1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Видно, что механика сравнительно более примитивный и менее интересныйраздел физики.Цикл Карно позволяет установить абсолютную температурную шкалу. Например,задаем температуру кипения воды T0 . Отбираем у кипящей воды известное тепло Q0и измеряем другое тепло Q, передаваемое телу при интересующей нас температуре Tпосредством цикла Карно (или разность Q0 − Q – работу цикла). Искомая температурабудет T = T0 Q/Q0 , независимо от рабочего тела.8Например, прямоугольник на P − V диаграмме128Глава 3.
ТЕРМОДИНАМИКАЭнтропия. Многие рассуждения можно заметно сократить, введя это новое понятие.Мы отмечали, что тепло ∆Q зависит от процесса. Например, для идеального газа∆Q = CV ∆T + P ∆V = CV ∆T + NkT ∆V /V .Если разделить на T , получим ∆Q/T = CV ∆T /T + Nk∆V /V илиdQ/T = CV dT /T + NkdV /V .В правой части слагаемые теперь зависят только от T либо только от V . Значит, теперьправая часть интегрируется. Если обозначить 2dQ,S2 − S 1 =T1то для идеального газа S2 − S1 = CV ln(T2 /T1 ) + Nk ln(V2 /V1 ).
Moжно записать S =CV ln(P V γ /Nk) (+ const). Это и есть энтропия. В отличие от тепла, она – функциясостояния, и ее изменение не зависит от пути, а только от начальной и конечной точки.Для идеального газа это уже ясно. Чтобы перейти к произвольному веществу, рассмотрим цикл Карно. Для него Qc = Qh (1 − η) = Qh · Tc /Th . Получаем Qh /Th = Qc /Tc .Рабочее тело берет Qh у нагревателя и отдает Qc холодильнику, значит для негосуммарный прирост энтропии равен 0 в круговом процессе.
Другие циклы сводятся кциклу Карно, как в предыдущей оценке кпд, значит для них также∆Q/T = 0 илиdQ/T = 0 по любому замкнутому контуру. Это равносильно тому, что в незамкнутомпроцессе такая сумма не зависит от пути. Значит, для любого вещества энтропия, определенная как сумма ∆Q/T или dQ/T , будет функцией состояния (в том же смысле,как потенциальная энергия в механике – с точностью до константы или начала отсчета).
У каждого вещества выбирается стандартное состояние, от которого отсчитываетсяэнтропия, приводимая в справочниках. Для определения изменений энтропии нуженкалориметр и термометр.Тепло ∆Q = T ∆S. Уже отсюда видна польза от энтропии. Как работа – это площадь на P −V диаграмме, так тепло выражается площадью на T −S диаграмме.
Далее,на T − S диаграмме цикл Карно представляет собой прямоугольник: две изотермы идве адиабаты, на которых ∆Q = 0 и, значит, ∆S = 0 (рис. 3.11). Площадь этого прямоугольника, как и любого цикла на T − S диаграмме, тоже равна работе цикла, так как∆Q = ∆E +∆A, а по замкнутому контуру ∆E = 0.
Кпд как раз здесь будет отношениемплощадей αβγδ и S1 βγS2 – разности теплот к теплу, полученному от нагревателя.Упражнение. Показать оптимальность цикла Карно, пользуясь T − S диаграммой.Изменения энтропии прямо связаны с «качеством» цикла. При двух тепловых резервуарах цикл Карно – наилучший. Учтем полное изменение энтропии (всей Вселенной):нагреватель теряет Qh /Th , холодильник приобретет Qc /Tc , у рабочего тела за цикл нулевое. В сумме будет ∆S = −Qh /Th +Qc /Tc = 0, как мы видели выше.
Другой предельный3.4. Цикл Карно. Второй закон термодинамики. Энтропия129случай – самый плохой цикл, состоящий в передаче тепла Q от нагревателя к холодильнику безо всякой работы: ∆S = −Q/Th + Q/Tc > 0, так как Th > Tc . В неравновесномпроцессе энтропия растет. Для промежуточных циклов будет промежуточное значение,так как при передаче тепла от нагревателя рабочему телу с меньшей температуройэнтропия будет расти. Только при дифференциально малой разности температур – наизотерме – теплопередача происходит обратимо, равновесно, без роста энтропии. Еслибы тепло могло идти от холодного тела к горячему, тогда бы энтропия уменьшалась(при Q < 0 в нашем примере).Аналогично, представим себе газ, заполняющийполовину сосуда. Он стремится заполнить весь сосуд.Изменение энтропии в таком неравновесном процессеопределяется увеличением доступного объема, так какэнергия и температура при расширении в вакуум неизменятся.
Тогда ∆S = Nk ln(V2 /V1 ) = Nk ln 2. Еслиже газ расширяется медленно, адиабатически, совершая работу над внешней средой, то ∆S = 0 по свойству адиабаты, да и из формулы это видно (P V γ =const). Можно сказать, что рост энтропии – это нехорошо. Если энтропия растет, теряется полезная работа.Рис. 3.11.Опять-таки, если бы газ сам собрался в половине сосуда, V2 /V1 < 1, то энтропия уменьшилась бы.Можно сформулировать второй закон термодинамики и так: энтропия замкнутой системы не может уменьшаться.
Вот если тепло пойдет от холодильника кнагревателю или вместо расширения газ сам сожмется, тогда закон будет опровергнут и энтропия уменьшится. Отдать энтропию можно только «наружу» системы, нопоявиться она вполне может и «внутри» ее. Раз возникнув, энтропия уже никуда непропадает, совсем как какое-нибудь министерство.Энтропию можно истолковать и статистически. Для тех же молекул в сосуде: каждая может находиться в каждой половине с одинаковой вероятностью. Число способовразместить одну молекулу в двух половинах вдвое больше, чем в одной. Для двухмолекул есть четыре способа размещения во всем сосуде против одного в половинке.Для N молекул вероятность занимать весь объем превышает вероятность нахожденияих всех в одной из половин в 2N раз. Если определить «статистическую» энтропиюкак Sst = k · ln(W ), где W – это число способов осуществления состояния, пропорциональное его вероятности, то изменение Sst при разлете газа в пустоту как раз и будетk · ln(2N ) = Nk ln 2.
Больцман продемонстрировал совпадение термодинамической истатистической энтропий, на первый взгляд совершенно разных по своей природе.Энтропию можно понимать как меру беспорядка, если сопоставить, например, упорядоченное состояние с молекулами, занимающими половину комнаты, с менее упорядо-130Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКАченным, когда они могут гулять по всему помещению.
Конечно, возможны отклоненияот полного равновесия – флуктуации. Поэтому энтропия постоянно колеблется вокругравновесного значения. В макроскопических телах эти колебания очень малы.Остается упомянуть еще проблему тепловой смерти Вселенной. Рост энтропии сопровождает теплообмен и вообще установление равновесия. Со временем звезды должны погаснуть, энергия равномерно размазаться и всякая активность – прекратиться.Мы тоже, как тепловые машины, действуем за счет разности температур, создаваемойСолнцем. Естественно, одни философы не могли стерпеть такой перспективы, тогда какдругим она очень понравилась.
Для нас со времени постановки (Клаузиус) добавляетсяеще наблюдение, что Вселенная идет не совсем к тепловой смерти, а как бы не наоборот. Из практически однородного состояния вскоре после Большого взрыва получилисьгалактики, звезды, люди и пр. Кроме рассеяния, идет и явная самоорганизация. Этоутешает, впрочем, и сейчас по поводу тепловой смерти существуют разные мнения.Демон Максвелла. Второй закон термодинамики заслуживает дополнительного внимания.Подобно множеству вечных двигателей первого рода, конструировались умозрительно двигатели второго рода. Наиболее известен демон Максвелла (Дж.К.
Максвелл, 1871). Представимсебе маленькое существо, способное видеть отдельные молекулы и управлять ими. Оно могло бы нарушить второй закон термодинамики, то есть создавать и поддерживать разностьтемператур, не совершая никакой работы.Пусть есть сосуд с газом, разделенный перегородкой на две части. В перегородке имеетсянебольшое отверстие, закрытое дверцей, которой и может управлять демон. Определяя координаты и скорости молекул, он будет, открывая дверцу, пропускать, скажем, в левую частьсосуда молекулы со скоростями выше средней, а в правую – со скоростями ниже средней.
Черезнекоторое время средняя кинетическая энергия молекул, а, следовательно, и температура влевой части повысится, а в правой – понизится. Эту разность температур можно использоватьдля производства механической работы. Еще проще создавать разность давлений, пропускаябольше молекул в левую половину. Тогда нет необходимости различать молекулы по скоростям (энергиям). Достаточно пропускать больше молекул справа налево. Тогда давление слевастанет выше, чем в правой части сосуда, а разность давлений легко превратить в работу.Простейшим устройством, вроде бы соответствующим замыслу, является клапан с пружинкой (рис. 3.12).Молекулы, двигающиеся справа, могут открыть клапан ипроникнуть в левую часть сосуда, а молекулы, подлетающие слева, отскакивают назад. Однако, для того, чтобыотдельные молекулы смогли открыть клапан, он долженбыть очень легким, а пружинка очень слабой.
Кроме тоРис. 3.12.го, подвергаясь ударам молекул, дверца должна приобрести ту же температуру, что и гази, следовательно, участвовать в тепловом хаотическом движении. Клапан будет хаотическидрожать, открываясь вне зависимости от того, с какой стороны в данный момент к нему подлетает частица. В среднем потоки молекул из каждой части объема в другую будут равны, иустройство, как «нарушитель» второго закона термодинамики, не будет работать.3.4. Цикл Карно. Второй закон термодинамики.
Энтропия131Однако приведенный пример не вполне отвечает идее Максвелла: демон не «видит» молекул. Представим себе устройство, которое может определять место и энергию молекулы ипоступать в соответствии с получаемой информацией.С появлением квантовой механики стали считать, что сам процесс измерения уже требуетненулевой энергии. Так, для определения положения частицы с помощью электромагнитногоизлучения ее нужно осветить хотя бы одним фотоном с некоторой энергией ω. При этом вгазе молекул при данной температуре T уже присутствует равновесное излучение, в которомхарактерная энергия фотонов порядка kT .
Для локализации частиц придется использоватьфотоны с большей энергией, чтобы выделить их на фоне тепловых. Следовательно, нуженнагреватель с большей температурой.Однако позднее были предложены устройства, не нуждающиеся в фотонах. В поискахнаиболее простой и физически прозрачной модели демона Максвелла в 1929 г. был изобретен двигатель Сцилларда (рис. 3.13). Цилиндр имеет подвижную перегородку, которая можетразделять его на две половины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
