1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Видно, чторабота P2 · (V2 − V1 ) = R(Tγ − Tβ ) – это далеко не преобладающая часть знаменателя(3.5). Если все выразить через температуры, P V = RT ,η=R(Tγ − Tβ − Tδ + Tα )A=.Qαβ + QβγCV (Tγ − Tα ) + R · (Tγ − Tβ )Для идеального газа, имеющего CV = 5R/2, возьмем для простоты квадратный цикл:Tα = 1, Tβ = Tδ = 2, Tγ = 4, выйдет η = 2/19 ≈ 0,105.По крайней мере, надо иметь нагреватель с температурой не менее Tγ – максимальной за цикл. Это вторая важная деталь тепловой машины, не считая цилиндра срабочим телом.
Но на участке γ δ α надо охлаждать газ, иначе он может пойти не поизохоре и изобаре, а ближе к какой-нибудь адиабате. Третий необходимый элемент –холодильник, причем его температура должна быть не более минимальной Tα . Нагреватель и холодильник полезно представлять себе в виде массивных тел с большойтеплоемкостью – термостатов (рис. 3.7).Так как ∆Q = ∆E + ∆A, то полное тепло, переданное рабочему телуза цикл, равно работе цикла: энергия при возвращении в исходнуюточку не меняется. Следовательно,работа цикла равна разности теплоты Qh , полученной от нагревателя,и теплоты Qc , переданной холодильРис. 3.7.нику:AQh − QcQcA = Qh − Qc ,η===1−.QhQhQhТепловая машина работает на том, что ухитряется отдать холодильнику меньше тепла,чем получено от нагревателя.
И тепло, и работа не являются функциями состояния –их изменение при перемещении точки на диаграмме зависит не только от начальногои конечного состояний, но и от пути. Поэтому и удается в результате цикла получатьработу – пути αβγ и γδα разные. Энергия же – функция состояния, и изменение еезависит от начального и конечного состояний, но не от пути.Пример циклического двигателя – паровая машина. Но бывают и другие двигатели, в которых постоянно сменяется рабочее тело. Например, двигатель внутреннегоГлава 3. ТЕРМОДИНАМИКА124сгорания, ружье. В цилиндре автомобиля воздух, смешанный с бензином, воспламеняется примерно при постоянном объеме.
Затем происходит расширение примерно поадиабате с совершением работы. Далее выбрасываются продукты сгорания (выхлоп)и давление падает. Наконец, забирается чистый воздух и сжимается по адиабате домомента впрыска топлива. Обменом рабочего тела с хорошей точностью можно пренебречь, представляя себе рост давления при сгорании смеси как результат контактас горячим нагревателем, а выхлоп – как действие холодильника. Тогда для реальногодвигателя разумным приближением (что касается кпд) будет цикл Отто из двух изохор и двух адиабат с постоянным количеством газа. Работать же этот воображаемыйцикл будет, конечно, медленнее, потому что теплообмен вообще медленный процесс.
Вкотле паровой машины тепло нагревателя (топки) передается через множество трубок.Казалось бы, от холодильника один вред. Приходится отдавать ему тепло, отчегоуменьшается кпд. Нельзя ли обойтись без холодильника, с одним тепловым резервуаром? Например, источником тепла мог бы быть мировой океан.
В нем очень многоэнергии; если научиться превращать ее в работу, то малое охлаждение океана обеспечило бы все наши потребности. А поскольку вся полученная работа в конце концовидет в тепло, то и охлаждения в целом не происходило бы, кроме, быть может, мест,где расположены электростанции. Это выглядит слишком хорошо, чтобы происходитьна самом деле. В следующем параграфе проблема обсуждается подробнее.3.4Цикл Карно. Второй закон термодинамики.
ЭнтропияЦикл из изобар и изохор имеет невысокий кпд.Естественно задуматься, существует ли наилучший(в смысле кпд) цикл? Оказывается, это – циклКарно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат(рис. 3.8).Сначала разберем случай идеального газа. Двеизотермы соответствуют температурам нагревателяTh (heater) и холодильника Tc (cooler).
Свяжем этиизотермы адиабатами и найдем кпд такого цикла.На каждом участке производится работа, всегоучастков 4. Проще вычислять тепло, которое приРис. 3.8.сутствует только на двух изотермах (и все равнопонадобится для кпд). Для идеального газа энергия вдоль изотермы постоянна, и тепло равно произведенной работе. На изотерме 2–3 Qh = RTh · ln(V3 /V2 ) (получено отнагревателя); на изотерме 1–4 Qc = RTc · ln(V4 /V1 ) (отдано холодильнику). Поскольку3.4. Цикл Карно. Второй закон термодинамики. Энтропия125точки 3–4 и 1–2 связаны адиабатами, то T V γ−1 = const, (Th /Tc )1/(γ−1) = V4 /V3 = V1 /V2 .Отсюда видно, что (V3 /V2 ) и (V4 /V1 ) одинаковы.
Действительно, отношение этих дробейбудет (V3 V1 /V2 V4 ) = 1 из уравнений адиабат. Тогда кпд цикла Карно η = (Qh − Qc )/Qhдается удивительно простым выражением:ηC =Th − TcTc= 1−.ThThСравним этот коэффициент с полученным в предыдущем параграфе для «прямоугольного» цикла. Если взять те же нагреватель и холодильник, Th = 4, Tc = 1, тополучим η = 0,75 вместо прежнего 0,105. Докажите в качестве упражнения, что кпдцикла Карно всегда больше, чем у прямоугольного цикла на P − V диаграмме, еслимаксимальные и минимальные температуры совпадают.
(Указание: усилить неравенство, увеличив «прямоугольный» кпд путем выбрасывания из знаменателя формулы,полученной на стр. 123, слагаемого CV (Tγ − Tα )).Обратим внимание, что кпд цикла Карно не содержит характеристик газа (вроде молекулярного веса или числа степеней свободы). Теперь покажем, что кпд циклаКарно вообще не зависит от рабочего тела. Рассмотрим две тепловые машины, работающие между одними и теми же нагревателем и холодильником.
Первая машинаМ использует произвольное рабочее тело, хотя бы воду. Она забирает у нагревателятепло Qh , передает холодильнику Qc = Qh · (1 − η) и производит работу A = Qh · η.Коэффициента η мы пока не знаем (рис. 3.9).Вторая тепловая машина работает на идеальном газе. Ее включим наоборот – будем использовать работу,произведенную первой машиной, чтобы забирать тепло Qc у холодильника и передавать Qh нагревателю. Такработает домашний холодильник. Онвключен в розетку, мотор крутится(работа), рабочее тело отбирает тепло из морозилки и рассеивает его вкомнате. Говорят, что при обратномРис. 3.9.включении тепловой машины получается тепловой насос (Т.Н. на рис. 3.9), который гонит тепло в обратном направлении.Точно так же механический насос качает воду снизу вверх; если же вода течет вниз,можно крутить колесо и получать работу.
Лучше использовать именно название «тепловой насос», а не «холодильник», чтобы не путать с деталью целую машину.Отметим, что цикл Карно полностью обратим. По нему можно двигаться противчасовой стрелки с тем же успехом. Если не торопиться, то медленная передача тепла на изотерме возможна при ничтожных перепадах температур, так что температуру126Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКАрабочего тела при контакте с нагревателем просто можно считать равной Th , при контакте с холодильником Tc . На адиабатах вообще направление не играет роли. Поэтомуотношение A/Qh = η0 = (1 − Tc /Th ), это мы выяснили для идеального газа.Допустим, что кпд η для неизвестного рабочего тела больше, чем η0 для идеальногогаза.
Например, η = 0,75, η0 = 0,5. Пусть машина получает от нагревателя 4 калориитепла. Из них 3 она превратит в работу, 1 отдаст холодильнику. Тепловой насос, имея навходе 3 калории работы, перекачает в нагреватель 3/0,5 = 6 калорий тепла, сделанныхиз этих 3, и еще 3, взятых из холодильника. Разумеется, первый закон термодинамикидействует для обоих устройств. В результате всей операции из холодильника изъято2 калории, которые переданы нагревателю. Больше ничего в природе не изменилось.Можно поместить обе машины в непрозрачный корпус – «черный ящик», который будетделать такую странную операцию.В природе тепло само не идет от горячего тела к холодному.
Тепловой насос, потребляя внешнюю работу, может инвертировать поток тепла. Но может ли быть устройство,которое действует как тепловой насос, но ничего не потребляет? Если может, то возьмемнагреватель и холодильник вначале одной температуры, хотя бы Черное и Средиземное моря. Если гнать тепло из холодильника к нагревателю, то постепенно нагревательстанет горячим, а холодильник, как ему и положено, холодным. Теперь включим между ними простую тепловую машину.
Она будет забирать тепло у нагревателя, частьвозвращать холодильнику и остаток превращать в полезную работу. Это просто способиспользовать тепловую энергию одного источника.Тепловая машина, способная работать без холодильника, называется вечным двигателем второго рода. Как видим, одна из возможностей сделать такой двигатель –сначала изготовить устройство, способное гнать тепло от холодного тела к горячему безкаких-либо других изменений в природе. Вечный двигатель второго рода не нарушает закона сохранения энергии, в отличие от знакомых из механики вечных двигателейпервого рода. Опыт показывает, что сделать вечный двигатель второго рода не проще,чем первого, и пока это никому не удалось.Примерно с такой же уверенностью, как закон сохранения энергии, можно считать установленным второй закон термодинамики.
Его можно сформулировать какпринцип невозможности создания вечного двигателя второго рода или как невозможность перехода тепла от холодного тела к горячему без затрат работы.Вернемся к двум машинам, использующим цикл Карно. Если кпд машины с произвольным рабочим телом больше, чем у машины на идеальном газе, то можно построитьвечный двигатель второго рода, обратив поток тепла. Поэтому должно выполнятьсянеравенство η η0 .Теперь, включив машины в обратном порядке – газовую как двигатель, а произвольную как тепловой насос – такими же рассуждениями получим неравенство: η0 η.3.4.
Цикл Карно. Второй закон термодинамики. Энтропия127Следовательно, кпд машин равны, и для любого рабочего тела при цикле КарноηC = 1 −Tc.Th(3.6)Теперь рассмотрим произвольный цикл. Он имеет максимальную и минимальную температуры. Если цикл Карно работает между этими температурами, то кпд такого циклаКарно всегда выше.Действительно, разрежем мысленно произвольный цикл близко расположенными адиабатами намножество узких циклов (рис. 3.10). Совокупностьмашин, работающих по этим циклам, эквивалентнаодной, работающей по исходному.
Работа (площадь)цикла складывается из площадей обрезков, теплотатоже суммируется, а работы на встречных адиабатах компенсируются. Но каждый из малых циклов– это практически цикл Карно, так как температуры на участках теплообмена почти постоянны. Егокпд, как правило, меньше, чем у описанного циклаРис. 3.10.Карно, так как меньше отношение температур. Кпдвсего цикла, как некоторое среднее от элементарных кпд, тоже будет меньше. Практически же цикл Карно неудобен из-за медленности теплопередачи на изотерме. В техникемирятся с меньшим кпд, если двигатель обеспечивает заданную мощность. Для грубойоценки кпд реального двигателя можно пользоваться формулой для цикла Карно.
Например, автомобиль: максимальная температура ≈ 1000 ◦ С, минимальная ≈ 100 ◦ С,η ∼ 1 − 400/1200 ≈ 0,5 (реально – от 0,3 до 0,4).Упражнение. Найдите кпд цикла Отто (две изохоры и две адиабаты). Сравните с кпдсоответствующего цикла Карно при разумных Th и Tc .Цикл Карно – единственный обратимый цикл между двумя тепловыми резервуарами. Можно сделать обратимым произвольный цикл8 , если запастись множествомнагревателей и холодильников с различными температурами, чтобы теплообмен происходил примерно при равенстве температур рабочего тела и текущего термостата.Ограничение, которое накладывает термодинамика на кпд, гораздо серьезнее, чемв механике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
