1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 26
Текст из файла (страница 26)
19.13(19.13). Найти уравнения мгновенной оси и величину угловой скорости «9 тела, если известно, что проекции скорости ~очки М! (0,0,2) на координатные оси, связанные с телом, равны о„! = 1 м/с, о„! = 2 м/с, о„ = О, а направление скорости точки Мз (О, 1,2) определяется косинусами углов, образованных с осями координат: — 2/3, +2/3, — 1/3.
Ответ: х + 2у = О, Зх + г = О, оз = 3,2 рад/с. 19.14(19.14). Коническое зубчатое колесо, свободно насаженное на кривошип ОА, обкатывается по неподвижному коническому зубчатому основанию. Определить угловую Р скорость оз и угловое ускорение а катящегося колеса, если модули угловой скорости и углового ускорения (их направ- Ф ления указаны на рисунке) кривошипа ОА, вращающегося вокрчг неподвижной е,! оси О,О, соответственно равны о!о н ео.
е(2. оее е, 'Ф Ответ: оз= — 'еь з= —.' е + з!да ' зма К зедаче !О !4 +озозс19ае,, где е, — единичный вектор, направленный от точки О к точке С, а ез — единичный вектор, перпендикулярный плоскости ОАС и направленный на читателя. 19.15(19.15). В условиях предыдущей задачи определить ускорения точек С и В, если радиус основания равен Р. йео деоо Ответ: зес = —. ео, зез = 2Реоее + —. (е, — 2ео'„где е, н ее— з!и а з!и в лежащие в плоскости рисунка единичные векторы, перпендикулярные прямым ОС и ОН соответственно (оба орта направлены вверх).
9 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды 20.1(20.1). Искусственная горизонтальная площадка на качающемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у, вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля; Уеб Ф хе! у/ К задаче Ю.! угол поворота внешнего кольца обозначается через (1 (угол бортовой качки).
Угол поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации колец вводят три системы координат: система 1з)~ связана с кораблем (ось $ направлена к правому борту, ось з)— к носу корабля, ось Ь вЂ” перпендикулярна палубе); система х,у,г, связана с внешним кольцом (ось у! совпадает с осью з1); система хух связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с х1). Положительные направления отсчета углов видны из рисунков; при а = р = 0 все системы отсчета совпадают.
Определить ориентацию (соответствующие направляюшне косинусы) внутреннего кольца подвеса относительно корабля. Ответ: сов а — з!и а 20.2(20.2), Во втором способе установки карданова подвеса, описанного в предыдущей задаче, ось вращения внешнего кольца параллельна поперечной оси корабля. При этом способе подвеса УУт К ааваяе Жв ось $, связанная с кораблем, совпадает с осью х, вращения внешнего кольца, а ось у вращения внутреннего кольца совпадает с осью уь жестко связанной с внешним кольцом. Угол поворота внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а угол поворота внутреннего кольца — через р. Определить ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно корабля. Ответ: 20.3(20.3).
Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом прецессии яр, углом нутации 0 и углом собственного вращения «р (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Охи. соз 0 21п а з!и 0 соз а в!п9 — з!и 3 з!п и соз 0 соз асов й Ответ: 20.4(20.4). Зная скорости изменения углов Эйлера, определить угловую скорость тела и ее проекции на оси неподвижной 0$П~ и подвижной Охуг систем отсчета. Ответ: в= вг= ф з!п8 сов ф — О яп ф, в„= ф яп О яп ф + 6 соз ф, в,=ф О+ф, в,= — фз1пО р+ + О япв, в„=фяпйяпв+Осозв, в, = ф соз О + ф. 20.5(20.5). Для определения вращательного движения самолета с ним связывают ортогональную систему координат Схуг, причем ось х направляется по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ),~р ось у располагается в плоскости симмет- .е рии самолета, а ось г — по размаху крыла вправо для летчика (С вЂ” центр тяжести самолета).
Угловые перемещения ь, У Р х самолета относительной осей С~~~ (горизонтальная ось $ направляется по курсу самолета, ось и — вертикально вверх, а горизонтальная ось ь — перпендикулярно осям $ и и) определяются, как пока- к залачам 20.5 и мл вано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания ф, углом тангажа 8 и углом крена <р.
Определить ориентацию самолета (системы отсчета Схуг) относительно трехгранника С$нь. Ответ: 20.6(20.6). Зная скорости изменения самолетных углов, определить проекции угловой скорости самолета на оси систем координат Схуг и С$П~ (см. рисунок к предыдущей задаче). 14Ь Ответ: е,=фа(пО+ф, еп=фсозОсозаа+Ов(п<р, е,= = — фсовОз(пф+Осозф, ев=фсовфсозО+Оз(пф, е„= = ф в!и О + ф, ес = — ф з(п ф сов 8+ О сов ф 20.7(20.7). Для исследования качки корабля и его устойчивости на курсе вводят три корабельных угла: ф — дифферент, 0 — крен и ~р — угол рыскания, система отсчета У Сху» жестко связана с кораблем, С— центр тяжести корабля, ось х направлена от кормы к носу, ось у — к левому бору' ту, ось г — перпендикулярно палубе; сне .
,и стема координат С$т!~ ориентируется от- Г носительно курса корабля: ось ~ вертикальна, горизонтальная ось й направлена по курсу, горизонтальная ось и †вле от курса (на рисунке изображены сия „„„,„е т, ел стемы осей, введенных А. Н. Крыло- вым). Определить ориентацию корабля (координатных осей Схуг) относительно трехгранника С$т!$. Ответ: 20.8(20.8). Зная скорости изменения корабельных углов, опре- делить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Схуг и С~и~ (см. рисунок к предыдущей задаче). Ответ: е„=фсозО з!пф+Осозф, ее = О сов ф+ф в!п фсовО, еи — — ф соз О сов ф — О тйп ф, еа.= ф — ф зщ О, е,= — ф в!пО+ ф, еа = — 0 в(п ф + ф соз ф сов О.
20.9(20.9). Точка М (центр тяжести самолета, корабля) дви- жется вдоль поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса )с а); восточная составляющая скорости точки равна вг, а северная — ил. Определить скорость изменения широты гр и долготы Х текущего положения точки М. елГ ев Ответ: ф= —, А= й; при положительных вв и ил сои сеам ставляющая ~р направлена на запад, а составляющая Х вЂ” по осн Юге' вращения Земли от Южного полюса к Северному.
'! Здесь и а дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем. 20.10(20.10). Для изучения движения вблизи земной поверхности тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных на них, вводят подвижной координатный трехгранник †трехгранник Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу 052)~ горизонтальная ось й направляется на восток, горизонтальная К аадаче 20.9 К аадаче 20ЛО й ооииир трооятории горигоитояьную яоооиооть йту К аадаче 20л! 24т ось 2! — на север, ось ~ — вертикально вверх. Определить проекции на оси $, ть ~ угловой скорости трехгранника 052)~, если проекции скорости его начала (точки 0) относительно Земли равны ое = ое, о„= ои, ст = 0; угловая скорость вращения Земли равна О, радиус Земли !с, Ответ: 200= — ф= — оиЯ, Е 020 = (У + Х) сов 2Р = (У + й ) сов 12, 021=(0+1) в!п2р=(У+ е ) в!п02. 20.11(20.11).
Трехгранник Дарбу Охух на поверхности Земли ориентирован не географически, как это было сделано в предыдущей задаче,а по траектории основания трехгранника относительно Земли: ось х направляется горизонтально по скорости о вершины 0 (центр тяжести самолета, р1'горов корабля) трехгранника относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси х, а й с(Л ось х — вертикально вверх. Определить проекции угловой скорости трехгранника Охух, если скорость точки 0 равна о, а ее курс определяется углом чр (угол между направлением на север и атно. снтельной скоростью точки 0).
Ответ: 02,=0сов02созчр; 020 = Усова в!пчр+ оЯ; ы.=а+к) в!п р+ф=и з!пф+о(р. Здесь )с, О, ф и Х имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, а р — радиус геодезической кривизны траектории (р ) 0 при ф ( О, и р С 0 при чр ) 0). 20.12(20.12). Трехгранник Дарбу Ох'уиги на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось хз направляется по абсолютной скорости й' точки О (предполагается, что она движется по у' уГеееее1 поверхности Земли), горизонтальная ось уи направляется влево от оси хи, ось ги вертикальна.
Определить проекции угловой скорости трехгранника Охиуиги, если состав- и,„ 1з х' ляющие скорости точки О относи- тельно Земли равны ие и ие. сз с (еееезее) Ответ: аз, =О, е з= —, изз = =(У+.Л) ейпф+О, где )с, У, ф и А имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, ил и + РУ сиз ф 20.13(20.13). Гироскоп направления установлен в кардановом подвесе. Система координат хзу~гз связана с внешней рамкой (ось вращения ее вертикальна), система хуг скреплена с внутренней г 4Эееие~ в1ееФеф К задаче Ю.!3 рамкой (ось х вращения ее горизонтальна).
Ось г внутренней рамки является одновременно осью собственного вращения гироскопа. Определить: 1) ориентацию оси г вращения гироскопа относительно географически ориентированных осей $з1~ (см. задачу 20.!0), если поворот внешней рамки (оси уз) отсчитывается по часовой стрелке от плоскости меридиана (плоскость т1Ь) и определяется углом а, а подъем оси г над горизонтом определяется углом 0; 2) проекции на оси х, у, г угловой скорости вращения трехгранника хуг, предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли. Ответ: 1) 2) е„=р — Усоз~р япа, е„= асов !1+0(сов<рсова в|п 5 — янусов ()), е, = а в!п !1 + У (соз ~р сов а соз () + яп е яп 5), где У вЂ” угловая скорость вращения Земли, ~р — широта места. 20.14(20.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
