1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Например, из точки 1 можно расширять газ припостоянном давлении, поставив на поршень цилиндра заданный груз и нагревая газ. Можно охлаждатьгаз при постоянном объеме, а можно расширять припостоянной температуре, для чего надо привести цилиндр в хороший тепловой контакт с тепловым резервуаром (хотя бы бочка воды со снегом). Каждомупроцессу будет соответствовать своя линия на P − Vдиаграмме: изобара, изохора или изотерма (рис. 3.4).Разумеется, произвольной линии тоже соответствуетРис. 3.4.некоторый процесс, не обязательно имеющий специальное название.Работа расширения.
Пусть в цилиндре имеется газ, ограниченный поршнем. Присдвиге поршня на ∆x газ производит работу ∆A = P S∆x, или ∆A = P ∆V . Ясно,что та же формула годится и для жидкости. На P − V диаграмме работа выражаетсяплощадью под кривой, задающей процесс (рис. 3.4). Этим и удобна P −V диаграмма посравнению, например, с T − V . При конечном изменении V следует учесть изменениядавления в данном процессе:4В «Пиквикском клубе» Ч. Диккенса (1837) кучеры, кондукторы, форейторы, конюхи, кэбмены идругие герои проезжих дорог по частоте упоминаний стоят на третьем месте (209), после юристов (428)и разного рода прислуги (267), паровоз и паровая машина упоминаются по 1 разу, железная дорога –6 раз (первая железная дорога в Англии была пущена в 1825 г.) Но уже в 1865 г.
сам Диккенс едвауцелел в железнодорожной катастрофе. Впрочем, еще в 1906 г. Пьер Кюри при переходе парижскойулицы был задавлен ломовым извозчиком.3.2. Первый закон термодинамики119A=V2P dV .V1Примеры:1. Изобарический процесс. A = P · (V2 − V1 ) – площадь прямоугольника (для любоговещества).2. Изохорический процесс. A = 0 (для любого вещества).3. Изотермический процесс. A = P dV = NkT dV /V = NkT · ln(V2 /V1 ) (дляидеального газа).Если вещество сжимать (dV < 0), работа будет отрицательной, или можно сказать, чтоположительную работу совершают над системой внешние силы.Теплота.
Уместен вопрос: откуда берется работа при изотермическом процессе с идеальным газом? У него внутренняя энергия зависит только от температуры и, значит, небудет меняться. Приходим к выводу, что источником является термостат, поддерживающий постоянную температуру. Если поместить цилиндр с газом в океан, то при расширении газа океан чуть-чуть охладится. Опыты показывают, что при большой массетермостата MT потеря им энергии, которую можно оценить как MT C∆T , как раз равнавычисленной выше работе.
Получается, что кроме механической энергии и внутренней,надо учитывать обмен тепловой энергией, или теплом, с окружающей средой. Переход работы в тепло встречается и в механике, а теперь мы видим пример обратногоперехода.Первый закон термодинамики – это попросту закон сохранения энергии:∆Q = ∆E + ∆Aили∆Q = ∆E + P ∆V .Тепловая энергия ∆Q, подведенная к системе, идет на изменение ее внутренней энергии∆E и на совершение системой работы ∆A. Разумеется, все три величины могут быть иотрицательными.При изохорическом процессе поглощенное тепло идет на увеличение внутреннейэнергии газа E. При изобарическом увеличивается энергия и одновременно производится работа над внешней средой.
При изотерме в идеальном газе энергия вообще неменяется (E = CV T ) и все тепло переходит в работу.Заметим, что некоторые состояния газа нельзя изобразить на диаграмме. Например,в двух половинах сосуда разные температуры или давления (такое состояние можноприготовить, вставив посредине перегородку, а затем надо быстро ее выдернуть). Здесьнепременно начнется движение и теплообмен, т.е. состояние неравновесное. Нельзянарисовать в виде линии и процесс с нарушением равновесия. Мы увидим, что такиепроцессы являются необратимыми.Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКА120Теплоемкость при разных процессах.
Вообще теплоемкость – это отношение∆Q,∆TC=то есть количество тепла, необходимое для нагрева тела на 1 градус. От этого зависит,например, сколько надо сжечь топлива для нагрева котла, и т.п. Переданное системетепло ∆Q зависит от процесса. Один пример мы уже видели: теплоемкость при постоянном объеме. Так как ∆Q = ∆E + P ∆V , а при постоянном объеме ∆V = 0 , тоуже известная нам CV = ∆E/∆T , и теперь понятно ее название. В более общей форме,пригодной для любого вещества,CV =∂E∂T.VЗначок V показывает, что производная берется при постоянном объеме (для идеальногогаза он излишен, но у реальных веществ зависимость энергии от объема вполне обычна).Чаще применяется теплоемкость при постоянном давлении, которое легче реализовать (она и приводится в справочниках):CP =∆Q∆T=P∂E∂T+PP∂V∂T.PЗначок P показывает, что производные берутся при постоянном давлении.
Для идеального газа энергия может быть выражена только через температуру, поэтому первоеслагаемое будет попросту равно CV . Во втором V выражаем через P и T : V = NkT /P .Тогда (∂V /∂T )P = Nk/P , и CP = CV +Nk. Для одного моля CP = CV +R. Теплоемкостьпри постоянном давлении больше, потому что газ, расширяясь при нагреве, сжимаетатмосферу либо поднимает груз5 . На эту работу и требуется дополнительное тепло. Улюбого вещества CP > CV , хотя не обязательно на R.При других процессах будут свои теплоемкости.
Например, пусть P = P0 V /V0 : прямая, проходящая из начала координат через точку (P0 , V0 ). Тогда для идеального газаC = CV +P ·dV /dT , причем надо V выразить только через T . С учетом процесса и уравнения состояния V 2 = NkT V0 /P0 , 2V dV /dT = NkV0 /P0 , P dV /dT = NkV0 P/2P0 V =Nk/2. Тогда C = CV + Nk/2, а для одного моля CV + R/2. Эта теплоемкость не имеетспециального названия.На изотерме тепло поглощается, а ∆T = 0. Поэтому для процессов, близких кизотерме, теплоемкость стремится к ±∞.5Таблица теплоемкостей CV на стр.
114 в действительности получена из CP вычитанием R.3.3. Адиабатический процесс. Тепловые машины. Работа и кпд цикла3.3121Адиабатический процесс. Тепловые машины. Работа и кпд циклаВажен такой процесс, когда ∆Q = 0 (нет притока тепла). Этого можно добиться различными теплоизоляторами, а процесс называется адиабатическим6 . Можно такжесказать, что теплоемкость при адиабатическом процессе равна нулю.Для идеального газа dQ = CV dT + P dV = 0, ⇒ CV d(P V )/R + P dV = 0 ⇒ (CV +R)P dV = −CV V dP , откуда dP/P = −((CV + R)/CV ) · dV /V . Считая с некоторымприближением CV постоянной, имеем: −(CV +R)/CV VVPCV + RP· ln=.ln=−,P0CVV0P0V0Последнее равенство пишут еще в видеP V γ = const ,и называют (чаще всего) уравнением адиабаты.
Величина γ = (CV + R)/CV = CP /CVназывается показателем адиабаты. Так как CV = sR/2, где s – число степеней свободы молекулы, то γ = (s + 2)/s = 1 + 2/s. Для воздуха при нормальных условиях s ≈ 5,так что γ = 1,4. Уравнения адиабаты, выраженные через другие переменные:T V γ−1 = const ,P/T γ/(γ−1) = const .Полезно выразить энергию газа через P, V : E = sNkT /2 = sP V /2 = P V /(γ − 1).То же получим, считая работу по адиабате: 1−γ V2V2V2γ V1dVVP11γγ1 =,= P1 V1−A = P dV = P1 V1Vγ1 − γ V1 γ − 1 V1γ−1 V2γ−1V1V1илиP2 V2P 1 V1−,γ−1 γ−1то есть работа равна разности внутренних энергий. При расширении от P , V до бесконечного объема вся энергия P V /(γ − 1) израсходуется на работу над внешними силами.Примерно такова ситуация при выстреле из ружья.На P − V диаграмме адиабата S круче изотермы T , проходящей через ту же точку(рис.
3.5). Для газа это видно из формул (γ > 1), а для других веществ следует изтого, что при расширении производится работа в отсутствие притока тепла. Веществопри этом будет охлаждаться, то есть изображающая точка переходит на более низкиеизотермы7 .Еще один смысл, постепенно усвоенный словом «адиабатический», можно передатькак «медленный, осторожный».
Например, расширение газа надо проводить достаточно медленно, чтобы все время газ был в равновесии. Обратный предельный случай –A=6От греч. αδιαβατ oσ – непереходимый (в смысле, что не переходит тепло).В редких (аномальных) случаях это правило может нарушаться. Например, вода в диапазоне от 0до 4 ◦ C уменьшает свою температуру при сжатии.7122Глава 3. ТЕРМОДИНАМИКАрасширение газа в пустоту при мгновенном выдергивании перегородки. Тогда газ, заполнявший часть сосуда, распространится на весь объем, не совершая никакой работы.Энергия будет постоянна, а после установления равновесия температура будет равнаначальной.
Аналогично при слишком быстром сжатии пойдет ударная волна и газ нагреется сильнее, чем положено по адиабате. Адиабатическим будет процесс, медленныйпо сравнению с движением молекул. Поскольку их тепловые скорости ∼ 1 км/с, условие адиабатичности скорее трудно нарушить. (В то же время нельзя проводить процессслишком медленно, иначе даже при хорошей теплоизоляции успеет пройти теплообмен.Практически важные скорости процессов в технике позволяют довольно точно выполнить оба условия адиабатичности).Важные кривые выделяются постоянством какого-топараметра (V, T, P ...) На адиабате постоянна энтропия.Подробнее с ней мы познакомимся позже, в п.
3.4. Покатолько ясно, что для газа это какая-то функция от P V γ .Тепловые машины. Возможность получать работу изтепла заманчива тем, что источников непосредственно работы либо механической энергии в природе мало. Зато имеются еще порядочные запасы тепловой энергии в виде залежей каменного угля, нефти, урана и т.д. И вообще мыживем в море тепловой энергии.Рис. 3.5.Классический вариант тепловой машины работаетциклически. Рабочее тело, например газ, при помощикоторого мы извлекаем работу из тепла, переданногонагревателем, должно возвращаться в исходное состояние.
Иначе после каждого расширения машину придется менять. Расширившийся газ придется сжать снова, на что придется уже затратить некоторую работу.Суммарная работа цикла – алгебраическая сумма работ расширения и сжатия, то есть разность абсолютных величин. Очевидно, графически она выражаетсяплощадью цикла на P − V диаграмме. Например, дляРис. 3.6.цикла прямоугольной формы (конечно, не единственновозможной) A = P2 · (V2 − V1 ) − P1 · (V2 − V1 ) = (P2 − P1 ) · (V2 − V1 ) (рис. 3.6).Коэффициент полезного действия, сокращенно кпд, определяет качество цикла.Есть стойкое заблуждение – определять кпд как отношение полезной работы A к некоторой «совершённой»; в примере, показанном на рис. 3.6, делят на P2 · (V2 − V1 ). Этобыло бы правильно в воображаемом мире, где избыток запасов готовой работы и надотолько часть ее отправить на свалку, а остаток назвать полезной. На самом же деле тепловая машина не выбрасывает уже имеющуюся работу, а делает ее из тепла.3.3.
Адиабатический процесс. Тепловые машины. Работа и кпд цикла123Поэтому делить надо не на какую-то работу, а на полученное телом за цикл тепло Qh :η=A.Qh(3.5)В прямоугольном цикле требуется нагревать газ на участках α − β и β − γ, иначе он нестанет расширяться. Поглощенное тепло Qh есть сумма Qαβ = Eβ − Eα = CV · (Tβ − Tα )и Qβγ = Eγ − Eβ + ∆Aβγ = CV · (Tγ − Tβ ) + P2 · (V2 − V1 ) = CP · (Tγ − Tβ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
