Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Òîãäà èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷àåì I&ê3 = Á& 6 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà ê âèäó:ì(Z 1 + Z 2 )I&ê1 = E& 1 - E& 3í&&&î(Z 4 + Z 5 )I ê2 = E 3 - (Z 4 + Z 5 )Á 6 ,îòêóäà ìîãóò áûòü íàéäåíû êîíòóðíûå òîêè I&ê1 è I&ê2 .8. Äà, íàïðèìåð, äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. Ð5.7 ñõåìû èìååìZ=1 + j - j5- j5 1 - jè1 - j < j5Ðèñ.
Ð5.89. Èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ, óïðàâëÿåìûå òîêîì.10. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ âñåõ óçëîâûõ íàïðÿæåíèé âûáðàíû îäèíàêîâûåóñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ — îò ïðîèçâîëüíîãî óçëà ê íóëåâîìó óçëó.11. Äà, íàïðèìåð, äëÿ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. Ð5.8 ñõåìû èìååìY=1 - j - j5- j5 1 + jè1 - j < j5 .414Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷12.  ñõåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ.
Ð5.9, òîêè îáîáùåííûõâåòâåé ðàâíû íóëþ, îäíàêî, âíóòðè îáîáùåííûõ âåòâåéìîãóò ïðîòåêàòü íåíóëåâûå òîêè. Ðàññìîòðèì ïðèìåð.Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ E& = -Z Á& óçëîâîå íàïðÿæåíèåU& 10 = E + Z Á& = 0. Ïðè ýòîì òîê I, ïðîòåêàþùèé ïî îáåèì&îáîáùåííûì âåòâÿì, ðàâåí íóëþ, à òîêè I&1 è I&2 ðàâíû Á.13. Èñòî÷íèêè òîêà, óïðàâëÿåìûå íàïðÿæåíèåì.Ðèñ. Ð5.914. Âîçìîæíî â òîì ñëó÷àå, åñëè ãðàô ñõåìû äîïóñêàåò âûáîð äåðåâà òèïà «êóñò».
Ïðèìåð òàêîãî ãðàôà ïðåäñòàâëåííà ðèñ. Ð5.10.15. Ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé íå òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ äåðåâà ãðàôà ñõåìû è òîïîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äåëàåò ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèé ìåòîäà óçëîâûõíàïðÿæåíèé áîëåå ïðîñòûì â ñðàâíåíèè ñ ôîðìèðîâàíèåìóðàâíåíèé ìåòîäîì ñå÷åíèé.16. Ðàñ÷åò öåïåé ñ èäåàëüíûìè èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ ìåòîäîìóçëîâûõ íàïðÿæåíèé èçëîæåí íèæå â ðåøåíèè çàäà÷è 4Ðèñ. Ð5.10íàñòîÿùåãî ðàçäåëà. Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä ñïðàâåäëèâ èäëÿ ìåòîäà ñå÷åíèé, îäíàêî, ïðè ïðèìåíåíèè ïîñëåäíåãîñóùåñòâåííîå îãðàíè÷åíèå, ñâÿçàííîå ñ òåì, ÷òî èäåàëüíûé èñòî÷íèê ÝÄÑ äîëæåí ïîäõîäèòü ê íóëåâîìó óçëó, ñíèìàåòñÿ.
(Ñì. òàêæå îòâåò íà âîïðîñ 19).19. Äà, ïðè ýòîì èäåàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ ñëåäóåò âêëþ÷àòü â âåòâè äåðåâàãðàôà ñõåìû. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà îïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé íà âåòâÿõ äåðåâà â ñõåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. Ð5.11. Âåòâè 1 è 3 ñõåìû ñîäåðæàòèäåàëüíûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è, ñîîòâåòñòâåííî, ïðîâîäèìîñòè Y1 è Y3 ýòèõ âåòâåéáåñêîíå÷íî âåëèêè. Ñèñòåìà óðàâíåíèé, ñîñòàâëåííàÿ ïî ìåòîäó ñå÷åíèé (ñì.ãðàô ñõåìû) èìååò âèä:ì(Y1 + Y4 )U& 1 + Y4U& 2 - Y4U& 3 = -Á& 4 - Y1 E& 1 ,ï &íY4U 1 + (Y2 + Y4 )U& 2 - Y4U& 3 = Á& 2 - Á& 4 ,ï -Y U& - Y U& + (Y + Y + Y )U& = Á& - Y E& .4 2345343 3î 4 1Ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûìè, èìåþùèìè êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿõ 1 è 3, ïîëó÷àåì U& 1 = -E& 1 , U& 3 = -E& 3 , òîãäà äëÿ îïðåäåëåíèÿ U& 2 èìååì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ:(Y2 + Y4 ) U& 2 = Á& 2 - Á& 4 + Y4 (E& 1 - E& 3 ).Ðèñ. Ð5.11Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷21.
Ãðàô òàêîé ñõåìû ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. Ð5.12.Ïðè ðàñ÷åòå ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìû ìåòîäàìè êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è ñå÷åíèé ïðèõîäèòñÿðåøàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ìåòîäñìåøàííûõ âåëè÷èí ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðåøåíèå ê ñèñòåìå óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî òîêà ñâÿçè6 è íàïðÿæåíèÿ íà âåòâè 1 äåðåâà.22. Íåò. Îíè ìîãóò áûòü ðàçíûìè.415Ðèñ. Ð5.12ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß5. Ðàññ÷èòûâàÿ òîêè â âåòâÿõ öåïè âàðèàíòà 4 ìåòîäîìêîíòóðíûõ òîêîâ, âûáèðàåì óñëîâíûå ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â âåòâÿõ è íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâI&ê1 , I&ê 2 êàê óêàçàíî íà ðèñ.
Ð5.13, à è çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿI&ê1 (Z 1 + Z 3 ) - I&ê 2 Z 3 = E& 1 ,-I& Z + I& (Z + Z ) = -E& .ê13ê2232Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèéì20 I&ê1 - (10 - j10)I&ê 2 = -100,í&&î -(10 - j10)I ê1 + (20 - j10)I ê 2 = -250 + j50,ïîëó÷àåì I&ê1 = – 10 + j10 À, I&ê 2 = –15 + j5 À.
Òîêè â âåòâÿõöåïè ðàâíû I&1 = 10 – j10 À, I&2 = 15 – j5 À, I&3 = 5 + j5 À.Ðèñ. Ð5.13Ðåøàÿ çàäà÷ó ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, íóìåðóåì óçëû öåïè êàê óêàçàíî íàðèñ. Ð5.13, à è çàïèñûâàåì óðàâíåíèåU& 10Y11 = Á& 1 ,111111ãäå Y11 =++=++= 0,2 Ñì,Z 1 Z 2 Z 3 10 + j10 10 10 - j10250 - j5011100Á& 11 = E& 1+ E& 2=+= 20 À.Z1Z210 + j1010Ïîëó÷àåì: U& 10 = 100 Â, è èç óðàâíåíèé âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà-I&1 Z 1 + U& 10 = E& 1 , - I&2 Z 2 - U& 10 = -E& 2 , - I&3 Z 3 + U& 10 = 0íàõîäèì òîêè I&1 = 10 – j10 À, I&2 = 15 – j5 À, I&3 = 5 + j5 À. ðàññìîòðåííîé çàäà÷å ÷èñëî óðàâíåíèé ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ ñîñòàâëÿåòäâà, òîãäà êàê ïðè ðåøåíèè ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ëèøü îäíî. Òàêèì îáðàçîì, ýòó çàäà÷ó öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé.Îñîáåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàíòà 2 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óçëîâîå íàïðÿæåíèå U& 10 (âåðõíåìó óçëó ïðèñâîåí íîìåð 1) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ÝÄÑ E& 1 :U& 10 = E& 1 è ðàññ÷èòàòü äàëåå òîêè âåòâåé èç óðàâíåíèé: U& 10 - I&3 Z 3 = 0,U& 10 + I&2 Z 2 = E& 2 , I&1 = I&2 + I&3 .Ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêà òîêà Á& 1 (âàðèàíò 1) â ýêâèâàëåíòíûé åìó èñòî÷íèê ÝÄÑ ïîçâîëÿåò èçîáðàçèòü ñõåìó ïîëó÷åííîé öåïè â âèäå (ñì.
ðèñ. Ð5.13, á),416Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ãäå E& 3 = Á& 1 Z 3 è, çàïèñàâ äàëåå óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâ (ïîäîáíî ðàññìîòðåííîìó âûøå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âàðèàíòà 4), ðàññ÷èòàòü èñêîìûå òîêè.Ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ â ýòîé öåïè ìåòîäîì óçëîâûõ íàïðÿæåíèé îáúåäèíÿåì óçëû,ñîåäèíåííûå âåòâüþ, íå ñîäåðæàùåé ýëåìåíòîâ, â îäèí óçåë, çàïèñûâàåì îäíîóðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé (òàê êàê â öåïè âñåãî äâà óçëà) è, ðàññ÷èòàâ òîê I&3¢ , íàõîäèì òîê â èñêëþ÷åííîé âåòâè I&3 = Á& 1 - I&¢3 .Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âàðèàíòà 5 ìåòîäîì êîíòóðíûõ òîêîâ âûáèðàåì íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ â ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíòóðàõ òàê, ÷òî I&ê1 = Á& 1 , I&ê 2 = Á& 2 .
Òîãäà ïîëó÷àåìI&3 = I&ê1 + I&ê 2 = Á& 1 + Á& 2 = 3 - j À.Óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé èìååò âèä (âåðõíåìó óçëó ïðèñâîåí íîìåð 1):æ 1 ö &÷÷ = Á1 + Á& 2 .U& 10 ççZè 3 ø&Ðåøàÿ åãî, íàõîäèì U = 5(3 – j)  è I& = 3 – j À.1036. Äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âàðèàíòà à âõîäÿùóþ â óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõíàïðÿæåíèéæö &bU1111÷÷ = E 1U& 10 çç+++Z1 + Z 2 Z 4 + Z 5è Z1 + Z 2 Z 3 Z 4 + Z 5 øâåëè÷èíó U& âûðàçèì ÷åðåç èñêîìîå íàïðÿæåíèå U& 10 :U& - I& Z - I& Z = 0, U& + I& (Z + Z ) = E& , -U& + I& (Z + Z ) = -bU& .Íàõîäèì:541210112110545-bU& + U& 10E& - U& 10 &E& - U& 10-bU& + U& 10, I5 =è U& I&1 = 1Z4 - 1Z 2 = 0.Z1 + Z 2Z4 + Z5Z4 + Z5Z1 + Z 2æ bZ 4æ Z4ö U& ZE& - U& 10Z2 öE& Z÷÷ + 1 2 ,U& ççZ 2 = U& 10 çç+ 1 ÷÷ = 10 4 + 1è Z4 + Z5è Z 4 + Z 5 Z1 + Z 2 ø Z1 + Z 2ø Z 4 + Z 5 Z1 + Z 2-1æ bZ 4ö é æ Z4Z2 öE& Z ù÷÷ + 1 2 ú.U& = çç+ 1 ÷÷ êU& 10 ççè Z4 + Z5ø ë è Z 4 + Z 5 Z1 + Z 2 ø Z1 + Z 2 ûÏîäñòàâëÿÿ âåëè÷èíó U& â óðàâíåíèå ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé è âûïîëíÿÿ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû, ïîëó÷àåì: U& 10 = 3 + j1,4 Â, I&1 = 0,94 – j3,1 À, I&3 = 1,21 – j3 À,I&5 = – 0,27 – j0,1 À.Âõîäÿùåå â óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâì I&ê1 (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) - I&ê 2 Z 3 = E& 1 ,í &&&î -I ê1 Z 3 + I ê 2 (Z 3 + Z 4 + Z 5 ) = -bU .íàïðÿæåíèå U& âûðàçèì ÷åðåç êîíòóðíûå òîêè:U& = I& Z + I& Zè ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèéê12ê24Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷417ì I&ê1 (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) - I&ê 2 Z 3 = E& 1 ,í &&î -I ê1 (Z 3 - bZ 2 ) + I ê 2 (Z 3 + bZ 4 + Z 4 + Z 5 ) = 0,õàðàêòåðèçóåìóþ íåñèììåòðè÷íîñòüþ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ.
Ïðè ïîäñòàíîâêå ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé è ðåøåíèè óðàâíåíèé íàõîäèìI& = I& = 0,94 – j3,1 À, I& = I& = – 0,27 – j0,1 À, I& = I& – I& = 1,21 – j3 À.ê11ê253ê1ê2Óðàâíåíèÿ ìåòîäà óçëîâûõ íàïðÿæåíèé äëÿ öåïè âàðèàíòà âæ 111 ö &11÷÷ - U 20U& 10 çç++= E& 1- aI&1 ,ZZZZZ23 ø31è 1- U& 10æ 111+ U& 20 çç+Z3è Z3 Z4ö÷÷ = aI&1øE& - U& 10,ïåðåïèøåì ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ U& 10 + I&1 Z 1 = E& 1 , èç êîòîðîãî ñëåäóåò I&1 = 1Z1â âèäåæ 1E&111a ö &÷÷ - U 20U& 10 çç++= (1 - a) 1 ,Z3Z1è Z1 Z 2 Z 3 Z1 ø.&æöæöaEa1111÷÷ + U& 20 çç÷÷ =U& 10 çç+.è Z1 Z 3 øè Z 3 Z 4 ø Z1Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷àåìU& 10 = U& 20 = 4 – j12 Â, I&1 = 4(2 – j) À, I&2 = 2(2 – j) À, I&3 = 0 À, I&4 = 2(2 – j) À. óðàâíåíèÿõ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâI&ê1 (Z 1 + Z 2 ) - I&ê 2 Z 2 = E& 1 ,-I&ê1 Z 2 + I&ê 2 (Z 2 + Z 3 + Z 4 ) = aI&1 Z 3âûðàæàåì òîê I& ÷åðåç êîíòóðíûé (I& = I& ) è ïîëó÷àåì11ê1ì I&ê1 (Z 1 + Z 2 ) - I&ê 2 Z 2 = E& 1 ,í &&î -I ê1 (Z 2 + aZ 3 ) + I ê 2 (Z 2 + Z 3 + Z 4 ) = 0.Ðåøåíèå óðàâíåíèé äàåò çíà÷åíèÿ I&1 = I&ê1 = 4(2 – j) À, I&4 = I&ê 2 = 2(2 – j) À,I&2 = 2(2 – j) À, I&3 = 0 À.7.
Ñõåìà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêîâ òîêà â èñòî÷íèêè ÝÄÑ) ïðèíèìàåò èçîáðàæåííûé íà ðèñ. Ð5.14 âèä.Ðåøàÿ çàäà÷ó äëÿ óñëîâèé âàðèàíòà 1 ìåòîäîìóçëîâûõ íàïðÿæåíèé, ìîæåì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå U& 10 = – E& 3 = – 3 Â, çàïèñàòü óðàâíåíèÿæ 111U& 20 çç++è Z2 Z4 Z5ö &111÷÷ - U 30,= -E& ¢5+ U& 10Z4Z5Z2øÐèñ. Ð5.14418Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷æ 1111+ U& 30 çç++Z4è Z1 Z 4 Z 6ö & 11÷÷ = E ¢6+ U& 10,Z6Z1øðåøåíèå êîòîðûõ U& 20 = 2 + j Â, U& 30 = – 3 + 6j Â. Èñêîìûå òîêè ðàâíû: I&1 = 6 À,I& = +1 – 5j À, I& = 5(1 + j) À, I& = 5j À, I& = 1 À, I& = 6 + 5j À.-U& 2023456Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà êîíòóðíûõ òîêîâI&ê1 × 1 + I&ê 2 × j - I&ê 3 (1 + j) = 4,I& × j + I& (1 + j) - I& (1 + j) = 0,ê1ê2ê3-I&ê1(1 + j) - I&ê 2 (1 + j) + I&ê 3 (2 + j) = 1,íàõîäèì êîíòóðíûå òîêè I&ê1 = 5(1 + j) À, I&ê 2 = 6 À, I&ê 3 = 6 + 5j À è äàëåå òîêè âåòâåé.8.
Ãðàô ñõåìû èçîáðàæåí íà ðèñ. Ð5.15.Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñå÷åíèé(Y1 + Y5 + Y7 )U& 1 + 0 × U& 2 + (-Y5 )U& 3 = Y7 E& 7 ,0 × U& 1 + (Y2 + Y4 + Y6 )U& 2 + (-Y4 - Y6 )U& 3 = -Y6 E& 6 ,-Y5U& 1 + (-Y4 - Y6 )U& 2 + (Y3 + Y4 +Y5 + Y6 )U& 3 = Y6 E& 6 ,Ðèñ. Ð5.15è ó÷èòûâàÿ, ÷òî Y6 = Y7 = ¥, íàõîäèì: U& 1 = E& 7 = 10 Â,U& 2 = Y4E& 6 /Y2 = –5 + j15 Â, U& 3 = U& 2 + E& 6 = – 10 + j20 Â, I&1 = 5 – j5 À, I&2 = – 5 + j5 À,I&3 = j10 À, I&4 = – 5 + j5 À, I&5 = 5 – j15 À, I&6 = 0 À, I&7 = j10 À.9. Ãðàô ñõåìû, äåðåâî (âåòâü 2) è ñâÿçè (âåòâè 1, 3) èçîáðàæåíûíà ðèñ. Ð5.16.Ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí íàïðÿæåíèå U& 2 è òîêè I&1 , I&3 ,çàïèñûâàåì óðàâíåíèÿ ìåòîäà ñìåøàííûõ âåëè÷èíæ 111 ö & 1÷÷ = E × ,U& 2 çç++Z1è Z1 Z 2 Z 3 øI& (Z + Z ) - I& Z = E&11232Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
