1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Найти, с какой скоростью пе нужно выбросить снаряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности Земли д = 9,8 м/с. Отношение массы Луны н Земли т: М =1: 80; расстояние между ними 4=60!г, где считаем !7 =6000 км (радиус Земли).
Коэффициент /, входящий в формулу для величины силы всемирного тяготения, находим из уравнения ~"=-~~-,". -~<-Р! ~ /и 22Р! — Р! '1/ т !" Р! Р 59 1 — а Ответ: п'— а' М 30 1+а — д/1, где 1/~ <в-Р!+Р а ==. или ое — — 10,75 км/с. 1 59 т/80 30.27. Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с поперечным сечением 12 дмз, которая падает с высоты 1 м. При последнем ударе баба входит в грунт на глубину 1 см, причем 8 и.
В. мещерскна 225 сопротивление грунта движению бабы можно считать постоянным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, которое встречает баба, углубляясь в грунт. Ответ: 494,9 кПа. 30.28(30.28). Шахтный лифт движется вниз со скоростью ов= =12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить лифт на протяжении пути 3 = 10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной. Ответ: Р = в2 (8 + — ) = 102 кН.
23 ) 30.29. Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге, имеющей форму параболы у=х2. Кольцо начало двигаться нз точки х= 3 м, у =9 м с нулевой начальной скоростью. Определить скорость кольца и силу, действующую на кольцо со стороны проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы. Ответ: оз — — 13,3 м/с, Я = 72,5 Н. 30.30. Математический маятник длины 1 вывели из положения равновесия, сообщив ему начальную скорость из, направленную по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в течение одного нернода.
„2 ч~ Ответ: в = 41 агссоз (1 — — ) . о 2ег) ' 9 31. Смешанные задачи 31.1(31.1). Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60', и ему сообщена скорость из в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, дг равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в нанннз- Л шем положении и отсчитываемую по вертикали высоту, на которую груз поднимается над этим положением.
Ответ: 28,4 Н, 47,5 см. К задаче ЗЬЗ 31.2(31.2). Сохраняя ус- ловия предыдущей задачи, кроме величины скорости оз, найти, при какой величине скорости в, груз будет проходить всю окружность. Ответ: оз ) 4,43 м/с. 31.3(31.3). По рельсам, положенным по пути АВ н образующим затем петлю в виде кругового кольца ВС радиуса а, скаты- вается вагонетка массы т. С какой высоты Ь нужно пустить вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление М вагонетки на кольцо в точке М, для которой ~ МОВ = зр. Ответ: й=в2,5а, У=гни( — — 2+Зевам). 31.4(31.4).
Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано иа рисунке; .~ ВОС = = Е.ВОР = а. Найти, с какой высоты й должна скатываться вагонетка без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а " также то значение угла а. при котором эта высота Ь наименьшая. Указание. На участке ззС центр тнжести вагонетки совершает вараоолнческое движение. К задаче зкз Ответ. 'Ь=г(!+сова+ — ); Ь ш при в=45'.
Зсозо ) 31.5(31.5). Тяжелая стальная отливка массы М= 20 кг прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Отливка падает из верхнего положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рисунок к задаче 30.14.) Ответ: 980 Н. 31.6(31.6). Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю? Ответ: зр = агссоз(2/3).
31.7(31.7). Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь. Ответ: 1246 Н. 31.8(31.8). За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН? Ответ: 84,8 кН. 31.9(31.9).
Тяжелая отливка массы и прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О и отклонен от вертикали на угол сро. Из этого начального положения отливке сообшают начальную скорость ио (см, рисунок). Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебрегая массой стержня. Длина стержня 1. Ответ: У = Зтд соз !р — 2тд соз зро + тпоз11. Если 1ч') О, стержень растянут; если Ф ( Р ( О, стержень сжат. 31.10(31.10). Сферический маятник состоит К задаче 3!.Е из нити ОМ длины 1, прикрепленной одним концом к неподвижной точке О, и тяжелой точки. М веса Р, прикрепленной к другому концу нити.
Точку М отклонили из положения равновесия так, что ее координаты К задаче з!.П К задача 3!.зе стали: при 1 = 0 х = хо, у = О, и сообшили ей начальную скорости хо —— О, уо = оо, хо = О. Определить, при каком соотношении начальных условий точка М будет описывать окружность в горизонтальной плоскости н каково будет время обращения точки М по этой окружности. Ответ: по —— хо чlл1хо, Т = 2п ~! хо/а' 31А1(31.11). Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады АВ, наклоненной под углом а = ЗО' к горизонту.
Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку ВС, длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляюшую скорости и„= 1 м/с. Высота эстакады й = 9 м, коэффициент трения лыж о снег 1 = 0,08, линия приземления СО образует угол 0 = 45' с горизонтом. Определить дальность 1 полета лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха.
Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва С до точки приземления лыжника иа линии СО. Ответ: 1= 47,4 м, 31.12(31.12). Груз М веса Р падает без начальной скорости с высоты Н на плиту А, лежащую на спиральной пружине В. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину й. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину й и импульс В упругой силы пружины за время Т. к О: т — — ( — — ). Я вЂ” Р(7.~- ч' — "). где (аа —, й= Ь ~/2е(Н+ Ь) 2~/У(н+ ь) ь ! 31.13(31.13).
При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастрофы, оказалась на расстоянии з = 280 м от первоначального положения. Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении указанной части из ,в первоначального положения в конечное, лежащее к„„г,зьм в той же горизонтальной плоскости, найти наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика В = 1,75 м, Ответ: и = 286 об/мин, или а =30 рад/с.
31.14(31.14). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке А круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В равнялось л( нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении груза расстояние АМ равно 20 см и пружина Р'.
имеет натуральную длину; начальная скорость ег груза равна нулю; массой пружины пренебречь, Ответ: Пружина должна удлиняться на 1 см при действии силы, равной 4,9 Н. 31.15(31.15). Определить давление груза М на кольцо в нижней точке В (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза расстояние АМ равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебрегаем. Ответ: Давление направлено вверх и равно 68,6 1-1.
31.16(31.16). Гладкое тяжелое кольцо М веса О может скользить без трения по дуге окружности радиуса Й см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МО.4, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А.Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке К задаче 31.11 В в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начинает скользить по окружности. Определить давление 19', производимое кольцом на окружность.
Ответ: У = 29 + с)ч + 3(Я+ сЯ) соз 21р; давление направлено наружу при Ф ) О, внутрь при М ( О. 31.17(31.17). Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальном положении М, груз отклонен от вер- тикали иа угол 60', и Ю ему сообщена скорость ва А ! в вертикальной плоско- ЛГ .— — 3) сти по перпендикуляру к нити вниз, равная ".!л 1 3,5 м/с.
п 1 1) Найти то положеl ние М груза, в котором ! натяжение нити будет равно нулю, и скорость о1 а" в этом положении. 33 2) Определить траек- К заааче 31.!б торию последующего дви- жения груза до того момента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение которого точка пройдет эту траекторию. Ответ: 1) Положение М находится над горизонталью точки О на расстоянии МО = 25 см, о, = 15б,5 см/с. 2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх и Му, имеет вид у =х 1/3 — 0,08х'; груз описывает эту параболу в течение 0,55 с.
31.18(31.18). Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маятника на этой высоте остался без измененийр Силу тяжести считать обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
