Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 76
Текст из файла (страница 76)
8.6), ïðè êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåf (t) = - f (t + T 2),ò. å. îòðèöàòåëüíàÿ ïîëóâîëíà ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì èçîáðàæåíèåì ñäâèíóòîé íàïîëîâèíó ïåðèîäà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóâîëíû.Ðèñ. 8.6Ðèñ. 8.7Åñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ, ðÿä Ôóðüå íå ñîäåðæèòïîñòîÿííîé ñîñòàâëÿþùåé è ÷åòíûõ ãàðìîíèê, òàê êàê äëÿ íèõ íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ ïðèâåäåííîå ðàíåå óñëîâèå ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñäâèãó ôóíêöèè,à ñëåäîâàòåëüíî, è ïåðâîé ãàðìîíèêè íà T/2 ñîîòâåòñòâóåò ñäâèã ÷åòíûõ ãàðìîíèê íà öåëîå ÷èñëî ïîëíûõ ïåðèîäîâ, è çíà÷åíèÿ ýòèõ ãàðìîíèê íå ìåíÿþò ñâîåãî çíàêà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðèâàÿ ñîäåðæèò òîëüêî íå÷åòíûå ãàðìîíèêè.Ýòî ïîëîæåíèå èìååò èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå.
Îñíîâûâàÿñü íà íåì,ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè ñèììåòðè÷íîì óñòðîéñòâå âðàùàþùèõñÿ ãåíåðàòîðîâ ÝÄÑ â èõ îáìîòêàõ íå ñîäåðæàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê, à òàêæå åñëè óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ òîêà ïî öåïè îäèíàêîâû â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ, òî ïðè ñèììåòðè÷íîéÝÄÑ è òîê íå áóäåò ñîäåðæàòü ÷åòíûõ ãàðìîíèê.  ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ïîñòîÿííûìè ïàðàìåòðàìè óñëîâèÿ ïðîõîæäåíèÿ òîêà â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ âñåãäà îäèíàêîâû.
Ýòè óñëîâèÿ ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâû â öåïÿõ ñ èçìåíÿþùèìèñÿ ïàðàìåòðàìè, íàïðèìåð â íåëèíåéíûõ öåïÿõ ñ âûïðÿìèòåëÿìè. ïîñëåäíåì ñëó÷àå ïîÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ è ÷åòíûå ãàðìîíèêèâ êðèâîé òîêà.Ïðèìåðîì ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ êðèâîé ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿòðàïåöåèäàëüíîé ôîðìû, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 8.7. Ðàçëîæåíèå åå â ðÿä Ôóðüåèìååò âèäf (t) =2A T æ11öç sin wt sin wt + 2 sin 3wt sin 3wt + 2 sin 5wt sin 5wt +K ÷ ,2p tè35ø÷òî ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåäåííûìè ðàíåå ôîðìóëàìèäëÿ Bk è Ck. Ïðè t = T/4 ïîëó÷àåì ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, è ðàçëîæåíèåïðèíèìàåò âèäf (t) =8A æ11öç sin wt - 2 sin 3wt + 2 sin 5wt -K ÷ .p2 è35øÏðè t = 0 ïîëó÷àåì ïðÿìîóãîëüíóþ êðèâóþ, äëÿ êîòîðîé346×àñòü 2.
Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéf (t) =4A æ11öç sin wt + sin 3wt + sin 5wt +K ÷ .235p èøÈç ýòèõ ðàçëîæåíèé âèäíî, ÷òî â íèõ îòñóòñòâóþò ïîñòîÿííûå ñîñòàâëÿþùèåè ÷åòíûå ãàðìîíèêè.Ðèñ. 8.9Ðèñ. 8.8Ìîæåò áûòü ñèììåòðèÿ êðèâûõ äðóãîãî õàðàêòåðà. Íà ðèñ. 8.8 èçîáðàæåíàêðèâàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. Èçîáðàæàåìàÿ åþ ôóíêöèÿóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ f(t) = f(–t). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîìB1 = B 2 = B 3 = K = B k = K = 0è ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå èìååò âèäf (t) = A 0 + C1 cos wt + C 2 cos 2wt + C 3 cos 3wt +K + C k cos kwt +KÅñëè êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (ðèñ. 8.9), òîf(t) = –f(–t).  ýòîì ñëó÷àåA 0 = C1 = C 2 = C 3 = K = C k = K = 0è ðÿä Ôóðüå èìååò âèäf (t) = B1 sin wt + B 2 sin 2wt + B 3 sin 3wt + K + B k sin kwt + KÏîä÷åðêíåì, ÷òî óñëîâèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ íå çàâèñèò îòâûáîðà íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè, ò.
å. ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì ñàìèõ êðèâûõ, òîãäà êàêðàññìîòðåííûå îñòàëüíûå âèäû ñèììåòðèè ñâÿçàíû ñ âûáîðîì íà÷àëà îòñ÷åòàâðåìåíè.8.7. Ïðåäñòàâëåíèå ðÿäà Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ïðåäñòàâèòü ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå.Ýòî îñîáåííî ïîëåçíî áóäåò ïðè ðàññìîòðåíèè â ãë. 11 ÷àñòîòíîãî ìåòîäà àíàëèçà ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.
Ðàíåå ðÿä Ôóðüå áûë ïðåäñòàâëåí â âèäåk =¥f (t) = A 0 + å (B k sin kwt + C k cos kwt).k =1 âûðàæåíèÿõ äëÿ A0, Bk è Ck íàì áóäåò óäîáíåå âçÿòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ íå îò 0 äî T, à îò —T/2 äî +T/2. Áóäåì èìåòü+T 2A0 =12f (t)dt; B k =òT -T 2T+T 2ò-T 2f (t)sin kwt dt; C k =2Tïðè÷åì w = 2p/T — óãëîâàÿ ÷àñòîòà ïåðâîé ãàðìîíèêè.+T 2ò-T 2f (t)cos kwt dt,Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ347Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìèsin a =11j(-e ja + e - ja ) è cos a = (e ja + e - ja ),22ìîæåì íàïèñàòüB k sin kwt + C k cos kwt =1é(C k - jB k )e jkwt + (C k + jB k )e - jkwt2 ëêù.úûÈç ôîðìóë äëÿ Bk è Ck èìååìC k - jB k =2T+T 2òf (t)e - jkwt dt; C k + jB k =-T 22T+T 2òf (t)e jkwt dt.-T 2Ñëåäîâàòåëüíî,k =¥å (Bk =1ksin kwt + C k cos kwt) ==q =¥1åT eq =1jqwt+T 2òk =¥1åT ek =1jkwt+T 2ò-T 2f (t)e - jqwt dt +-T 2k =¥+T 21 - jkwtef (t)e jkwt dt =òk =1 T-T 2f (t)e - jkwt dt + åq =-11åTeq =-¥jqwt+T 2òf (t)e - jqwt dt.-T 2Çäåñü ïðîèçâåäåíà çàìåíà â ïåðâîé ñóììå k íà q, à âî âòîðîé ñóììå k íà (– q) ñöåëüþ ïîëó÷åíèÿ îäèíàêîâûõ âûðàæåíèé ïîä çíàêàìè îáåèõ ñóìì.
Åñòåñòâåííî,÷òîáû âòîðàÿ ñóììà ïðè ýòîì íå èçìåíèëàñü, ñóììèðîâàíèå â íåé íåîáõîäèìîïðîèçâåñòè ïî çíà÷åíèÿì q îò –¥ äî –1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñóììèðîâàíèþ ïîçíà÷åíèÿì k îò +1 äî +¥.Ó÷èòûâàÿ, ÷òîA0 =+T 2é 1 jqwt +T 2ù1- jqwt=f(t)dtef(t)edtêú ,òT -Tò 2êëTúû q =0-T 2ìîæåì ïðåäñòàâèòü f(t) â âèäåü1 q =+¥ jqwte F ( jqw), ïåT q =-¥ï(*)ãäåý+T 2- jqwtïF ( jqw) = ò f (t)edt.ï-T 2þÏîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ f(t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå.  ýòîì âûðàæåíèè êàæäîé k-é ãàðìîíèêå îòâå÷àåò ñóììà äâóõ ñîïðÿæåííûõ ÷ëåíîâ (ïðè q = +k è ïðè q = –k), ðàâíàÿ óäâîåííîé âåùåñòâåííîé÷àñòè êàæäîãî èç ýòèõ ÷ëåíîâ:f (t) =1 jkwt1é2ùe F ( jkw) + e - jkwt F (- jkw) = Re ê F ( jkw) e jkwt ú.TTëTûÎáîçíà÷èâ F(jkw) = F(kw)e jak , èìååì348×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé2é2ù 2Re ê F ( jkw) e jkwt ú = F (kw) cos (kwt + a k ) = F (kw) sin(kwt + y k ),TëTû Tãäå yk = p/2 + ak.Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà22F (kw) e jyk = j F (kw) e jak =TTïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó k-éA& = A e jyk ,ãäåk2F ( jkw)Tãàðìîíèêèjk2F (kw).TÑîâîêóïíîñòü êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä âñåõ ãàðìîíèê äàííîé ôóíêöèè ìîæåòðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äèñêðåòíûé ñïåêòð ýòîé ôóíêöèè.
Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòüíà ãðàôèêå â âèäå ñïåêòðà çíà÷åíèé àìïëèòóä èñïåêòðà çíà÷åíèé ôàç. Ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàåì ÷àñòîòó, êîòîðàÿ èìååò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ,ðàâíûå ÷àñòîòàì ãàðìîíèê. Äëÿ êàæäîé ÷àñòîòûãàðìîíèê îòêëàäûâàåì îò îñè àáñöèññ ïàðàëëåëüíîîñè îðäèíàò îòðåçêè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû àìïëèòóäàì Ak èëè íà÷àëüíûì ôàçàì yk ãàðìîíèê. Ïðèýòîì Ak > 0, à yk ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíûì,òàê è îòðèöàòåëüíûì. Òàêèå õàðàêòåðèñòèêè íîñÿòíàçâàíèå ä è ñ ê ð å ò í û õ ñ ï å ê ò ð î â èëè ä è ñ Ðèñ. 8.10êðåòíûõ ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê —ñîîòâåòñòâåííî, à ì ï ë è ò ó ä í î - ÷ à ñ ò î ò í î é è ô à ç î - ÷ à ñ ò î ò í î é õ à ð à ê ò å ð è ñ ò è ê.Íà ðèñ.
8.10 èçîáðàæåíà äèñêðåòíàÿ àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêàäëÿ ôóíêöèè âðåìåíè, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 8.7, ïðè t = 0.Ak =8.8. Áèåíèÿ êîëåáàíèéÍà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ íåñèíóñîèäàëüíûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ, êîòîðûå íåìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðÿäà Ôóðüå, ñîäåðæàùåãî ñîñòàâëÿþùèå ñ ÷àñòîòàìè, êðàòíûìè îñíîâíîé ÷àñòîòå, è âìåñòå ñ òåì îáëàäàþò â èçâåñòíîì îòíîøåíèè ïåðèîäè÷íîñòüþ ñâîèõ èçìåíåíèé.
Ñþäà îòíîñÿòñÿ íåñèíóñîèäàëüíûåòîêè è íàïðÿæåíèÿ, èçîáðàæàåìûå êðèâûìè ñ ïåðèîäè÷åñêîé îãèáàþùåé. Ê íèìïðèíàäëåæàò òàê íàçûâàåìûå á è å í è ÿ ê î ë å á à í è é è ì î ä ó ë ÿ ö è ÿ ê î ë å á à í è é.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé áèåíèÿ êîëåáàíèé. Ïóñòü â íåêîòîðîé öåïè íàëàãàþòñÿäâà ñèíóñîèäàëüíûõ òîêà: i1 = Im sin w1t è i2 = Im sin w2t, èìåþùèå îäèíàêîâûå àìïëèòóäû, íî ðàçíûå ÷àñòîòû, ïðè÷åì ÷àñòîòû w1 è w2 áëèçêè äðóã ê äðóãó, òàê ÷òîðàçíîñòü èõ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå êàæäîé èç íèõ:w1 - w2 < w1èw1 - w2 < w2 .Ãëàâà 8. Ðàñ÷åò ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ349Ðåçóëüòèðóþùèé äåéñòâèòåëüíûé òîê â öåïè ïðè ýòîì ðàâåíw - w2w + w2i = i1 + i2 = I m (sin w1 t + sin w2 t) = 2 I m cos 1t sin 1t.22w - w2 w1 + w2Òàê êàê 1, òî êðèâóþ òîêà i ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèíóñîèäó<22æ w + w2 öñ óãëîâîé ÷àñòîòîé ç 1÷, àìïëèòóäà êîòîðîé èçìåíÿåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ìåä2èøæ w1 - w2 öëåííî ïî çàêîíó 2Im cos ç÷t .2èøÒàê êàê àìïëèòóäà åñòü âåëè÷èíà ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíàÿ, à âåëè÷èíàæ w - w2 öcos ç 1÷ t ìåíÿåò çíàê â ìîìåíòû ïåðåõîäà åå ÷åðåç íóëü, òî ýòî ðàâíîñèëüíî2èøñêà÷êîîáðàçíîìó èçìåíåíèþ â ýòè ìîìåíòû âðåìåíè ôàçû ñèíóñîèäàëüíûõ êîw + w2ëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé 1íà óãîë p.2w + w2= 26/3, ò.
å.Íà ðèñ. 8.11 èçîáðàæåíû áèåíèÿ êîëåáàíèé äëÿ ñëó÷àÿ 1w1 - w2äëÿ ñëó÷àÿ w1/w2 = 29/23 èëè w2/w1 = 23/29.×àñòîòîé áèåíèé fá ïðèíÿòî íàçûâàòü÷àñòîòó, îïðåäåëÿåìóþ ÷èñëîì ìàêñèìóìîâîãèáàþùåé êðèâîé â åäèíèöó âðåìåíè. Ñîîòâåòñòâåííî, âåëè÷èíó Tá = 1/fá (ðèñ. 8.11)íàçûâàþò ïåðèîäîì áèåíèé. Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä áèåíèé ðàâåí ïîëîâèíå ïåðèîw - w2äà ôóíêöèè cos 1t.2Ëåãêî óñìîòðåòü èç ðèñóíêà, ÷òî õàðàêòåð ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé íå ïîâòîðÿåòñÿâ äâóõ ñîñåäíèõ ïåðèîäàõ áèåíèé.  ðàñÐèñ. 8.11ñìîòðåííîì ïðèìåðå õàðàêòåð ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ òîëüêî ÷åðåç òðè ïåðèîäà ôóíêöèèw - w2cos 1t, ò. å. ÷åðåç 6Tá, òàê êàê â ýòîì èíòåðâàëå âðåìåíè óêëàäûâàåòñÿ öåëîå2w - w2÷èñëî ïåðèîäîâ ôóíêöèè sin 1t, è ÷èñëî ñêà÷êîîáðàçíûõ èçìåíåíèé åå2ôàçû íà óãîë p ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì ÷èñëîì 6.Òàêèì îáðàçîì, ïåðèîä ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé áîëüøå ïåðèîäà áèåíèé.Åñëè îòíîøåíèå w1/w2 ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì, òî ïåðèîä ðåçóëüòèðóþùåé êðèâîé îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòà êðèâàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé.
Òåì íå ìåíåå, ïîíÿòèå î ïåðèîäå áèåíèé Tá ñîõðàíÿåòîïðåäåëåííûé ñìûñë.350×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéßâëåíèå áèåíèé êîëåáàíèé ñ óñïåõîì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ óñòàíîâëåíèÿ îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû w1 êîëåáàíèé â îäíîé ñèñòåìå îò ÷àñòîòû w2 êîëåáàíèé â äðóãîéñèñòåìå. Èçìåðÿÿ ÷àñòîòó áèåíèé, ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü âåñüìà ìàëûå îòêëîíåíèÿ D w = w1 – w2 ïî ñðàâíåíèþ ñ ñàìèìè âåëè÷èíàìè w1 è w2.Òàê êàê ðåçóëüòèðóþùàÿ êðèâàÿ i = f(t) â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ äåéñòâóþùåãî òîêà i = f(t), ñòðîãî ãîâîðÿ, ìû íå ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäàìè, óñòàíîâëåííûìè â § 8.3.Îäíàêî åñëè óñëîâèòüñÿ ïîä äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì I ïîíèìàòü ñðåäíååêâàäðàòè÷åñêîå çíà÷åíèå òîêà i = f(t) çà äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t >> Tá, òî ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèå I êàê êîðåíüêâàäðàòíûé èç ñóììû êâàäðàòîâ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ñîñòàâëÿþùèõ, èìåþùèõ ÷àñòîòû w1 è w2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
