1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В условиях предыдущей задачи определить проекции угловой скорости вращения трехгранника хуг, если северная и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственно равны ие и ое. "и Св О °: е,=р — (и+ Й соа а ) сов ~р яп а — — сова, "е е =асов))+!У+ 1(совфсовав!п5 — янусов(!)— У= М соа а) 0 — — в!п а в!п () е,=а яп 5+(О+ е )(сов~рсозасов() + в!п фа!п ))), где Я вЂ” радиус Земли.
20.15(20.15). Движение тела вокруг неподвижной точки задано углами Эйлера:<р=41, ф= — — 21, 0= —. Определить коорди- з' наты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижньи осей х, у, г. Ответ: х=е„=2у'Зсов2(, у=е„= — 2 1/3 в!п21, г=е,=0, а=2~/3 рад!с в=4 1/3 рад!сз. К задаче Ю.!а 20.16(20.16). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м.
Примечание. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной оси Оз, проходящей через центр закругления пути, и относительно вагона вокруг оси лВ, т. е. вращается вокруг неподвижной точки О. Ответ: Неподвижный аксоид — конус, ось которого совпадает с осью Ог, с углом при вершине а =2агс(821,6=174'42'.
Подвижный аксоид — конус с осью ЛВ и углом при вершине 6 = = 2 агс18 0,0463 = 5'18'. 20.17(20.17). Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: у п1, ер =и/2+ апг, О= и/3. Определить проекции угловой скорости н углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и п — постоянные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.
и Ч/3 и ЧГЗ Ответ: щ„= созапг, ее= — з)папг, щ,=п(а+д, пи' Ч/3 . пи' Ч/3 1 е„=— 2 з(пап(, ее — — — -сазан!, е,=О, а= — —. 20.18(20.18). Углы Эйлера, определяющие положение тела, изменяются по закону (регулярная прецессия) О = Оо+ п~г О = Оо, гр = ~ро+ птФ, где Оо, Оо, гро — начальные значения углов, а п, и па — постоянные числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить угловую скорость щ тела, неподвижный и подвижный аксоиды. Ответ: в = 'чп~~+ пп, + 2пгпт соз Оо, 'неподвижный аксоид — круиза)п Оо гавай конус за+ Ча — ', йз = 0 с осью Ь и углом (ит соз йо + ий раствора 2 агсз(п "' "" "; подвижный аксоид — круговой конус иа з)п Оо х'+ у' — О +, ет = 0 с осью х и углом раствора (а, соз О, + из)з и1 Мп Оо 2 агсз)п - ' ГЛАВА ЧП СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ $ 21. Уравнения движений точки 21.1(21.1).
Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний: х, = 2 сои(п(+ и/2), ха = 3 сов(п1+и). 2 Ответ: х= Ч'13 сов(пг+а), где а=агс1и — 33'40'. 3 21.2(21.2). Барабан записывающего устройства вращается равномерно со скоростью що. Радиус барабана г. Самописец соединен с деталью, движущейся по вертикали по закону у = а з!и 22!!. Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
Ответ: у=а з!п а'!" . веет ' 'уг ааг К аадаче 2!.2 К задаче 2!.2 21.3(21.3). При вращении поворотного крана вокруг оси О!02 с постоянной угловой скоростью 22! груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью 222. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен 2!. ! Ответ: Винтовая линия, уравнение которой ЕЕ! 2 ° ЧЕ! 2 х=И соз — —, у=!(з!ив еаа 032 г ось х проходит через ось О!02 и начальное положение груза, ось е направлена вверх по оси вращения крана. 21.4(21.4). При совмещении работы ме- К вадаче 2!Д ханизмов подъема груза и перемещения крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г = 0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угловой скоростью в = 2п рад/с.
Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью в = 0,5 м/с. Определить абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза хе = !О м, уо = 6 м. Ответ: у — '22г+ уе = 6,28х — 56,8. Р 21.5(21.5). Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси 0202 с постоянной угловой скоростью 22. По горизонтальной стреле 1Щ от А к В движется тележка с постоянной скоростью од.
Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент тележка находилась на оси О!02. зе Ответ: Траектория — архимедова спираль т= — ф, где г — расстояние тележки от оси вращения, ф — угол поворота крана вокруг оси 0202. 21.6(21.6). Лента прибора, служащего для записи колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой АВ =2,5 см, а длина О!С=8 см. ! !вд в !т К задаче 2!.8 К задаче 2!.8 Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка 0 синусоиды соответствует положению тела при 1= О. Ответ: у = 2,5 з(п (50яг) см. 21.7(21.7). Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью е = 5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические колебания с амплитудой а = 0,008 м и периодом Т =0,5 с.
Найти уравнение траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги Ь = 1,5 м. При г = 0 центр тяжести находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ох направить горизонтально по полотну в сторону движения, ось Оу †вертикаль вверх через положение центра тяжести при 1=0. Ответ: у = 1,5 + 0,0008 8)и 0,8ях. 21.8(21.8). Определить уравнения траектории сложного движения конца двой- К задаче 2! 8 ного маятника, совершающего одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид х = а 8!и(821+ а), у = Ь(з(п в!+ р). Ответ: Эллипс —, + —, — — сов(а — р) = 21пд(а — 8).
152 21.9(21.9). Конец двойного маятника описывает фигуру Лиссажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний: х= а з!и 2221, у = а з!и вб Найти уравнение траектории. Ответ: агхг 4уг(аг уг) 21.10(21.10). Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к последнему вагону, срывается с кронштейна.
Определить траекторию абсолютного движения фонаря и длину пути з, который будет пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ох в горизонтально в сторону движения поезда, ось Оу — вертикально вниз. Ответ: Парабола с вертикальной осью у = 0,049хг, в = 10 м (х, у — в метрах, 1 — в секундах). 21 11(21.11). Резец М совершает поперечное возвратно-поступательное движение согласно закону х = а з(п вгг.
Найти уравнение траектории конца резца М относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью вг вокруг оси О, пересекающей абсолютную траекторию резца. К задаче 21.!2 К аадаче 21.!! Ответ: $2+(21 — а/2)2 = аг/4 — окружность радиуса а/2 с центром в точке С (см. рисунок). 21.12(21.12). В некоторых измерительных и делительных приборах для перемещения указателя применяется дифференциальный винт, состоящий из оси АВ, имеющей в части А винтовую нарезку с шагом й! мм, а в части  — нарезку с шагом Ьг ( йп Часть А вращается в неподвижной гайке С, а часть В охватывается элементом О, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы.
1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на 1/и оборота (соответствующая шкала нанесена на диске Е), если и = 200, Ь! =0,5 мм и йг =0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые. 2) Как изменится показание прибора, если в части А сделать левую нарезку, а в части  — правуют Ответ: 1) в= — (Ь1 — Ь,) =0,0005 мм; 1 21 з = — (Ь1 + Ь,) = 0,0045 мм. 1 21.13(21.13). Ускорительный механизм строгального станка состоит из двух параллельных валов О и 01, кривошипа ОА и кулисы 01В. Конец крнвошипа ОА соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе 01В. Найти уравнение относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение вращения самой кулисы, если кривошип ОА длины т вращается с постоянной угловой скоростью а, расстояние между осями валов 001 — — а.
К задаче 21.12 К задаче 21,И Ответ: 5 = 1/а2 + т2 + 2ат соз аб 12 <р = 21.14(21.14). В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала О, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца А неподвижного кривошипа ОА. Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек В поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой скоростью а.
Дано: ОА = т и АВ = 1. Оси Ох и Оу имеют начало в центре вала. Принять, что Х = т/1 мало. Ответ: 1) Окружность ха+(у+т)2=(2, хз 2) 5=1(1 — Х созаг — — ейпаат). 2 21.15. Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью оа, направленной под углом а к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
154 Ответ: ха= — ног сова, у, = — + ног з)па. Траектория — пари- е 22 яд~ бола у,= — х,1нн+ зо), созз а 2 22. Сложение скоростей точки 22.1(22.1). Корабль движется прямолинейно со скоростью ио. На высоте й над морем со скоростью и) летит самолет тем же курсом. Определить расстояние 1, отсчитываемое по горизонтали, на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал иа корабль. Сопротивлением воздуха движению вым- Ф пела пренебречь. I Ответ: 1 = (о) — оо) )/2П) и'. 22.2(22.2). Решить предыдущую задачу, если самолет летит с той же скоростью навстречу движущемуся кораблю.
Ответ: 1=(о) + оо) 2) 2'2)н. 22.3(22.3). Корабль, проходящий точку А, движется с постоянной по модулю и направлению скоростью ио. Под каким углом () к прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна о)? Линия АВ составляет угол зро с перпендикуляром к курсу корабля. 1 оз Ответ: з)п )) = — соз 4)о. о, з 44.4)444). В р ду Д д р лить время Т, по истечении которого катер А встретится с кораблем, если и первоначальное К задаче 22.3 расстояние между ними равнялось АВ = 1. Ответ: Т— "о з)п 4))о+'~й оосоз 4))о 2 2 5)п Р 4 соз 4?а г р) о, сод()ьз — Р) ' 22.5(22.5). Проволочная окружность вращается в своей плоскости относительно неподвижного шарнира О с постоянной угло- К задаче 22.2 вой скоростью оз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
