1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(32)= (v(0), ϕ)2 ψ(0) +052Âû÷èòàÿ óðàâíåíèå (32) èç óðàâíåíèÿ (31), ïîëó÷àåì äëÿ∀ϕ ∈ H(Ω), ∀ψ :(v0 − v(0), ϕ)2 ψ(0) = 0.Èíà÷å ãîâîðÿ, (v0 − v(0), ϕ)2 = 0, ∀ϕ ∈ H(Ω), à çíà÷èò, v0 = v(0).Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé äîêàçàíî. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ åäèíñòâåííîñòè íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà, êîòîðóþ ìû ïðèìåìáåç äîêàçàòåëüñòâà.Ïóñòü V, H, V ∗ òðè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâà òàêèå, ÷òî V ⊂ H ≡ H ∗ ⊂ V ∗ .
Åñëè u ∈ L2 (0, T ; V ) è∂u∈ L2 (0, T ; V ∗ ), òî u ïî÷òè âñþäó ðàâíà íåêîòîðîé ôóíêöèè∂tèç C(0, T ; H) è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (â ñìûñëå ðàñïðåäåëåíèéíà (0, T )):dku(t)k2H = 2hu0 (t), u(t)i.dtÒîãäà äëÿ ðàçíîñòè w äâóõ ïðåäïîëàãàåìûõ ðåøåíèé u è vçàäà÷è (24)(25) ïîëó÷àåì èç óðàâíåíèÿ (32)Z(−w(t)ϕψ 0 (t) + νwx · ϕx ψ(t)) dx dt = 0,∀ϕ ∈ H(Ω), (33)Ëåììà 4.5.Qêîòîðîå ñ ϕ = w(t), â ñèëó ëåììû 4.4, ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå1 dkwk22 + νkwk2H = 0.2 dtÇàìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà {ψ(t)ϕ(x)}, ãäåψ(t) è ϕ(x) ýòî ïðîáíûå ôóíêöèè èç ðàâåíñòâà (32), ïëîòíà âïðîñòðàíñòâå {v | v ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), vt ∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω))}. Çíà÷èò, èç óðàâíåíèÿ (33) âûòåêàåò ðàâåíñòâîZ(−wΦt + νwx · Φx ) dx dt = 0,Qñïðàâåäëèâîå äëÿ ëþáûõ Φ ∈ L2 (0, T ; H(Ω)), òàêèõ, ÷òîΦt ∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)).
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî Φ = w, ÷òîçàêîííî, â ñèëó ëåììû 4.4, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó1 dkwk22 + νkwk2H = 0.2 dt53Îòñþäà ýëåìåíòàðíî ñëåäóåò, ÷òî kwk2H = 0. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû çàâåðøåíî.5. Î ðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèé è âîññòàíîâëåíèè äàâëåíèÿ ïðèíöèïå, ïîëàãàÿ áîëüøóþ ðåãóëÿðíîñòü Ω, v0 è f , ìîæíîïîëó÷èòü ñêîëü óãîäíî ãëàäêèå v è p.Ïóñòü Ω ∈ C 2 , f ∈ L2 (0, T ; J 0 (Ω)), v0 ∈ J01 (Ω).2Òîãäà v ∈ L (0, T ; J02 (Ω)), v0 ∈ L2 (0, T ; J0 (Ω)), òî åñòü v0 ∈ L2 (Q)è p ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)). Äðóãèìè ñëîâàìè, óðàâíåíèÿ (24)(25) âûËåììà 4.6.ïîëíÿþòñÿ ïî÷òè âñþäó.Äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæàÿ â ñèñòåìå (27) j -å óðàâíåíèå íà0 (t) è ñêëàäûâàÿ âñå óðàâíåíèÿ ïî j = 1, .
. . , m, ïîëó÷àåì òîægjmäåñòâî000kvm(t)k22 + ν[vm (t), vm(t)] = (f (t), vm(t))2 ,êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâód0kvm (t)k2H = 2(f (t), vm(t))2 .dtÈíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå ïî t è ïðèìåíÿÿ ê åãî ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Þíãà, âûâîäèì íåðàâåíñòâî02kvm(t)k22 + νZTZT0kvm(t)k22 dt +νkvm (T )k2H = νkv0m kH 2 +2200(f (t), vm(t))2 dt ≤0ZT≤νkv0m k2HZTkf (t)k22 dt ++00kvm(t)k22 dt .0Ñîêðàùàÿ ïîäîáíûå ñëàãàåìûå â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè, íàõîäèìZTZT0kvm(t)k22 dt≤νkv0m k2H0kf (t)k22 dt .+0 ñèëó ñâîéñòâ ðÿäà Ôóðüå, v0m → v0 â H(Ω) ïðè m → ∞ èkv0m kH ≤ kv0 kH .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îöåíêó0kvmkL2 (0,T ;J 0 (Ω)) ≤ const,54ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â êîòîðîé, ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íóþ îöåíêó äëÿv. Òåïåðü ïðèìåíèì ðåçóëüòàò ëåììû 3.2 è òåîðåìû 3.1 äëÿ ñèñòåìû âèäàν∆v(t) − ∇p(t) = f (t) − v0 (t),div v = 0,ïðàâàÿ ÷àñòü êîòîðîé ïðèíàäëåæèò ïî óæå äîêàçàííîìó L2 (Q). Âèòîãå ïîëó÷èì òðåáóåìîå v(t) ∈ J02 (Ω) è p ∈ J01 (Ω).Íàêîíåö, â ñèëó ëåììû 3.2, îòîáðàæåíèå(f (t) + v0 (t)) → {v(t), p(t)}ëèíåéíîå è íåïðåðûâíîå èç L2 (Ω) â J02 (Ω) × J01 (Ω), à òàê êàê(f (t) + v0 (t)) ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)),òî v ∈ L2 (0, T ; J02 (Ω)) è p ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)). Ëåììà äîêàçàíà.55Ãëàâà 5Íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêèèäåàëüíîé æèäêîñòè íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷èäëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà â ñëó÷àå ïëîñêèõ òå÷åíèé.
Ïðèýòîì, ñ÷èòàÿ ïëîòíîñòü ρ = 1, âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðàρ(vt + (v · ∇)v) = ρf − ∇p,div v = 0ïðèíèìàþò âèäut + uux + vuy + px = f1 ;(34)vt + uvx + vvy + py = f2 ;(35)ux + vy = 0.(36)Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ïðîñòðàíñòâà üëüäåðà.1. Ïðîñòðàíñòâà üëüäåðàC 0+α (Ω), α ∈ (0, 1] îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ïîÃåëüäåðó ôóíêöèé ñ íîðìîékukαΩ ≡ kukC α (Ω) = kukC(Ω) + huiα,Ω ,|u(x) − u(y)|.|x − y|αx,y∈Ωãäå huiα,Ω = supÏðè α ∈ (0, 1) äëÿ C 0+α (Ω) òàêæå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå C α (Ω).Ïðè α = 1 ïðîñòðàíñòâî C α (Ω) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîìëèïøèöåâûõ ôóíêöèé è îáîçíà÷àåòñÿ Lip(Ω) .C l+α (Ω), l ∈ N, α ∈ (0, 1] ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì l ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé, l-å ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò C 0+α (Ω).56Íîðìà ýëåìåíòà u ýòîãî ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëåíà ôîðìóëîéXX(l+α)kukΩ=kDk ukC(Ω) +hDk uiα,Ω ,|k|≤l|k|=lãäå k = (k1 , .
. . , kn ) ìóëüòèèíäåêñ ñ |k| =nPi=1ki .2. Õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé Ýéëåðà äàííîì ïàðàãðàôå óñòàíàâëèâàåòñÿ òèï ñèñòåìû óðàâíåíèé(34)(36). Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ñìåøàííûéýëëèïòèêî-ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï.Ïåðåïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (34)(36) â âåêòîðíîì âèäåAwt + Bwx + Cwy = F,ãäå w = (u, v, p), F = (f1 , f2 , 0),u 0 11 0 0A = 0 1 0 ,B = 0 u 0 ,1 0 00 0 0v 0 0C = 0 v 1 .0 1 0Ïóñòü ϕ(t, x, y) = 0 óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (ϕt , ϕx , ϕy ) = (τ, ξ, η), íîðìàëü ê íåé,óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþdet(Aτ + Bξ + Cη) = −(ξ 2 + η 2 )(τ + uξ + vη) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà èìååò âåùåñòâåííóþ õàðàêòåðèñòèêó, êàñàòåëüíàÿ ê êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì (1, u, v) (â îñÿõ (t, x, y)),ò. å. â ïðîåêöèè íà ãèïåðïëîñêîñòü t = const âåêòîð êàñàòåëüíîéñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå òðàåêòîðèè. Èìåþòñÿ òàêæå äâå ìíèìûå õàðàêòåðèñòèêè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà (34)(36) èìååò ñîñòàâíîé ýëëèïòèêî-ãèïåðáîëè÷åñêèéòèï.3. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà â ïåðåìåííûõ Ãåëüìîãëüöà íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå â ñèñòåìå (34)(36) âûäåëÿþòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ è ýëëèïòè÷åñêàÿ ÷àñòè.Âåêòîð ñêîðîñòè ïðè äâóìåðíîì ïëîñêîì äâèæåíèè ñðåäû èìååò âèäv = (u(t, x, y), v(t, x, y), 0).57Ðàññìîòðèì âèõðü ω = vx − uy è âåêòîð âèõðÿ, îïðåäåëåííûéñîîòíîøåíèåìω = rot v = (0, 0, vx − uy ).Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (35) ïî x è âû÷èòàÿ èç íåãî óðàâíåíèå (34), ïðîäèôôåðåíöèðîâàííîå ïî y , ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîωt +uωx +vωy +vx ux −ux uy +vy vx −uy vy +pyx −pxy = f2x −f1y ≡ f˜.Çàìå÷àÿ çäåñü ñëàãàåìûå vx ux + vy vx è −ux uy − uy vy ðàâíûå íóëþâ ñèëó óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè (36), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþωt + (v · ∇)ω = f˜.(37)Çàìå÷àíèå.
Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìîäåëü áåç ìàññîâûõ ñèë èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ìîäåëü ñ ïîòåíöèàëüíûìè ìàññîâûìè ñèëàìè, ò. å. âìåñòî óðàâíåíèÿ (37) áóäåì ðàññìàòðèâàòüóðàâíåíèåωt + (v · ∇)ω = 0.(38)Îïðåäåëèì ôóíêöèþ òîêà ψ èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéψy = u, ψx = −v .  ñèëó óðàâíåíèÿ (36), ôóíêöèÿ ψ íàõîäèòñÿîäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, ïî ôóíêöèè ψ àâòîìàòè÷åñêè íàõîäÿòñÿêîìïîíåíòû ñêîðîñòè u è v , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (36).
Èçîïðåäåëåíèÿ âèõðÿ è ôóíêöèè òîêà íåñëîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå∆ψ = −ω,(39)ñâÿçûâàþùåå ýòî âåëè÷èíû. Ïåðåìåííûå ω è ψ (âèõðü-ôóíêöèÿòîêà) íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûìè Ãåëüìãîëüöà.4. Ôóíêöèÿ Ãðèíà âíóòðåííåé êðàåâîé çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòèÏóñòü Ω ∈ C 2+α , Ω ⊂ Rn îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü.Îòîáðàæåíèå x → F (|x|), ãäå2π ln s, n = 2F (s) =V n ,n>2sn−1íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà Ëàïëàñà. ÇäåñüVn ïëîùàäü (n − 1)-é ñôåðû åäèíè÷íîãî ðàäèóñà â Rn .58Ôóíêöèåé Ãðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà â îáëàñòè Ω íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ G : Ω2 → R, îïðåäåëÿåìàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) ∀y ∈ Ω G(x, y) = F (|x−y|)+g(x, y), ãäå F (|x−y|) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, à ôóíêöèÿ g íåïðåðûâíàâ Ω̄x è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ∆x g = 0.2) ∀y ∈ Ω lim G(x, y) = 0.x→∂ΩÔóíêöèÿ Ãðèíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) G(x, y) = G(y, x).2) ∆x G(x, y) = −δ(x − y).
Çäåñü δ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.Ýòî ôóíêöèîíàë íàä C(Ω), äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó hδ, ϕi = ϕ(0).3) Ïóñòü f ∈ L2 (Ω), ϕ ∈ C(Γ), òîãäà ôóíêöèÿZu(x) = −ZG(x, y)f (y) dy −Ω∂Ω∂G(x, y)ϕ(y) dΓ∂ny(40)ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è¯u¯∂Ω = ϕ.∆u = f , ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðå÷èñëåííûì âûøå äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà âR2 ñïðàâåäëèâû òàêèå îöåíêè:|G| ≤ C ln |x − y|;|∇x G| ≤C;|x − y|(41)|D2 G| ≤C.|x − y|2(42)595.
Ïî÷òè ëèïøèöåâîñòü ïîëÿ ñêîðîñòèËåììà 5.1 (î ïî÷òè ëèïøèöåâîñòè ïîëÿ ñêîðîñòè). îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü êëàññàà ψ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è¯∆ψ = −ω,ψ ¯∂Ω = 0.C3èçR2 ,Ïóñòü Ω|ω| ≤ M ,Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè|∇ψ| ≤ CM,|∇ψ(x) − ∇ψ(y)| ≤ CM ζ(|x − y|),ãäå ζ(s) = s(1 + | ln(s)|), C = C(Ω).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ψ ïî ôîðìóëå (40)Zψ(x) = −G(x, y)ω(y) dy .ΩÎöåíèâàÿ çäåñü ω ïî ìàêñèìóìó è èñïîëüçóÿ (41), ïîëó÷àåìZdy|∇x ψ| ≤ CM= J.|x − y|ΩÒàê êàê Ω îãðàíè÷åííà, òî ñóùåñòâóåò êðóã KR (x) ñ öåíòðîì âòî÷êå x, â êîòîðîì îíà ëåæèò.
Óâåëè÷èì èíòåãðàë, ïåðåéäÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî KR . Îáîçíà÷èì x − y = z è ââåä¼ì â êðóãåïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Òàê êàê |z| ≤ R, òî ïîëó÷èìZJ≤dz=|z||z|≤RZ2π ZR00r dr dϕ= 2πR.rÏåðâîå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî.Òåïåðü îáîçíà÷èì |x − y| = d è âûäåëèì â èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ ∇ψ(x) − ∇ψ(y) èíòåãðàëû ïî øàðó ðàäèóñà 2d èïî åãî äîïîëíåíèþ â Ω:Z|∇ψ(x) − ∇ψ(y)| ≤ M |∇x G(x, z) − ∇y G(y, z) dz ≤Ω≤MZΩ∩B2d60Z+Ω\B2d = I1 + I2 .Ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè îöåíèâàåòñÿ òàê æå, êàê è âïðåäûäóùåì ñëó÷àå:ZI1 ≤ M(|∇x G| + ∇y G|) dz ≤ CM d.Ω∩B2dÄëÿ âòîðîãî èñïîëüçóåì òåîðåìó î ñðåäíåì çíà÷åíèè è íåðàâåíñòâî (42):ZI2 ≤ |x − y|Z≤ dCΩ\B2dmax |D2 G(xτ + y(1 − τ ), z) dz ≤τ ∈[0,1]Ω\B2ddz≤ dC|xτ − z|2Zdz≤ C̃d(1 + | ln d|).(|x − z| − d)2Ω\B2dÇäåñü τ = τ (z), d ≤ |xτ − z| ≤ 2R, z ∈ Ω \ B2d , R = diam Ω.
Ëåììàäîêàçàíà.6. Îïåðàòîð ñäâèãà âäîëü òðàåêòîðèè è åãî ñâîéñòâàÏóñòü v ∈ C(Q̄T ) âåêòîðíîå ïîëå òàêîå, ÷òî div v = 0 èv · n|Γ = 0 è |v(x, t) − v(y, t)| ≤ Cζ(|x − y|). Ðàññìîòðèì çàäà÷óÊîøè¯dy= v(y, s),y¯s=t = x,(43)dsãäå s ∈ [0, t]. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è îïðåäåëÿåò òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû, ïðîõîäÿùåé â ìîìåíò âðåìåíè t ÷åðåç òî÷êó x.  ñèëó ñâîéñòâv è òåîðåì Ïåàíî è Îñãóäà [7], ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåçàäà÷è¯ äëÿ òðàåêòîðèè (43) íà âñ¼ì ïðîìåæóòêå [0, T ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
