1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ответ: х = 16 з!и ! з!и 51 см. Колебания носят характер биений. 32.93. Груз на пружине колеблется так, что его движение описывается дифференциальным уравнением тх+ сх 5 сов ег+ 2 сов Зей Найти закон движения груза, если в начальный момент его смещение и скорость были равны нулю, а также определить, при ка. ких значениях е наступит резонанс. 47тес — 7с . /-. з !с — тес! (с — втес! ~/ т с — тес соз - †! + соз ег + + †-т созЗег. Резонанс наступит в двух случаях: е,„р— 2 с — зте г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания 32.94(32.88). На пружине, коэффициент жесткости которой с =19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 50 г, проходящий через соленоид, и медная пластинка массы 50 г, проходящая между полюсами магнита.
По соленоиду течет ток 1 = = 20яп8п1 А, который развивает силу взаимодействия с магнитным стержнем 0,016п? Н. Сила торможения медной пластинки вследствие вихревых токов равна ввФз, где й = 0,001,Ф = 10 1/5 Вб и и — скорость пластинки в м/с. Определить вынужденные колебания пластинки. Ответ: х = 0,022 яп (8п1 — 0,91п) м. 32.95(32.89).
В условиях предыдущей задачи е найти уравнение движения пластинки, если ее под- Л' весили вместе с магнитным стержнем к концу не- растянутой пружины и сообщили им начальную скорость 5 см/с, направленную вниз. Ответ: х = ее" ( — 4,39 соз 13,771 + + 3,42 яп 13,771) + 2,2 яп (8п1 — 0,91п) см. 32.98(32.90). Материальная точка массы гл = =2 кг подвешена к пружине, коэффициент жесткости которой 4 кН/м. На точку действуют возмущающая сила Я = 120 з1п(р1+ 6) Н и сила сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная Я=0,5.1/кпсс Н.Чему равно наибольшее значение А,„амплитуды вы- «за нужденных колебаний? При какой частоте р амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения? Ответ: А,„=6,2 см, р= 41,83 рад/с. 32.97(32.91).
В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение н скорость были равны: х«=2 см, о«=3 см/с. Частота возмущающей силы р= 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы 6=0. Начало координат выбрано в положении статического равновесия. Ответ: х е-и 'Я(4,422 соз 43,31 — 1,547 яп 43,31)+ + 4,66 яп(301 — 0,174п) см. 32.98(32.92). Материальная точка массы 3 кг подвешена на пружине с коэффициентом жесткости с=117,6 Н/м. На точку действуют возмущающая сила Р = На)п(6,261+ 5) Н и оила вязкого сопротивления среды 1?= — ао (1? в Н).
Как изменится амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изменения температуры вязкость среды (коэффициент а) увеличится в трн раза? Ответ: Амплитуда вынужденных колебаний уменьшится в трн раза. 32.99(32.93). Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к неподвижной точке А, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом, под действием возмущающей силы 5 =180з(п 101 Н и силы сопротивления, пропорциональной скорости 1? = — 29,4и (Л в Н).
Коэффициент жесткости пружины с =5 кН/м. В начальный момент тело находилось в покое в положении статического равновесия. Найти уравнение движения тела, периоды 1' свободных и Т, вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: х = е-' "'(0,228 сов 49,462— — 0,72 2(п49,461)+ 3,74 з(п(102 — 3'30') см, Т = = 0,127 с, Т1 = 0,628 с, е = 3' 30'.
32.100(32.94). На тело массы 0,4 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 4 кН/м, действуют сила 5 = =40вйп502 Н и сила сопротивления среды Я= — аи, где а = =25 Н с/м, и — скорость тела (з в м/с). В начальный момент тело покоится в положении статического равновесия. Найти закон движения тела н определить значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: 1) х = 0,647е-з' 22' з)п (951 — 46' 55')+ 1,23 з(п (501— — 22'36') см; 2) максимальная амплитуда вынужденных колебаний получается при р = 89,7 рад/с и равна 1,684 см. 32.101(32.95). На тело массы М кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с Н/м, действуют возмущающая сила 5 =На!п рг Н и сила сопротивления 22 = — аи (1? в Н), где и— скорость тела. В начальный момент тело находилось в положении статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти уравнение движения тела, если с ) а2/(4М). Йре" Т 2 рп +р. Й2 Ответ: х = ~2п соз ~/У вЂ” п2 Г + ' >~ (Ь2 — Р2)'+ 4в2Р2 ~ . ~/Ь~ — п2 Х з(п М вЂ” п2 г) + (ьа 2 4 2 2 1(92 — Р ) 21п Рг — 2пр соз р1), где Ь=Н/М, 92=с/М, п=а/(2М). 32.102(32.96).
На тело массы 6 кг, подвешенное к пружине с жесткостью с = 17,64 кН/и, действует возмущающая сила Р, 21п рй Сопротивление жидкости пропорционально скорости. Каким должен быть коэффициент сопротивления а вязкой жидкости, чтобы максимальная амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению статического удлинения пружины? Чему равняется коэффициент расстройки г (отношение круговой частоты вынужденных колебаний к круговой частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: и =110 Н.с/м, я=0,97, в =80'7'.
32.103(32.97). На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 5 кН/м, действует сила 5 = =На!пр1, где Н= 100 Н, р= 100 рад/с, и сила сопротивления !7 =рв Н, где 5=50 Н с/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: хр = 0,98 з!п 1001 — 1,22 соз 1001 см; максимума амплитуды не существует, так как а > й/1/2. 32.104(32.98). В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: е = агс19 1,25 = 51' 20'. 32.105(32.99).
Груз массы 0,2 кг подвешен на пружине, коэффициент жесткости которой равен с=19,6 Н/м. На груз действуют возмущающая сила В = 0,2 з!п 141 Н и сила сопротивления В =49о Н. Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: е = 9!' 38'. Р 32.106(32.100). В условиях предыдущей задачи ' найти коэффициент жесткости с1 новой пружины, которой нужно заменить данную пружину, чтобы сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущающей силы стал равным и/2. Ответ: с1 =39,2 Н/м. 32.107(32.101). Для уменьшения действия иа тело массы «А возмущающей силы Р=РАВ!п(р1+ к д Арк« + 6) устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером.
Коэффициент жесткости пружины с. Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости (Рсеер — ав), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях. йе+ 4«е с а о; и-е,, е и- —. (ве — р !е+ 4« р де' 2«е' 9 33. Относительное движение 33.1(33.1). К концу А вертикального упругого стержня АВ прикреплен груз С массы 2,5 кг. Груз С, будучи выведен из положения равновесия, совершает гармонические колебания под влиянием силы, пропорциональной расстоянию от положения равновесия. Стержень АВ таков, что для отклонения конца его А на 1 см нужно приложить силу 1 Н.
Найти амплитуду вынужденных колебаний груза С в том случае, когда точка закрепления стержня В совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания амплитуды 1 мм и периода 1,1 с. Ответ: 5,42 мм. 33.2(33.2). Точка привеса математического маятника длины ! движется по вертикали равноускоренно. Определить период Т мз- 9 И. В. Мещерседр 2зт нулю; точка привеса его в этот момент имеет также скорость, равную нулю, но затем опускается с постоянным ускорением р д.
Опреде- Ъ/ / / l д) лить длину з дуги окружности, описываемой точкой М в относителььй ном движении вокруг точки О. К заааче ЗЭ.З Ответ: 1) При р=д э=О; 2) при р ) и з =2!(и — а). 33.4(33.4). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. 1) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту 60'. 2) Определить боковое давление поезда на рельсы, если ои идет в этом же месте с севера на юг.
Ответ: 1) 3778,7 Н на правый восточный рельс; 2) 3778,7 Н на правый западный рельс. 33.5(33.5). Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка прн падении. Географическая широта места равна 60'. Ответ: На 12 см. 33.6(33.6). В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6'. 1) Определить ускорение пр вагона. 2) Найти разность периодов колебаний маятника: Т— в случае неподвижного вагона и Т, — в данном случае.
Ответ: 1) и/ = 1,03 м/сэ, 2) Т вЂ” Т, = 0,0028 Т. 33.7(33.7). Точка О/ привеса маятника длины 1 совершает прямолинейные горизонтальные гармонические колебания около неподвижной точки О: ОО/ = а з)п рй Определить малые колебания маятника, считая, что в момент, равный нулю, /р = О, ф = О. е % е= / ь рр — — аз). а= Чра, /(ьз — р ) К заааче ЭЗ.! 258 лых колебаний маятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину у; 2) когда это ускорение направлено вниз и величина его р ~ и. Ответ: 1) Т=2я ~; 2) Т=2л.з/ / / I З/' +а' Ча— 33.3(33.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
