Г.А. Лоренц - Лекции по термодинамике (853990), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это имеет место в действительности. пусть при выполнении цикла с Вь (температура й) и Вз (температура 12) у резервуара Вь отнимается количество теплоты 1„еь и резервуар В2 получает количество теплоты Яь/1(й, 12). Тогда, по пре- Лекции ке ткержедикииике дыдущему, на цикле Лг и Лз у Лг нужно отнлть количество теплоты Щ/Д11, 12), так что резервуар Лз получит количество теплоты Я1~У(11.
12)2(12, ~з), тогда как при цикле Карно непосредственно между Л1 н Лз последний резервуар получает количество теплоты Ч1,1д(1ы 12). Мы должны получить, таким образом, 1 (б1~ гз) — ~(11; гг)2 (гг: ФЗ). Это условие, действительно, соблюдается, если положить У(~1 ~2) т, Т2 812. Второе начало для обратимых процессов Формулу — = —, справедливую для цикла Карно, можно записать Яг ч)г Тг ' и так: 1е1 ге'2 — — — =О, т т или же (8) где слева стоит алгебраическан сумма сообщенных количеств теплоты, деленных на соответству1ощие температуры. Рассмотрим теперь произвольный обратимый цикл. Температура системы будет при этом менптьсн, вообще говоря, непрерывно.
Если весь процесс разбить на отдельные достаточно малые ступени н обозначить количество теплоты, полученное рабочим веществом на любой такой ступени, через гид, то что можно рассматривать как обобщение уравненил (8). Докажем это сначала длл системы, состояние которой определяется ее объемом и и давлением р. Тогда весь цикл, изображаемый на рис. 8 замкнутой кривой А, мы рассечем адиабатами аб, дс,... и изотермами аЛ, Ьс,... на бесконечно малые циклы Карно адсб, ...
Треугольные З13. Отпоров начало дяя олрагпимия процессов ~общий случай] 31 фигуры по краям типа ас11 будут бесконечно малыми высшего порядка. и ими можно пренеоречь. Пусть теперь Ис,ьее — теплота, полученная системой на ступени ас1, а ьЬьдьс— теплота, полученная на Ьс, причем порядок индексов у скд' показывает направление процесса. Тогда ц, т, — но ДЯ ь = -Л~ьс, так что =О + Та Ть Рис. 8 О 13.
Второе начало для обратимых процессов 1общий случай~ Перейдем теперь к общему доказательству равенства / — = О длн Г дсд / Т любого обратимого цикла К. Рассмотрим для этого совершенно произвольный цикл, который разобьем па бесконечно малые ступени.
Мы предположим, что в любой момент времени температура всех частей системы одинакова. На каждой из таких ступеней система, нмеюпьая в этот момент температуру Т, получает бесконечно малое количество теплоты 41д, могущее быть как положительным, так и отрицательным. Допустим теперь, что каждое из этих количеств Ля получено системой посредством цикла Карно от единственного теплового резервуара В с температурой 0 и столь большой емкостью, что в течение всего процесса В остается постоянной. И если теперь просуммировать все подобные отношения, то полуИц чим ь — = О, где интеграл распространен на весь заданный замк- / Т нутый контур. Действительно, сй:,1,д можно заменить через дбЬ,О так КаК, В СИЛУ Щ~ = О, М~оЬ + Ь1(,ЬВ, ИЛИ д(доЬ вЂ” Ж)ею ЕСТЬ рабОта На цнК- ле ад1, которая выражается площадью контура аь11, бесконечно малой второго порядка.
32 Лекции ио термодика.цике Предположим, наконец. что в каждом из этих вспомогательных циклов одним из тепловых резервуаров является й, а другим система, совершающая цикл К. Тогда, согласно (7), количество теплоты, поте- дО рянное В на каждой из рассматриваемых ступеней, равно 0 —, а для всего процесса " сЦ в/ —. Т Но это выражение не может быть положительным, ибо, поскольку система, совершившая цикл К, так же как и все тела, использованные для вспомогательных циклов, возвратились в начальное состояние, то теплота, отданная резервуаром В, была бы, таким образом, полностью превращена в работу.
По это, согласно принципу Кельвина, невозможно. Принцип Кельвина гласит: невозможно, чтобы единственным результатом ряда изменений в системе тел явлнлась потери некоторедм телом А определенного количества теплоты ео и превращение его полностью в работу. Иринпип этот тесно связан с принципом Клаузиуса (см. Э 8). Действительно, если бы некоторое количество тепла ш можно было полностью превратить в работу, то эта работа могла бы быть использована в обратном цикле Карно с телом А в качестве резервуара более высокой температуры с тем, чтобы не только вернуть А теплоту ы, но и сообщить ему некоторое добавочное количество теплоты, отнятое от резервуара В, имеющего более низкую температуру.
Единственным результатом обоих процессов был бы тогда переход тепла от В к А, что противоречит принципу Клаузиуса. ~до Таким образом, выражение о ~ —, а следовательно и е — не мо- / Т' ' / Т Г ЛО. гут быть положительными. Остается лишь возможность ~ — < О. Но АЛО поскольку процесс обратимый, то неравенство / —, < О для такого /' ИО процесса влечет за собой ~ — > О для обратного процесса, что невоз- Т можно. Отсюда единственной остающейся возможностью для кругового обратимого процесса нвляется ~ейз 0 Словами: «для всякого кругового обратимого процесса сумма приведенных теплот равна нулю, причем иприведеннаяе означает "деленная на абсолютную температуру" ».
З 14. Различные ойрагпимые пути между двумя состояниями. ЭнгпропшйЪ Э 14. Различные обратимые пути между двумя состояниями. Энтропия Предположим теперь, что из состояния А в состонние В мы можем перейти различными обратимыми путами. Тогда интеграл в А должен длл любого из этих путей иметь одно и то же значение. Действительно, переходи от А к В по пути Вы а затем обратно от В к А по пути Ьз, мы совершим полный цикл, для которого значение интегра/' Ибд ла ~ — равно нулю.
Значение этого интеграла длн перехода от А к В Т будет, следовательно, ревно по абсолютной величине и противоположно по знаку значению его длн перехода от В к А. По поскольку пути Вз в и Ьз оба обратимы, то можно перейти от А к В и по пути Вз, и ~— / ИЯ .4 будет тогда иметь то же самое значение, что и вдоль Вз. Выберем теперь некоторое состояние Х, с которым можно будет сравнивать все остальные состоннил системыз. Коли А --- одно из этих состояний, то мы можем себе представить, что система переведена из А в зч' по какому-то обратимому пути. Этому переходу будет соответство('а > вать определенное значение интеграла з — которое, как это показано / Т ' выше, не зависит от пути перехода и, таким образом, поскольку состояние Х выбрано раз и навсегда, зависит только от состолнин А.
Это фдсу значение интеграла з — и называетсн энтропией системы в состоя- / Т нии А. Мы будем обозначать энтропию всегда через йч /' ЫЦ Легка видеть что величина интеграла ~ —, длл перехода от А к В ! Т по обратимому пути равна возрастанию энтропии при этом переходе. Ибо, поскольку этот интеграл не зависит от пути перехода, система может быть сначала переведена в состолние зч', а оттуда в состояние В. зсм. замечания об энергии в Э Ь Лекции ио термодинамике Искомый интеграл будет тогда иметь вид: (10) ибо по определению в А Я сй;> Т Ж~ 1" ей1 Т = йв; / Т 0А откУда / Т 04 в Х .4 Строго говоря, такое определение энтропии имеет силу только для равновесных состояний, так как обратимыми измененинми только эти состояния и достижимы. Но бывают, однако, случаи, в которых, несмотря на отсутствие равновесия, мы все же можем говорить об энтропии.
Одним из подобных примеров явлнется вода в присутствии пара, упругость которого ниже максимальной. Если вообразить себе воду и пар отделенными друг от друга перегородкой, то каждая фаза в отдельности будет находиться в состоянии равновесия, и мы можем тогда говорить о сумме энтропий обеих фаз. Если состояния А и В достаточно мало отличаются друг от друга, то формула (10) получает вид пЯ вЂ” = Йе1. Т Таким образом, если ей) — теплота, полученная телом извне при его переходе из одного равновесного состоннин в другое, бесконечно й;> близкое, равновесное состояние то — есть полный дифференциал.
Т В этой его форме второе начало находит себе многочисленные применения. Введя соответствующие переменные, значения которых определяют равновесное состояние, можно выразить Щ через дифференциалы этих переменных, а затем использовать соотношения, которые должны соблюдатьсн между коэффициентами при этих дифференциад4~ ЛО лах в выражении для — для того чтобы — было полным диффереп- Т Т циалом. Что касается самого Щ то его мы получим по первому началу, выразив теплоту, полученную системой, в виде суммы приращения внутренней энергии и работы, произведенной системой.
б 15. Несколько простейших приложений Что — — полный дифференциал, зто следует, согласно сказанному ~П') Тщ выше, из равенства нулю ~ — для всякого обратимого цикла. Обратно, сЦ если — есть дифференциал некоторой величины )однозначной функ- Г (й,) цин состояния~, то мы можем заключить, что ~ — = О для всякого / Т обратимого цикла. Величина г)ь„) сама по себе не является дифференциалом, а представляет собой лишь некоторое бесконечно малое количество теплоты. Для всего цикла / НЯ отличен от нуля и равен работе системы.
Температура Т есть интегрирующий делитель выражения для сць'. Существует, конечно, бесконечное число интегрирующих делителей для выражения Й,), но замечательно то, что один из них может играть роль температуры, т.е. величины, определяющей возможность перехода теплоты от одного тела к другому. Не все интегрирующие делители имеют зто физическое значение. ск',) Если длл какого-то тела, скажем, — будет полным дифференциалом, 1 где Рт — некоторая функция переменных, определяющих состояние тела, и аналогично Рз — такая же функция длл другого тела, то зти тела могут находиться в равновесии друг с другом и при условии, что Рз не равняется Рз.~ В 15.
Несколько простейших приложений Рассмотрим теперь несколько простейших приложений второго начала. Пусть тело имеет температуру Т, одну и ту же во всех его участках, занимает объем и и находится под давлением р, нормальным к его поверхности. Мезкду р., и и Т существует тогда некоторая зависимость; зто справедливо длн газов, жидкостей и твердых тел, если последние подвержены только подобному давлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
