Г.А. Лоренц - Лекции по термодинамике (853990), страница 6
Текст из файла (страница 6)
~кз (11) следует, что т не единственный интегрирующий делитель длн оо, ибо Дг))Г, где )'(П) — произвольная функция энтропии, есть такте интегрирующий делитель. Очевидно, далее, что когда температуры двух тел равны, то подобные произвольно выбранные интегрирующие делители отнюдь не обязаны равнвться друг другу. Лекции ке тиерльедикильике Возьмем за независимые переменные е и Т. Тогда по первому началу оь,) = ~~ ВТ+ ~~ де+ рЮ., е откуда — — — ь1Т+,— ' — ' + р ди. Так как — -" полный дифференциал, то о'Ч' Т вЂ” — — — — — +р или Тз откуда де Т Р (12) Члены, стоящие в первой части равенства, можно определить опытным путем. Второе начало показывает нам, следовательно, вид зависимости внутренней энергии от объема.
Для идеальных газов ре = КТ, так что Мы видим, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от объема. В этом как раз и состояло второе характеристическое свойство, принятое нами для идеального газа (см. а 5); первое такое свойство справедливость закона рю = ЙТ. Второе начало термодинамики связывает между собой эти два свойства: так как, и обратно, из ~ †( = О следует /де'1 ~В.(т т —" -р=о, З 15.
Несполъпо простейших при ъолсепий откуда 1одр = 1одТ+ 1онС, или Для бесконечно малого адиабатического изменения — с1Т+йс1и = О, другими словами, уменьшение внутренней энергии равно работе, произведенной газом. Для конечного изменения это дифференциальное уравнение нужно проинтегрировать. Напишем его в виде с — + —, с1о = О.
, с1Т Л соТ э Тогда, в результате интегрирования, если считать теплоемкость с„ по- стоянной, имеем с, 1одТ+ Л1оде = С, со !од Т + (ср — со) 1о,, э = С, 1одТ+ (гс — 1) 1оди = С, где г ' или окончательно Т '-' = С = Т. о '. Если из этого уравнения и из ри = КТ исключить температуру, то получим рэ = сопэФ = реса, ь, ь 7екиии ко ткержодикааике а если исключить объем: Т Р = сопеС = ТоРо й 1 — й й 1 — й или 1 —— — р " = сопли Т (1ое) В 16.
Отношение теплоемкостей ср и с„ Численное значение к может быть определено путем эдиабатического расширении газа. Возьмем баллон шарообразной формы, наполненный газом пРи давлении Ры пРевосхоДЯщем атмосфеРное давление Ре, и температуре Т, равной температуре окружающей среды. Баллон сообщается с трубкой с широким краном нэ конце. Откроем крап, тогда газ быстро, а следовательно, и адиабатически, расширится, пока давление в баллоне пе сравннется с Ро. Температура газа упадет при этом до Т'.
Как только газ расширился таким образом, кран сновв закрывается. Через некоторое время температура газа в баллоне возвратится к своему начальному значению Т, а давление возрастет до Рз, при этом рг > рз > ре. Последний процесс произойдет при постоянном объеме, так что Ро Рз ~ Ро — — или Т =Т вЂ”. Т' Т' Рз аднабатический; применив к нему формулу Пу- Первый процесс ассона, получим: 1 г —— й Рй Т 1 1 —— Ро Т' й Ро Рз Т откуда 1 1 й Й , й — 1 — 1 й Рй Ро Рз Рй Ро Рз. или (й — 1) 1онрй — — /е 1опрз — 1ойро, Формулы (13), (14) и (15) принадлежат Пуассону, Опи справедливы для обратимых аднабатических изменений в идеальных газах.
39 516. Отношение тенооезеностеп ср и с„ и окончательно 1оп р2 — 1оо ро й= 1овр2 — 106 Р2 Таккакрг>рз>ро той>1. Если давления мало отличаются друг от друга, то разности их логарифмов приблизительно пропорциональны разностнм самих давлений, и формула получает вид Рг — Ро 18 Р2 1,4068 1,4032 1,4050 1,4051 1,4049 1,4064 1,4036 1, 4073 1,4047 1,4063 где среднее й = 14053, причем третья ошибка равна 0,00027.
Реньо получил для воздуха ср —— лить со, затем и ср — со = В. Но Л цифра еще достоверна: вероятная 0,2375 как. Тогда можно вычисможно вычислить и в единицах Лучшее определение )с по этому методу принадлежит Ренттену (Ро88. Апп., СХ11, 1870). Рентген работал с большим шарообразным баллоном емкостью в 70 литров. Давления измернлись металлическим манометром — волнистой пластинкой германского серебра 18егшап з1!гег), укрепленной в одном из отверстий баллона. Малейшее движение пластинки, обусловленное изменением давления в баллоне, сообщалось одновременно и зеркальцу, связанному с пластинкой.
Угол отклонения зеркала можно было измерять с помощью оптической трубы и шкалы. Так как деления линейки были прокалиброваны уже заранее, то по линейке можно было прямо отсчитывать миллиметры ртутного столба. Во время этих опытов возник ряд вопросов. Оказывала ли влияние быстрота истечении? Действительно ли процесс был адиабатическим? Мояено ли применять здесь формулы, справедливые для идеальных газов? Рентген исследовал даже упругое последействие металлической пластинки — манометра. Рентген получил следующие значения для й при опытах с сухим атмосферным воздухом при 17'. 40 Лекции ио термодинамике механической работы, пользуясь равенством В =, где ре, не и Т Роно Т получаем, зная удельный вес воздуха при 0' С и давлении в 760 мм: литр воздуха при этих условиях весит 1,293 г. Если ро и ое выражены в единицах системы СОЯ, то В выразится в эргах.
Таким образом находим механический эквивалент теплоты. Одна малая калория эквивалентна 419 . 1Ое аргон. 9 17. Система с произвольным числом параметров с1г = — Аа+ — И+ ... + —,,АТ. дг дг дг = до дд "' дТ (16) Внешняя работа, как легко видеть, может быть выражена в форме: Ада+ В ЙВ + ... + ОЙТ., где А, В и т,д. функции независимых переменных ее, д,..., Т. Первое начало принимает тогда вид: ЛЦ = — с+А Ао+ =+ В ЛД+ ...
+ —, +О аеТ. (17) Параметры сб д, 7,... можно выбрать так, чтобы в выражении работы отсутствовал член ОИТ. Действительно, всегда можно ввести такие параметры, что пока они не меняются, внешняя работа не производится, вне зависимости от изменения температуры. Если взаимодействие между системой и окружающей средой носит обычный, механический характер, то за о, 3, 7,... достаточно принять геометрические величины, определяющие размеры и форму системы, включая сюда и взаимное располояеенне ее частей, а следовательно, и положения точек приложения сил.
Если величины зти, которые можно назвать обобщенными координатами, остаются постоянными, то цад Рассмотрим теперь более общий случай систему, состояние которой В определяется, кроме температуры Т, некоторым числом (н) параметров о, д, 7,...
Внутренняя энергия системы г нвляется функцией всех этих величин. Приращение г при переходе из В в бесконечно близкое состояние В', определяемое значениями параметров о + Ло, В + АЩ..., Т + ЛТ, равно 'З 17. Система с произволаиым числом параметров 41 — — — +А) да+ — 1 —,+В) дд+ ... + — —,дТ, (18) де 1 де 1 де 1 д Т Т1,да ) ' Т1,дд ) ' ТдТ но — должно быть по второму началу в то же время полным диффей;) Т ренциалом (дг1). Отсюда вытекает ряд условий, число которых равно числу сочетаний по два из независимых переменных.
Эти условия распадаются на 2 группы. Одна из них содержит зависимости типа — — —,~+А = — — —,~+В или, так как Т не зависит от а и д, дА дВ дд да' (19) Зависимости эти имеют место лишь тогда, когда система определяется больше, чем одним параметром вида а, д,..., и показывают, что об- общенные силы суть частные производные по а, д,... одной и той же функции И': А =,, В = —,— и т. д., да' д7 так что Ада + В дд+ ... есть полный дифференциал функпии И', если Т постоянно. Другими словами, работа внешних сил при постоннной температуре есть полный дифференциал. Это можно доказать и проще: раз для всего цикла ) — = О, то — — полный дифференциал; если, с1че дО далее, Т постоянно, то 1 Й„1 = О, так что Й1, а значит, и работа суть полные дифференциалы. системой извне никакой работы не производится.
Как примеры подобного рода координат укажем объем тела. длину стержня, его угол кручения и т. п. Коэффициенты А, В, С.... можно назвать обобщенными силами. Их смысл зависит от смысла параметров а, д, 7,... Так, например, если а — объем газа, то работа равна рда, так что А = р. Точно так же обобщенная сила, соответствующая длине стержни, это сила, с которой стержень растягивается в длину, обобщенной силой для угла кручения будет момент кручения, который дает стержень па одном из своих концов. Таким образом, 42 Лекции ио термодинамике Условия второй группы получаются комбинированием последнего члена формулы (18) со всеми остальными членами. Мы получим тогда уравненин типа д 1 де д 1 де + иди, в развернутом виде, (20) — = — А+Т и аналогично — = — В+Т и т.д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
