Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 68
Текст из файла (страница 68)
6.12). Ïðîöåññû â äóàëüíûõ öåïÿõ àíàëîãè÷íû ïðè çàìåíå íàïðÿæåíèé íà òîêè è íàîáîðîò, â ÷àñòíîñòè, ðåçîíàíñó íàïðÿæåíèé â îäíîé öåïè ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñ òîêîâ â äðóãîé.Ðèñ. 6.11Ðèñ. 6.12Óçëû è êîíòóðû äóàëüíûõ ñõåì I è II âçàèìíî îïðåäåëÿþòñÿ. Ïîýòîìó äëÿ äóàëüíûõ ñõåì CI = DII è DI = CIIÂàæíî îòìåòèòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà äóàëüíûõ öåïåé. Ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ òàêæå äîëæíû áûòü äóàëüíûìè.
Íàïðèìåð, ñâåäåíèå ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ âåòâåé â îäíó â èñõîäíîé ñõåìå (Y1 + Y2 = Yý) îçíà÷àåò ñâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ äóàëüíûõ âåòâåé â îäíó (Z1 + Z2 = Zý) è íàîáîðîò.Ïðåîáðàçîâàíèÿ DÆl â ñõåìå I îçíà÷àþò îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ lÆD â äóàëüíîé ñõåìå II. Èñêëþ÷åíèå êîíòóðà (èëè óçëà) â ñõåìå I ïðè ïîìîùè ðàçðûâàñâÿçè (èëè çàìûêàíèÿ íàêîðîòêî âåòâè äåðåâà) îçíà÷àåò èñêëþ÷åíèå óçëà (èëè,ñîîòâåòñòâåííî, êîíòóðà) â äóàëüíîé ñõåìå II ïðè ïîìîùè çàìûêàíèÿ íàêîðîòêîâåòâè äåðåâà (èëè ðàçðûâà ñâÿçè). Åñëè ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ ÷èñëåííîå (íåïî ðàçìåðíîñòè) ðàâåíñòâî Z è Y, e è Á, òî â äóàëüíûõ ñõåìàõ áóäåò èìåòü ìåñòîðàâåíñòâî, ñîîòâåòñòâåííî, òîêîâ (èëè íàïðÿæåíèé) ñõåìû I íàïðÿæåíèÿì (èëèòîêàì) äóàëüíîé ñõåìû II.6.6.
×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïåé, ñîäåðæàùèõòîëüêî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòûÐàññìîòðèì ñâÿçü ìåæäó òîêîì è ÝÄÑ íà âõîäå ïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà,ñîñòîÿùåãî òîëüêî èç ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîëàãàÿ â âûðàæåíèè äëÿ I&1 , ïîëó÷åííîì ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ (ñì.
§ 5.11), I&1 = I&âõ è E& 11 = E& âõ , ãäå I&âõè E& âõ — ñîîòâåòñòâåííî, âõîäíîé òîê è âõîäíàÿ ÝÄÑ, èìååìDI&âõ = 11 E& âõ = Yâõ E& âõ ,Dò. å.D 11D= Yâõ è Z âõ = jx âõ =.DD 11Çäåñü D — îïðåäåëèòåëü n óðàâíåíèé öåïè, çàïèñàííûõ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõòîêîâ, èìåþùèé n ñòðîê è n ñòîëáöîâ; D11 — åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå,312×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéèìåþùåå (n – 1) ñòðîê è (n – 1) ñòîëáöîâ.
 êàæäîì ýëåìåíòå D è D11 ñîäåðæàòñÿâåëè÷èíû âèäàjæ11 ö÷Z ii = jx ii = jwL ii += çç w2 L ii C ii ÷øjwC ii w èèj æç 21w L kq çC kqwèö÷,÷øò. å. âî âñåõ íèõ ñîäåðæèòñÿ ìíîæèòåëü j/w ïðè âåùåñòâåííûõ âåëè÷èíàõ. Èìåÿâ âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæåì çàïèñàòüZ kq = jx kq =Z âõ = jx âõ =( j w) n D ¢j D¢D==,n -1D 11 ( j w) D ¢11 w D ¢11èëèx âõ =1 D¢,¢w D 11¢ âåùåñòâåííû. Ýëåìåíòû, âõîäÿùèå â D¢ è D ¢11, èìåþò âèäãäå D¢ è D 11w2 L ii -1C iiè w2 L kq -1.C kq¢ è ãðóïïèðóÿ â íèõ ÷ëåíû ñ îäèíàêîâîé ñòåïåíüþ w, ïîëóÐàñêðûâàÿ D¢ è D 11÷èì â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ïîëèíîìû âèäàx âõ =a2 n w2 n + a2 n -2 w2 n -2 +K + a0w(b2 n -2 w2 n -2 + b2 n -4 w2 n -4 +K + b0 ).Åñëè íàéòè êîðíè ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ ±(w1, w3, ..., w2n–1) è êîðíè ïîëèíîìàçíàìåíàòåëÿ ±(w2, w4, . .
., w2n–2), ïðèðàâíèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëèíîìû êíóëþ, òî ìîæåì çàïèñàòü òàêæåx âõ =a2 n (w2 - w12 )(w2 - w23 )L (w2 - w22 n -1 ).b2 n -2 w(w2 - w22 )(w2 - w24 )L (w2 - w22 n -2 ) öåïè, ñîäåðæàùåé òîëüêî ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû, óãîë ñäâèãà ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ j = ±p/2. Ïðè ðåçîíàíñå â òàêèõ öåïÿõ j = 0, è ïîýòîìó ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå j îò +p/2 äî –p/2 èëèîò –p/2 äî +p/2 ìîæåò ïðîèñõîäèòü òîëüêî â ìîìåíòû ðåçîíàíñà â öåïè.Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü j(w) äîëæíà èìåòü âèä,ïîêàçàííûé íà ðèñ. 6.13. òî÷êàõ ðåçîíàíñà xâõ = 0 èëè xâõ = ¥, ò.
å. äëÿ xâõ èìååì í ó ë ü èëè ï î ë þ ñ, àíàëîãè÷íî ðåçîíàíñó íàïðÿæåíèé èëè ðåçîíàíñó òîêîâ â ïðîñòåéøèõ öåïÿõ, ðàññìîòðåííûõ â § 6.3, 6.5.Êàê áóäåò ïîêàçàíî â äàëüíåéøåì, äëÿ ÷èñòî ðåàêÐèñ. 6.13òèâíûõ öåïåé x(w) âñåãäà âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì w, ò. å.Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè313dx âõ> 0,dwâ ñïðàâåäëèâîñòè ÷åãî äëÿ ïðîñòåéøèõ öåïåé ìû óáåäèëèñü ðàíåå.  òàêîì ñëó÷àå ïîëþñû è íóëè ôóíêöèè xâõ ìîãóò òîëüêî ÷åðåäîâàòüñÿ.Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíà xâõ, óâåëè÷èâàÿñü îò –¥ (ïîëþñ ôóíêöèè), âñå âðåìÿ ðàñòåò, ïðîõîäèò ÷åðåç íóëü (íóëü ôóíêöèè) è, âîçðàñòàÿ âñå âðåìÿ äàëüøå,äîñòèãíåò çíà÷åíèÿ +¥ (ïîëþñ ôóíêöèè). Ïðè ïåðåõîäå ÷àñòîòû ÷åðåç ïîëþñ xâõìåíÿåò çíàê, è ïðîöåññ ïîâòîðÿåòñÿ.Åñëè êîðíè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ w1, w2, ...
ðàñïîëîæèòü ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ èõ çíà÷åíèé, òî ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî âñëåäñòâèå ÷åðåäîâàíèÿ íóëåé è ïîëþñîâ èìååì0 < w1 < w2 < w3 < K< w2 n -1 .Èç âûðàæåíèÿ äëÿ xâõ âèäíî, ÷òî ïîëèíîìû ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ èìåþò÷ëåíû, ñòåïåíü w â êîòîðûõ óìåíüøàåòñÿ íà äâå åäèíèöû è, êðîìå òîãî, ðàçíèöàâ ìàêñèìàëüíûõ ñòåïåíÿõ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ íå ïðåâûøàåò åäèíèöû.Åñëè âñå êîýôôèöèåíòû íå ðàâíû íóëþ, òî ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ íà åäèíèöó âûøåñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî a2n = 0, íî b2n–2 ¹ 0; òîãäà ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ íà åäèíèöó íèæå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ.
Òî, ÷òî ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî òàêèå âàðèàíòû, ìîæíî ïîíÿòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Êîãäà ÷àñòîòà wñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ñîïðîòèâëåíèå âñåõ êàòóøåê òàêæå ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ êîíäåíñàòîðîâ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.  çàâèñèìîñòè îò ñòðóêòóðû ñõåìû ðåçóëüòàò áóäåò òîò èëè èíîé, à èìåííî: åñëè íà ïóòè îòîäíîãî âõîäíîãî çàæèìà ê äðóãîìó èìååòñÿ õîòü îäíà öåïî÷êà âåòâåé, ñîñòîÿùàÿòîëüêî èç êîíäåíñàòîðîâ, òî xâõ ® 0 ïðè w ® ¥ (ðèñ. 6.14 è 6.15). Íàëè÷èå êàòóøåê íå èãðàåò ïðè ýòîì ðîëè, òàê êàê èõ ñîïðîòèâëåíèå ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, xâõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðîïîðöèîíàëüíî 1/w, ò. å.
â ïðåäåëåöåïü áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå. Åñëè â öåïè íåò òàêîé öåïî÷êè êîíäåíñàòîðîâ è ïî ëþáîìó ïóòè îò îäíîãî çàæèìà ê äðóãîìó âñòðåòèòñÿõîòÿ áû îäíà êàòóøêà (ðèñ. 6.16 è 6.17), òî êîíäåíñàòîðû ïðè w ® ¥ íå èãðàþòÐèñ. 6.14Ðèñ. 6.15Ðèñ. 6.16íèêàêîé ðîëè, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèå öåïè áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿòüñÿ ñîïðîòèâëåíèåì êàòóøêè, ñòðåìÿùèìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè314×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéýòîì xâõ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðîïîðöèîíàëüíî w, ò. å. â ïðåäåëå öåïü áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Òàê êàê â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ïðè w ® ¥ îñòàþòñÿ òîëüêî ÷ëåíû ñ âûñøåé ñòåïåíüþ w, òî ðàññìîòðåííûåïðåäåëüíûå ñëó÷àè ïîäòâåðæäàþò ñäåëàííîå âûøå çàêëþ÷åíèå î òîì, ÷òî íàèáîëüøèå ñòåïåíè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ â òó èëè èíóþ ñòîðîíó òîëüêî íà åäèíèöó.Ïðèâåäåííûå ñâîéñòâà âõîäíîãî ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ öåïåé, ñîñòîÿùèõ èç ÷èñòî ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòîâ, ïîìîãàþò ïðàâèëüíî ñòðîèòü ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè òàêèõ öåïåé. Ïðèìåðû ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê, ãäå ïîêàçàíû âñå÷åòûðå âîçìîæíûõ âàðèàíòà ðàñïîëîæåíèÿ íóëåé è ïîëþñîâ ïðè w = 0 è w = ¥,ïðèâåäåíû íà ðèñ.
6.14–6.17.Ðèñ. 6.17Ðèñ. 6.18Èìåÿ ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè x(w) èëè b(w) îòäåëüíûõ ó÷àñòêîâ öåïåé,ìîæíî ãðàôè÷åñêè ñóììèðîâàòü x(w) âåòâåé è ó÷àñòêîâ öåïè, ñîåäèíåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî, è b(w) âåòâåé è ó÷àñòêîâ öåïè, ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî. Ïðèìåð òàêîãî ãðàôè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ïîêàçàí íà ðèñ. 6.18 äëÿ ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 6.14.6.7. ×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïåé â îáùåì ñëó÷àåÏîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè öåïåé L, C áåçïîòåðü ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ âûÿñíåíèÿ õàðàêòåðà ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ðåàëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íàëè÷èè àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé. Ìûâèäåëè (ñì.
§ 6.5), ÷òî ïðè ðåçîíàíñå òîêîâ â ñëó÷àå g ¹ 0 ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå êîíòóðà ðàâíî íóëþ, à íå áåñêîíå÷íîñòè, êàê ïðè g = 0. Ïîýòîìó âèä ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê âáëèçè ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò, ïðè êîòîðûõ íàñòóïàåò ðåçîíàíñòîêîâ, áóäåò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò âèäà ýòèõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ñëó÷àÿ g = 0.Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïè â îáùåì ñëó÷àå îêàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ÷àñòîòû. Âñå ýòè îáñòîÿòåëüñòâà îñëîæíÿþò èññëåäîâàíèå ÷àñòîòíûõ çàâèñèìîñòåé. Õàðàêòåð çàâèñèìîñòè z, r, x îò w ïðè íàëè÷èè êîíå÷íîãî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿïðè áîëüøîé äîáðîòíîñòè ýëåìåíòîâ öåïè ïîêàçàí íà ðèñ. 6.19. Ïðè ýòîì ìîæíîïîä äîáðîòíîñòüþ êàòóøåê ïðè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå w0 ïîíèìàòü îòíîøåíèå ååèíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ê åå àêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, ò. å.
QL = w0L/rL.Ãëàâà 6. Ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ è ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè315Ñîîòâåòñòâåííî, ïîä äîáðîòíîñòüþ êîíäåíñàòîðà ïðè ÷àñòîòå w0 ìîæíî ïîíèìàòüîòíîøåíèå åãî åìêîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ê åãî àêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ, ò. å.QC = 1/(w0CrC).Îáùèé ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ðåçîíàíñíûõ÷àñòîò îñòàåòñÿ è â ýòîì ñëó÷àå òåì æå —íåîáõîäèìî íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ èëè êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè öåïè, âûäåëèòü â íèõìíèìóþ ÷àñòü è ïðèðàâíÿòü ê íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè j. Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿåì ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû öåïè.
×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè z(w), j(w), r(w), x(w),g(w), b(w), y(w) äëÿ çàäàííîé öåïè âçàèìîñâÿçàíû, è â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äîñòàòî÷íîçíàòü ëèøü îäíó èç ïåðå÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê, ÷òîáû ìîæíî áûëî îïðåäåëèòüîñòàëüíûå. Ýòîò âåñüìà âàæíûé âîïðîñ áóäåò ðàññìîòðåí â ãë. 11. çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ðåçîíàíñíûåÿâëåíèÿ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 6.20.Ðèñ. 6.19Êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü ýòîé öåïèèìååò âûðàæåíèå1111Y = Y1 + Y2 =+=+=Z 1 Z 2 r1 + jwL r2 - j1 / (wC)=r1212r +w L2+æwL- j çç 2–2 2r + 1 / (w C )è r1 + w Lr22222ö1 / (wC)÷ = g - jb.2 2 ÷r + 1 / (w C ) ø22Óñëîâèåì ðåçîíàíñà áóäåò b = 0, îòêóäà íàéäåìw0 =æL2ç - r1CLC è1ö æL2÷ / ç - r2Cø èö÷.øÏðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà r1 = r2 = r = L C. Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïåðâîãî ÷ëåíà â âûðàæåíèè äëÿ b íà w2LC. Çàìåòèâ, ÷òîr12 = r22 = L/C, ïîëó÷èì1 / (wC)1 / (wC)wL==.22 22 21 / (w C ) + L C 1 / (w2 C 2 ) + r22r1 + w LÏðè ëþáîì çíà÷åíèè ÷àñòîòû w ðåàêòèâíàÿ ïðîâîäèìîñòüðàâíà íóëþ, ò.
å. ðåçîíàíñ â öåïè èìååò ìåñòî ïðè ëþáîé ÷àñòîòå. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì ñîïðîòèâëåíèå âñåé öåïèîñòàåòñÿ ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ íåèçìåííûì è ðàâíûì r.Ïðè íàïðÿæåíèè íà çàæèìàõ öåïè u = Um sin wt òîê i1 â êàòóøêå ðàâåí i1 = I1m sin (wt – j1), à òîê i2 â êîíäåíñàòîðå è íàïðÿæåíèå uC íà íåì ðàâíûÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
