1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Ответ: Т = 0,089 с. 32.7(327). Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его горизонтальной проекции В ма. Плотность воды р = 1 т/ма. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь. Ответ: Т=2я ~/ †. / М М вкд ' 32.8(32.8). В условиях предыдущей задачи найти уравнения движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой вертикальной скоростью. М ходЯ Ответ: у= — — соз.т/ — '' 1 м. р8 ~/ М 32.9(32.9). Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке.
Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее хс, чтобы во время движения гири нить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна 1; от действия статической нагрузки, равной д Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.
Ответ: х=1+ — + 1чха — 1 — — ~ сов( т/ — 11, 1<хаФ+ —. 3210(32.10). На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов О~ и Оз находятся на горизонтальной прямой ОзОа, расстояние О~Од= 21; стержень приводтз л4 дится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкид вами; эти силы пропорциос1 с г г4 нальны давлению стержня на шкив, причем коэффициент К задаче вью пропорциональности (коэф- фициент трения) равен /.
1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на хс при ос = О. 2) Найти коэффициент трения /, зная, что период колебаний Т стержня при 1 25 см равен 2 с. Ответ: 1) х=хасоз~ ~/ — 1), 2) )'= —., = 0,25. / /(я 32.11(32.11). К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса р, а во второй раз груз веса Зр. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
Ответ: — ' = х 3, х, = — — соз т/ — 1, х, = — — соз т/ — 1. Т, ='а ' = с '~/ р ' с 'Ч Зр 32.12(32.12). К пружине жесткости с = 2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов. Ответ: йз —— 18,26 рад/с, Аа = 12,9 рад/с, Тз = 0,344 с, Тз = =0,49 с.
32.13(32.13). К пружине, коэффициент жесткости которой равен с =!9,6 Н/и, были подвешены два груза с массами в71=0,5 кг и в72 — — 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз в22 убрали. Найти урав. нение движения, частоту, круговую частоту н период колебаний оставшегося груза.
Ответ: х =0,4 сов 6,26! м; /= 1 Гц, й =2п рад/с, Т=! с. 32.14(32.14). Груз массы т1 — — 2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с = =98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый мо- тет мент к грузу т1 добавили груз 7п2 — — 0,8 кг. Определить уравнение движения и период колебаний двух твэ грузов. К задаче Э223 Ответ: хо= — 0,08соз5,916! м, Т = 1,062 с.
32.15(32.15). Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью с1 =- 2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью с, = 4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях. Ответ: — '= — = 0,7071, — '= 1/2 = 1,4142. 32.16(32.16). Тело массы т находится на наклонной плоскости, составляющей угол сс с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с.
Пружина параллельна наклонной плоскости. К задаче 32.17 К задаче Э2.13 Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость по, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия. оа озе соэ а /с Ответ: х = — 3!и й!— = ь с сов М, где й= 777 32.17(32.17). На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом сэ находится прикрепленный к пружине груз веса Р. Статическое удлинение пружины равно /. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из не- напряженного состояния на длину, равную 3/, и груз отпущен без начальной скорости. 237 Ответ: х=21соз( ~ 3!па ° 1).
32.18(32.18). Тело массы М = 12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 с. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз массы Мз — — 6 кг.
Определить период колебаний двух грузов на пружине. Ответ: Т, =Т ~/ „' =0,55 с. 32.19(32.19). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения одного груза М и двух грузов М +Ми если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины. Ответ: 1) х= — 5,02соз 141 см, 2) х, = = — 7,53соз11,41 см, где х и х, отсчитываются соответственно от каждого из двух положений статического равновесия. 32.20(32.20).
Груз М, подвешенный к неподвижной точке А на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения зт по дуге окружности, диаметр которой АВ К задаче 32.20 равен 1; натуральная длина пружины а; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу груза М, она получает удлинение, равное Ь. Определить период Т колебаний в том случае, когда 1= = а + Ь; массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой. Ответ: Т = 222 у'1/д.
32.21(32.21). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент ~ВАМ = аро и точке М сообщили начальную скорость тзо, направ- 22 е ленную по касательной к окружности вниз. Ответ: зр=зр соз ~/ — 1 — з(п ~/ — 1. а ао о '~/ 1 — 1/ 32.22(32.22). Тело Е, масса которого равна т, находится на гладкой горизонтальной плоскости.
К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреп- К задаче 32.22 ЛЕН К ШарНИру ОЬ ДЛИНа НЕдЕфОрМИрОВаииОй пружины равна 13, в положении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный Ро= с(1 — 13), где 1= ООь Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела. Ответ: Т=2л 2/т~!Го.
32.23(32.23). Материальная точка массы и подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью ио, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу 9 = сопз(, направленную вниз. Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины, ОтВЕт: Х = — + ~ 2/ (ч — ' / + (ч — ) — — 2) СОЗ 2/ — й ГДЕ / От- считывается от момента времени, когда начала действовать сила О, Т = 222 2/т(с . 32.24(32.24).
Определить период свободных колебаний груза массы т, прикрепленного к с, сс двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости с1 и с2, одинаковы.
Ответ: Т = 2н 2 I '"; с = с, + со, расположение груза та- Ч (сз+са) ' ково, что а1/ао = С2/сь 32.25(32.25). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость по, направленную вверх. Ответ: тв /(с, + с,) Сд Х= — — СОЗ 2/ с, + сз 2/ т / т . / (с, + с,) е воз~) (с 32.26(32.26). Определить период свободных коле- с баний груза массы т, зажатого между двумя пружинами с разными коэффициентами жесткости С2 и со.
т К задаче 22.22 Ответ: Т = 2л 2/ 2/ (сз + сз) ' 32.27(32.27). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщили скорость оо, направленную вниз. Ответ: х=во,т/ з)п,ч/ / т / (с, + с,) ~/ („ + сз) ~/ ., 32.28(32.28). Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости с2 и с2, и указать также период колебаний груза массы л2, подвешенного на указанной двойной пружине. Ответ: с= ' ', Т=2л 2/ с, + с, ' ч2 с,с, 32.29(32.29). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже по- ложениЯ РавновесиЯ на РасстоЯнии хс и емУ сообшили скорость тзе, направленную вверх. Ответ: с,с, сс Х=-ХеСОЗ ч(/ '7 (с, + с,) т с (с~ + сз) зл ~ с~се оо с~се (с| + сз) зл 32.30(32.30).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
