1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Âòîðîå íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå. Âòîðîå íåðàâåíñòâîÏóàíêàðå îöåíèâàåò L2 -íîðìó ôóíêöèè ÷åðåç L2 -íîðìó å¼ ïðîèçâîäíûõ è ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè â îáëàñòè. Çàìåòèì, ÷òî âäàííîì ñëó÷àå îò ôóíêöèè íå òðåáóåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ íà ãðàíèöå.Îò ñàìîé æå îáëàñòè, äëÿ ïðîñòîòû, ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíà áûëà ïàðàëëåëåïèïåäîì, õîòÿ àíàëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî ìîæíî äîêàçàòü â áîëåå îáùåì ñëó÷àå.Äëÿ ôóíêöèè u ∈ H 1 (Π), îïðåäåëåííîé íà ïàðàëëåëåïèïåäå Π = {x : 0 ≤ xi ≤ li }, èìååò ìåñòî îöåíêà2ZZn Z1 nX2u dx ≤+lk2 u2xk dx .u dx|Π|2Ëåììà 2.3.Πk=1 ΠΠÄîêàçàòåëüñòâî.
Ñíà÷àëà ñâåä¼ì äîêàçàòåëüñòâî äàííîãîíåðàâåíñòâà ê äîêàçàòåëüñòâó àíàëîãè÷íî íåðàâåíñòâà äëÿ êóáà. Ïîëàãàÿ, xi = lyi , y ∈ [0, 1]n , îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ïðèv(y) = u(x) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî2ZZn ZnX2+u2yk dy .v dy ≤u dy2Π0y, y ∈k=1 ΠΠ[0, 1]n çàïèøåì ôîðìóëó Ëåéáíèöàn ZykX00vτk (y10 , . . . , yk−1 , τk , yk+1, . . .
, yn0 ) dτ kv(y) − v(y ) =Äëÿk=1 y 0kÂîçâåäÿ â êâàäðàò, ïðèìåíèâ íåðàâåíñòâî(a1 + . . . + an )2 ≤ n(a21 + . . . + a2n ),26à òàêæå íåðàâåíñòâî üëüäåðà, è ðàñøèðèâ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, íàõîäèìn ZX1v2 (y) + v2 (y0 ) − 2v(y)v(y0 ) ≤ nvτ2k dτ k .k=1 0Èíòåãðèðóÿ ýòî y è y0 , çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.3.3.
Ïåðâîå íåðàâåíñòâî Ëåðý. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî Ëåðýïîçâîëÿåò îöåíèòü L4 -íîðìó ôóíêöèè ÷åðåç L2 -íîðìû ôóíêöèè èå¼ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ äâóìåðíûõîáëàñòåé. Êîíñòàíòà â ïðàâîé ÷àñòè àáñîëþòíà, ò. å. íå çàâèñèò îòâûáîðà îáëàñòè.Äëÿ u ∈ H01 (Ω) (Ω ⊂ R2 ) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíZZZ|u|4 dx ≤ 2 |ux |2 dx |u|2 dxËåììà 2.4.ñòâîΩΩΩ(ýòîíåðàâåíñòâîìîæíîkuk44,Ω ≤ 2kux k22,Ω kuk22,Ω ).çàïèñàòüââèäåÄîêàçàòåëüñòâî.
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿìäîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèì òîëüêî äëÿ u ∈ D(Ω). Ïðîäîëæàÿ uíóëåì âíå Ω, ïîëó÷àåì u ∈ D(R2 ). Èíà÷å ãîâîðÿ, ìû äîêàæåìòðåáóåìîå íåðàâåíñòâî äëÿ Ω = R2 è ðàñïðîñòðàíèì åãî íà ïðîèçâîëüíîå Ω â ñèëó âëîæåíèÿ D(Ω) ⊂ D(R2 ). Ïî ôîðìóëå ËåéáíèöàèìååìZxi2u (x) = 2uuxi dxi , (i = 1, 2).ZÎòñþäà u2 ≤ 2−∞Z|u||uxi | dxi è u4 ≤ 4RZRÈíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïî R2 , íàõîäèìZZZ4u dx ≤ 4 |u||ux1 | dx |u||ux2 | dx ≤R2R|u||ux2 | dx2 .|u||ux1 | dx1RR≤ 4kuk22 kux1 k2 kux2 k2 ≤ 2kuk22 kux k22 .27Íà ïîñëåäíåì øàãå èñïîëüçîâàëè2kux1 k2 kux2 k2 ≤ kux1 k22 + kux2 k22 = kux k22 .3.4.
Âòîðîå íåðàâåíñòâî Ëåðý. Âòîðîå íåðàâåíñòâî Ëåðýñïðàâåäëèâî äëÿ Ω ⊂ R3 . Îáùèé ñìûñë ýòîãî íåðàâåíñòâà ñõîäåíñî ñìûñëîì ïåðâîãî íåðàâåíñòâà Ëåðý. Ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé è êîíñòàíòà â ïðàâîé ÷àñòè îòëè÷íû îò âåëè÷èí â ïåðâîì íåðàâåíñòâåËåðý.Äëÿ u ∈ H01 (Ω) (Ω ⊂ R3 ) èìååò ìåñòî íåðàâåí-Ëåììà 2.5.ñòâîkuk44 ≤ 4kuk2 kux k32 .Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿìïðîâîäèì äîêàçàòåëüñòâî òîëüêî äëÿ u ∈ D(R3 ). Ïðåæäå âñåãîðàçîáü¼ì èíòåãðàë ïî R3 íà èíòåãðàëû ïî R2 è R è ïðèìåíèìïåðâîå íåðàâåíñòâî ËåðýZZu4 dx =R3R1ZZ ZZ u4 dx0 dx3 ≤ 2 u2 dx0 u2x0 dx0 dx3 .RR2R2R20ÇäåñüR 2 x0 =R (x12, x2 )0.  èíòåãðàëå ïî dx3 èìååì äâà ìíîæèòåëÿu dx è ux0 dx .
Âûíåñåì ïåðâûé èç íèõ çà çíàê èíòåãðàëà,R2R2îöåíèâàÿ åãî ïî ìàêñèìóìó:ZZu4 dx ≤ 2R3R2Zsup u2 dx0x3 ∈R28u2x0 dx .R3Îöåíèì âûðàæåíèå â ïåðâîì èíòåãðàëå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ëåéáíèöà, çàòåì ïî íåðàâåíñòâó üëüäåðà è ïðèâåä¼ì ïîäîáíûåZ ZZZ40u dx ≤ 22|uux | dx3 dxu2x0 dx ≤R2 RR31/2 Z≤ 4u dx2R3R31/2Zu2x3Zdxu2x0 dx ≤R3R31/2 3/2ZZ≤ 4 u2 dx u2x dx .R3R3Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 2.6.íåðàâåíñòâîÏóñòü ∂Ω ∈ C 2 . Äëÿ u ∈ W 1,2 (Ω) ñïðàâåäëèâîZZ|u| dΓ ≤ C(Ω)(|u| + |ux |) dx .Ω∂ΩÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì ãðàíèöó íà êóñêè òàêèå, ÷òî íàêàæäîì èç íèõ îäíà èõ êîîðäèíàò âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äðóãèå (íàïðèìåð, íà êóñêå S èìååì x1 = f (x0 ), x0 = (x2 , . .
. , xn )) è ÷àñòüîáëàñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå a < x1 ≤ f (x0 ), x0 ∈ M , ãäåf (x0 ) ≥ a + b. Óìíîæèì ïðåäñòàâëåíèåfZ(x0 )u(f (x0 ), x0 ) = u(s, x0 ) +íàux1 dx1sp1 + ∇f 2 (x0 ) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî M :fZ(x0 )ZZpux1 dx1 1 + ∇f 2 dx0 .u dΓ = u(s, x0 ) +SMspÎöåíèâàÿ çäåñü 1 + ∇f 2 (x0 ) ïî ìàêñèìóìó è èíòåãðèðóÿ ïî s îòa äî a+b, ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ îöåíêó äëÿ êóñêà S . Òàê êàê ÷èñëîòàêèõ êóñêîâ ïðåäïîëàãàåòñÿ êîíå÷íûì, òî ëåììà äîêàçàíà.29Íàïîìíèì íåðàâåíñòâî Þíãà(aε)p1+ 0ab ≤ppµ ¶p0b,εñïðàâåäëèâîå äëÿ äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, ε, p, p0 òàêèõ, ÷òî11+ 0 = 1.p pËåììà∀u ∈W01,2 (Ω)2.7.
Ïóñòü ãðàíèöà îáëàñòè Ω èç C 2 , òîãäà∩ W 2,2 (Ω) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî(2)(1)kuk2 ≤ C(Ω)(k∆uk2 + kuk2 ).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Êàê è âûøå, âñå ðàññóæäåíèÿ ïðîâîäèì äëÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé. Ïóñòü u ∈ C 3 (Ω) èu|∂Ω = 0. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì äà¼ò ðàâåíñòâîZZ∂u∂∆u ∂u·+ ∆u ·dΓ =∂xi ∂xi∂nΩ∂Ω¶Z µZ∂2u∂u∂2u∂u∂2u·dx +∆u ·−·dΓ,=∂xi ∂xj ∂xi ∂xj∂n ∂xj ∂n ∂xjZ(∆u)2 dx = −ΩΩ∂Ωïåðåïèñûâàÿ êîòîðîå, ïîëó÷àåìZZ2(∆u) dx =Ω¶Z µ∂2u∂u∂u−·dΓ .
(8)∆u ·|∇u| dx +∂n ∂xj ∂n ∂xj2Ω∂Ω2. Âîçüìåì êàêóþ-ëèáî òî÷êó ξ ∈ ∂Ω è â íåé ìåñòíûå êîîðäèíàòû y = (y1 , y2 , y3 ). Ïóñòü y1 è y2 ëåæàò â ïëîñêîñòè, êàñàòåëüíîéê ∂Ω â òî÷êå ξ, à y3 íàïðàâëåíà ïî âíåøíåé íîðìàëè ê ∂Ω â òî÷êåξ. ÂûðàæåíèåI = ∆u ·∂u∂2u∂u−·∂n ∂xj ∂n ∂xj30èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòà ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîýòîìóåãî ìîæíî ïåðåïèñàòü äëÿ (y1 , y2 , y3 ) â âèäåI=3 µ 2X∂ ui=1∂yi2·∂u∂2u∂u−·∂y3 ∂yi ∂y3 ∂yi=¶=2 µ 2X∂ u∂2u∂u∂u−··2∂yi ∂y3 ∂yi ∂y3 ∂yii=1¶.3. Èññëåäóåì ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà â òî÷êå ξ∂u(ò.
å. y = 0). Ïðîèçâîäíûå(i = 1, 2) ðàâíû íóëþ, òàê êàê∂yi∂2uu|∂Ω = 0, à ïðîèçâîäíûåìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç ïðî∂yi2∂u. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü y3 = ω(y1 , y2 ) óðàâíåíèåèçâîäíóþ∂nêóñêà ïîâåðõíîñòè ∂Ω â îêðåñòíîñòè òî÷êè ξ = (0, 0, 0). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì äâàæäû òîæäåñòâî u(y1 , y2 , ω(y1 , y2 )) = 0 ïî y1 è y2 :∂u∂u ∂ω+= 0,∂yi ∂y3 ∂yi∂2u∂2u∂ 2 u ∂ω+ 2+22∂y3 ∂yi ∂yi∂yi∂y3µ∂ω∂yi¶2∂u ∂ 2 ω= 0,∂y3 ∂yi2+i = 1, 2.∂ω òî÷êå ξ èìååì= 0, i = 1, 2, ïîýòîìó ïîñëåäíåå ðàâåíñòâà∂yiïåðåïèñûâàþòñÿ â âèäå∂2u∂u ∂ 2 ω=−,∂y3 ∂yi2∂yi2 ñèëó ýòîãîµI=−∂u∂ni = 1, 2.¶2 X2i=1∂2ω∂yi2è ðàâåíñòâî (8) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå¶2ZZ XZ µ ¶23 µ∂2u∂u2(∆u) dx =dx −K dΓ,∂xi ∂xj∂nΩΩ i,j=1∂Ω312 ∂2ωP2 . Åñëè ïîâåðõíîñòü ∂Ω âûïóêëà, òî íåòðóäíîi=1 ∂yiâèäåòü, ÷òî K ≤ 0 è ïîòîìó äëÿ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ Ω ñïðàâåäëèâà îöåíêàZZãäå K(Γ) =(∆u)2 dx .u2xx dx ≤ΩΩ4.
 îáùåì ñëó÷àå äëÿ îáëàñòåé ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé âûïîëíåíîíåðàâåíñòâî K(Γ) ≤ K0 = const, è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîZkuxx k22 ≤ k∆uk22 + K0u2x dΓ .∂ΩÏîñëåäíèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà îöåíèâàåòñÿ ïî ëåììå 2.6 è íåðàâåíñòâó Þíãà ñ ïðîèçâîëüíûì ε > 0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:ZZZ22ux dΓ ≤ C (ux + 2|ux ||uxx |) dx ≤ C ((1 + ε−1 )u2x + εu2xx ) dx .∂ΩΩΩC)−1 ,Âûáèðàÿ çäåñü ε = (2K0ïîäñòàâëÿÿ â ïðåäûäóùåå íåðàâåíñòâî è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå, ïîëó÷èì òðåáóåìîå.Ëåììà äîêàçàíà.Ïóñòü Ω ⊂ Rn îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé. Òîãäà H01 (Ω) ,→,→ L2 (Ω).Òåîðåìà 2.5 (Ðåëëèõ).Ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâ Ëåðý ÿâëÿåòñÿ ëåììà.Ëåììà 2.8.Åñëè Ω ⊂ R3 (R2 ) îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, òîkuk4,Ω ≤ C(Ω)kukH 1 (Ω)äëÿ âñåõ u ∈ H 1 (Ω).4.
Óñðåäíåíèå ôóíêöèé¯Ïóñòü ω ∈ C ∞ (Rn ) òàêîâà, ÷òî ω ≥ 0, ω ¯|x|>1 = 0 èZω(x) dx = 1.Rn32Ðàññìîòðèì ôóíêöèè ωρ îïðåäåëåííûå ïðàâèëîì ωρ (x) =¯Î÷åâèäíî, ÷òî ωρ ≥ 0, ωρ ¯|x|>ρ = 0 èZωρ (x) dx = 1.1ρn ω(ρx).RnÓñðåäíåíèåì ôóíêöèè u ∈ L1 (Ω) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ uρ , îïðåäåë¼ííàÿ ðàâåíñòâîìZuρ (x) = u(y)ωρ (x − y) dy .ΩÓñðåäíåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî uρ ∈ C ∞ (Ω).2) Åñëè u ∈ Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, òî uρ → u â Lp (Ω).Z3) Åñëè èíòåãðàëu · v dx èìååò ñìûñë, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZΩZuρ · v dx =Ωu · vρ dx.Ω4) Åñëè ñóùåñòâóåò uxi , òî (uxi )ρ = (uρ )xi .5.
Ïðîñòðàíñòâà ñîëåíîèäàëüíûõ è ïîòåíöèàëüíûõôóíêöèéÔóíêöèè, äèâåðãåíöèè êîòîðûõ ðàâíû íóëþ, íàçûâàþòñÿ cîëåíîèäàëüíûìè.Ôóíêöèÿ ïîòåíöèàëüíà, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòîì äðóãîéôóíêöèè.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèå ïðîñòðàíñòâà:G(Ω) = {g ∈ L2 (Ω) : ∃ϕ ∈ H 1 (Ω), g = ∇ϕ},˙J(Ω)= {u ∈ D(Ω) : div u = 0},˙J0 (Ω) = J(Ω)|2,˙J01 (Ω) = H(Ω) = J(Ω)|H01 . ïðîñòðàíñòâå H(Ω) ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå(u, v)H = (∇u, ∇v)2 = [u, v].33Ïóñòü Ω ⊂ R3 .
Ðîòîðîì ôóíêöèè u : Ω → R3 íàçûâàåòñÿôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â äåêàðòîâîì áàçèñå {u, j, k} ïî ïðàâèë󯯯 i¯jkω1 = u3,2 − u2,3 ,¯ ∂¯∂∂ ¯¯rot u = ∇ × u = ¯ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ¯ ≡ ω;ω = u1,3 − u3,1 , 2¯ u1 u2 u3 ¯ω3 = u2,1 − u1,2 .Ëåììà 2.9. L2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ G(Ω).Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî îáà ïðîñòðàíñòâà J0 (Ω) è G(Ω) ÿâëÿþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè L2 (Ω). Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òîJ0 (Ω) ⊥ G(Ω). Òîãäà, åñëè ïðåäñòàâèòü L2 (Ω) â âèäåL2 (Ω) = J0 (Ω) ⊕ K , òî G(Ω) ⊂ K .
Äîêàæåì, ÷òî K = G(Ω).Ïóñòü u ∈ K , íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî u = ∇ϕ äëÿ íåêîòîðîéϕ ∈ H 1 (Ω). Äëÿ ëþáîé v ∈ J0 (Ω) èìååì ðàâåíñòâî (u, v)2 = 0.Ïîëîæèì v = rot wρ , ãäå w ∈ C01 (Ω) ïðîèçâîëüíà, à wρ å¼óñðåäíåíèå ïî Ñòåêëîâó. Î÷åâèäíî, ÷òî v ∈ J0 (Ω). Ñëåäîâàòåëüíî,∀w ∈ C01 (Ω):0 = (u, rot wρ )2 = (uρ , rot w)2 = (rot uρ , w)2 .Îòñþäà rot uρ = 0 è ϕ(x, ρ) =3Rx P(uxk )ρ dxk íå çàâèñèò îò ïó-x0 k=1òè èíòåãðèðîâàíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, uρ = ∇x ϕ → u â L2 (Ω) èϕ(x0 , ρ) = 0. Îòñþäà ϕρ → ϕ â L2 (Ω) è äàæå â H 1 (Ω). Òàêèìîáðàçîì, u = ∇ϕ.Ïðèìåðû ðàçëîæåíèÿ L2 (Ω):1) v ∈ C 1 , v = u + ∇p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
