный момент угол ~рс — — н/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра при угле <р = 30'. Ответ: о = 1/3 ° 1/дг; Т= тд. 2 28.
Теорема об изменении количества движения маввриальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки 28.1(281) Железнодорожный поезд движется по горизонталь. ному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
Ответ:. 20,4 с, 204 м. 28.2(28.2). По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол сс = 30', спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длины 1=39,2 м, если коэффициент трения /=0,2. Ответ: Т = 5 с. 28.3(28.3). Поезд массы 4 1О' кг входит на подъем 1=16а = = 0,006 (где к — угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза. Ответ: 23 120 Н. 214 28.4(28.4).
Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА, часть которой ОА пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса МС =??, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОМь при которой гирька описывает окружность радиусом ??/2.
Сколько оборотов в минуту делает зт гирька по этой окружности? Ответ: 480 об/мин. за+~ ' . 28.5(28.5). Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили дина- 2Я 1 мометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 10' Н. За то же время 2у состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения / = 0,02. Ответ: 3036 т.
28.6(28.6). Каков должен быть коэффи- К задаче 28.4 циент трения 1 колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды и =20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения. Ответ: 1= 0,34. 28.7(28.7). Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью о = 650 м/с, пробегая канал ствола за время = 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала а= 150 мм2.
Ответ: Среднее давление 9,12 10' Н/мм2. 28.8(28.8). Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость о2 К задаче 28.8 К задаче 28.8 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении оз = 30 см/с, а г2 в пять раз больше гь Ответ: о,=6 см/с. 28.9(28.9). Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения О переходит в наивысшее положение М. Дано: пе — — 500 м/с; 888 = 60', пз — — 200 м/с; масса снаряда 100 кг.
Ответ; Проекции импульса равнодействующей: 5,= — 5000 Н с, 4, = — 43300 Н с. 2!з 28.10(28.10). Два астероида М1 и М, описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого 5 находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М,Мт эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги М,Мт равнялась а, когда середина ее находилась в перигелии Р. Предполагая, что астероиды движутся с равными секториальными скоростями, определить длину дуги М1М,, когда се- А 4~ ' "'~ Р редина ее будет проходить через Ю афелий А, если известно, что БР = =я! и ЗА=ам О твет: М ~Мт — — — а.
й1 к эалоче 28зО 28.11(28.11). Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н с. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 с, если коэффициент трения ) = 0,01., Ответ: и =3,53 м/с.
28.12(28.12). Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью и =0,2 м/с, делая полный оборот за время Т = 4 с. Найти импульс 5 сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки т = 5 кг. Определить среднее значение силы Р. Ответ: 5=2 Н с, Р=1Н. 28.13(28.13). Два математических маятника, подвешенных на нитях длин 11 и 1х (1~ ) 1х), совершают колебания одинаковой амплитуды.
Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины 1~ и (з для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т. Ответ: ~Ц1, =й/п, где К п — целые числа и дробь и/и несократима; Т= ЙТт — — пТь 28Л4(28.14). Шарик массы т, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити Т, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно Я, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна пэ Ответ: В полярных координатах (если принять отверстие за начало координат и угол ~ре равным нулю): зш ива ать г=Я вЂ” аг; <р= '; Т= й — вг ' (й — вг)~ 28.15(28.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
