1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 3
Текст из файла (страница 3)
å. òàì, ãäå v · n¯Γ < 0, åñëè n âíåøíÿÿ íîðìàëü ïîîòíîøåíèþ ê îáëàñòè òå÷åíèÿ.18Ãëàâà 2Îñíîâíîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàòçà.Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà âñïîìîãàòåëüíûì ôàêòàì èç àíàëè-1. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâàÍàïîìíèì ðÿä îïðåäåëåíèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè èç òåîðèè áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ.Ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íàä ïðîñòðàíñòâîì X íàçûâàåòñÿëèíåéíîå îòîáðàæåíèå èç X â R. Äåéñòâèå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà f íà ýëåìåíò u îáîçíà÷àåòñÿ hf , ui.Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Ïî óìîë÷àíèþ òàêæå ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíîñòü ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.Ñîïðÿæåííûì ïðîñòðàíñòâîì ê ïðîñòðàíñòâó X íàçûâàåòñÿïðîñòðàíñòâî X ∗ îãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ ôóíêöèîíàëîâ íàä X .Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë âãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ðåàëèçóåòñÿ â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Òåîðåìà 2.1 (Ðèññ).Íàïîìíèì, ÷òî ïîä ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè un ê u â X ïðè n → ∞ ïîíèìàåòñÿ ñõîäèìîñòü ïî íîðìåýòîãî ïðîñòðàíñòâà, ò.
å. kun − ukX → 0 ïðè n → ∞.Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè un ê u (un * u) âëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X ïðè n → ∞ îçíà÷àåò, ÷òîhϕ, un i → hϕ, uiïðè n → ∞ äëÿ âñåõ ϕ ∈ X ∗ .Ïðîñòðàíñòâî X êîìïàêòíî âêëàäûâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâî Y(X ,→,→ Y ), åñëè èç un * u â X âñåãäà ñëåäóåò un → u â Y .19Îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ âïîëíå íåïðåðûâíûì, åñëè îí íåïðåðûâåíè ïåðåâîäèò çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â îòíîñèòåëüíîêîìïàêòíîå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîðîòîáðàæàåò ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â ñèëüíî ñõîäÿùóþñÿ.Ïóñòü X ,→,→ Y ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà, (·, ·)X ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â X , à (·, ·)Y ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â Y .Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.
Ïî çàäàííîìó ýëåìåíòóf ∈ Y íóæíî íàéòè ýëåìåíò u ∈ X òàêîé, ÷òî(u, ϕ)X = −(f , ϕ)Y∀ϕ ∈ X.(6)Òåîðåìà 2.2. Çàäà÷à (6) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ïðèýòîì ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C òàêàÿ, ÷òî(7)kukX ≤ Ckf kY .Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå. Òàê êàê f∈ Y , òîϕ → (f , ϕ)Y ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîìíàä Y . Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî ϕ → (f , ϕ)Y áóäåò è îãðàíè÷åííûìëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íàä X . Òîãäà ïî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé v ∈ X òàêîé, ÷òî (f , ϕ)Y = (v, ϕ)X . Îòñþäà,u = −v.Åäèíñòâåííîñòü è îöåíêà â X . Ïîäñòàâëÿåì u â óðàâíåíèå (6) âêà÷åñòâå ϕ: kuk2X = −(f , u)Y .
Îöåíèâàåì ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâàïî ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.kuk2X ≤ kf kY kukX ≤ Ckf kY kukX ,ò. å. äîêàçàíà îöåíêà (7) è ïî ëèíåéíîñòè ïîëó÷àåì åäèíñòâåííîñòü. Òåîðåìà äîêàçàíà.Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé íàïîìíèì òåîðåìó ÃèëüáåðòàØìèäòà.Òåîðåìà 2.3. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âïîëíå íåïðåðûâíîãî èíúåêòèâíîãî ëèíåéíîãî çàìêíóòîãî îïåðàòîðà, îïðåäåëåííîãî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, îáðàçóþò â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îðòîãîíàëüíûé áàçèñ.Äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 2.4.Ðåøåíèÿ çàäà÷è(u, ϕ)X = λ(u, ϕ)Y20∀ϕ ∈ Xîáðàçóþò îðòîãîíàëüíûå áàçèñû â ïðîñòðàíñòâàõ X è Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ñóùåñòâîâàíèå áàçèñà â Y .
Ðàññìîòðèì îïåðàòîð B : Y → X ⊂ Y , îïðåäåëåííûéñèñòåìîé(Bf , ϕ)X = −(f , ϕ)Y∀ϕ ∈ X.Òàêîé îïåðàòîð îïðåäåëåí êîððåêòíî â ñèëó òåîðåìû 2.2. Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò îïåðàòîð óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìó ÃèëüáåðòàØìèäòà, ÷òî è áóäåò îçíà÷àòü äîêàçàòåëüñòâî íàøåé òåîðåìû. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà îïåðàòîðà B:1) Î÷åâèäíî, ÷òî îí ëèíååí.2) Îïåðàòîð B èíúåêòèâåí, òàê êàê ëèíååí è KerB = 0.3) Ïîêàæåì, ÷òî B âïîëíå íåïðåðûâåí. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüfn * f â Y ïðè n → ∞. Òîãäà ïî îöåíêå (7) èìååòñÿ ñõîäèìîñòüïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè Bfn * Bf â X) ïðè n → ∞, à èç êîìïàêòíîñòè âëîæåíèÿ âûâîäèì ñõîäèìîñòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèBfn → Bf â Y ïðè n → ∞.4) Äîêàæåì çàìêíóòîñòü îïåðàòîðà. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëèfn → f â Y è Bfn → v â Y ïðè n → ∞, òî BΨ = v.5) Äîêàæåì ñàìîñîïðÿæåííîñòü ýòîãî îïåðàòîðà.
Åñëè g ∈ Y ,à v = Bg ∈ X , òî−(f , Bg)Y = (Bf , Bg)X = −(Bf , g)Y .Òàêèì îáðàçîì, ïî òåîðåìå ÃèëüáåðòàØìèäòà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ áàçèñà â X îñòàâèì ÷èòàòåëþ.Òåîðåìà äîêàçàíà.2. Ïðîñòðàíñòâà Lp , W l,p , H lÁóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ ïðîñòðàíñòâàìè íåïðåðûâíûõ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.Ïóñòü Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn , ∂Ω ãðàíèöàîáëàñòè Ω, Ω̄ = Ω ∪ ∂Ω çàìûêàíèå îáëàñòè Ω.Ïóñòü f : Ω → R, òîãäà M ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì ñóïðåìóìîì f íà Ω, îáîçíà÷àåòñÿ M = esssup f , åñëè {∃E ⊂ Ω: meas E = 0Ωè f |Ω\E ≤ M } è {∀ε > 0 ∃A : meas A > 0 è f |A ≥ M − ε}.21Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà Lp c 1 ≤ p < ∞ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1/p ZpmpL (Ω) = u : Ω → R : kukLp (Ω) = kukp,Ω =|u| dx < ∞ .ΩÏðè p = ∞ ïðîñòðàíñòâî Ëåáåãà îïðåäåëÿåòñÿ òàê:½¾∞mL (Ω) = u : Ω → R : kukL∞ (Ω) = kuk∞,Ω = esssup |u| .ΩËåãêî âèäåòü, ÷òî L2 (Ω) ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìZ(u, v)L2 (Ω) = u · v dx .ΩÊîãäà ìíîæåñòâî Ω çàâåäîìî ôèêñèðîâàíî, â îáîçíà÷åíèÿõíîðì ìîæíî îïóñòèòü óêàçàíèå íà Ω.
Êðîìå òîãî, åñëè èíäåêñïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè ïðîïóùåí, òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî îí ðàâåí2, ò. å. k · kp = k · kp,Ω , k · k = k · k2,Ω , (·, ·) = (·, ·)L2 (Ω) .Ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôèíèòíûõ ôóíêöèé íà Ω îáîçíà÷àåòñÿ D(Ω).Ôóíêöèÿ g = Dk f íàçûâàåòñÿ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ∈ L1 (Ω), åñëè ∀ϕ ∈ D(Ω) âûïîëíåíî ðàâåíñòâîZZkf · D ϕ dx = − g · ϕ dx .ΩΩÏðîñòðàíñòâàìè Ñîáîëåâà W l,p (1 ≤ p < ∞, l ∈ N) íàçûâàþòñÿñëåäóþùèå áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà:1/pXpkl,ppkD ukp,Ω < ∞ .W (Ω) = u ∈ L (Ω) : kukl,p,Ω = |k|≤lÒàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîñòðàíñòâî W̃ l,p êàê çàìûêàíèåïðîñòðàíñòâà C l (Ω̄) ïî íîðìå ïðîñòðàíñòâà W l,p (Ω), ò. å.W̃ l,p (Ω) = (C l (Ω̄), k · kl,p,Ω ).22Åñëè îáëàñòü Ω "çâåçäíàÿ"1 èëè C l äèôôåîìîðôíàÿ "çâåçäíîé", òî ïðîñòðàíñòâî W̃ l,p (Ω) ñîâïàäàåò ñ W l,p (Ω).Ïðè p = 2 ïðîñòðàíñòâî W l,2 (Ω) ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ñîñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåìX(u, v)H l (Ω) =(Dk u, Dk v)L2 (Ω) .|k|≤lH l (Ω),H l (Ω)Îíî îáîçíà÷àåòñÿ= W l,2 (Ω).Êîãäà ðå÷ü èäåò çàâåäîìî îá îäíîì ìíîæåñòâå Ω, èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: k · kH l = k · kH l (Ω , (·, ·)H l = (·, ·)H l (Ω) .Òàêæå èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ÑîáîëåâàW0l,p (Ω) = (D(Ω), k · kl,p,Ω ). ñèëó îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ, ñïðàâåäëèâî∀u ∈ W0l,p (Ω) ∃{un } ⊂ D(Ω): kun − ukl,p,Ω → 0 ïðè n → ∞.Àíàëîãè÷íî H0l (Ω) ðàññìàòðèâàþò H0l (Ω) = W0l,2 (Ω).Äîêàæåì ôîðìóëó Ãðèíà, êîòîðàÿ îáîñíîâûâàåò âîçìîæíîñòüïåðåáðàñûâàíèÿ îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé ñ îäíîãî ìíîæèòåëÿ íàäðóãîé.u∈Ïóñòü Ω ∈ C 1 .
Äëÿ ôóíêöèéèìååò ìåñòî ðàâåíñòâîËåììà 2.1 (ôîðìóëà Ãðèíà).H01 (Ω)èv∈H 1 (Ω)(uxi , v) = −(u, vxi ).Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïî ñâîéñòâàì H01 (Ω) è H 1 (Ω) ñóùåñòâó-þò um ∈ D(Ω), vm ∈ C ∞ (Ω) òàêèå, ÷òî um → u è vm → v â H 1 (Ω).Ïî ôîðìóëå Ãðèíà äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé èìååì ñîîòíîøåíèå¶ZZ µ∂um∂vm∂· vm +· um dx =(um · vm ) dx =∂xi∂xi∂xiΩΩZ= um · vm ni dΓ = 0.ΓÏîñëåäíåå âûïîëíåíî, òàê êàê um = 0 íà Γ.
Äðóãèìè ñëîâàìè,óòâåðæäåíèå ëåììû ñïðàâåäëèâî äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé.1Çâåçäíîé íàçûâàåòñÿ òàêàÿ îáëàñòü, â êîòîðîé ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿòî÷êà x0 , òàêàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê x, ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé îáëàñòè, îòðåçîê[x, x0 ] ïðèíàäëåæèò îáëàñòè.232. Ñîâåðøèì ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè m → ∞. Ðàññìîòðèìðàçíîñòü¯¯¯¯ZZ¯¯¯ ux · v dx − umx · vm dx¯ ≤ii¯¯¯¯ΩΩZZ≤ |uxi − umxi ||v| dx + |umxi ||v − vn | dx ≤ΩΩ≤ kvk2,Ω kuxi − umxi k2,Ω + kumxi k2,Ω kv − vn k2,Ω .Äëÿ îöåíêè ïðàâîé ÷àñòè ìû ïðèìåíèëè íåðàâåíñòâà üëüäåðà 2. ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà íîðìû îáåèõ ðàçíîñòåé ñòðåìÿòñÿê íóëþ, à îñòàâøèåñÿ ìíîæèòåëè îãðàíè÷åíû ïðè m → ∞.
Òàêèìîáðàçîì óñòàíîâëåíà ñõîäèìîñòüZZumxi · vm dx → uxi · v dx .ΩΩ3. Ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñõîäèìîñòüZZum · vmxi dx → u · vxi dx,ΩΩçàâåðøàþùàÿ îáîñíîâàíèå ëåììû.3. Òåîðåìû âëîæåíèÿ, ñâîéñòâà êîìïàêòíîñòè èñìåæíûå âîïðîñûÏîâñåìåñòíî â äàëüíåéøåì áóäóò âñòðå÷àòüñÿ ïðîñòðàíñòâàH 1 è H01 . Ìû îñòàíîâèìñÿ íà ðÿäå èõ ñâîéñòâà, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ðàâåíñòâàìè è íåðàâåíñòâàìè.3.1.
Íåðàâåíñòâî ÏóàíêàðåÔðèäðèõñà. ÍåðàâåíñòâîÏóàíêàðåÔðèäðèõñà îöåíèâàåò L2 -íîðìó ôóíêöèè ÷åðåç L2 -íîðìó å¼ ïðîèçâîäíîé. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ ðàâíàíóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè, à ñàìà îáëàñòü ëåæèò âíóòðè íåêîé ïîëîñû.Z Y YsssP12Ïóñòü λ ∈ [1, ∞],≤udxkuk kλk ,Ω .=1,òîãäàkkk=1 λk k=1 k=1Ω24Òàêæå íåðàâåíñòâî ÏóàíêàðåÔðèäðèõñà íàçûâàåòñÿ ïåðâûìíåðàâåíñòâîì Ïóàíêàðå.Ëåììà 2.2.Ïóñòü Ω ⊂ Rn ëåæèò â ïîëîñåΠ1 = {0 ≤ x1 ≤ l1 , x0 = (x2 , . . . , xn ) ∈ Rn−1 }.Òîãäà äëÿ âñåõ u ∈ H01 (Ω) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâîkuk2,Ω ≤ C(Ω)kux1 k2,Ωñ îäíîé è òîé æå êîíñòàíòîé C(Ω).Íåðàâåíñòâî ÏóàíêàðåÔðèäðèõñà ïîçâîëÿåòââåñòè åùå îäíó íîðìó kuk∗H 1 (Ω) = kux k2,Ω â ïðîñòðàíñòâå H01 (Ω),0ýêâèâàëåíòíóþ åñòåñòâåííîé íîðìå k · kH 1 (Ω) .
Çäåñü è äàëååqX|ux | =|uxi |2 .Çàìå÷àíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùåé ëåììîé äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ôóíêöèé u èç D(Ω) â ñèëóïëîòíîñòè òàêèõ ôóíêöèé â H01 (Ω). Äîîïðåäåëèì u íóëåì çà ïðåäåëàìè Ω è çàïèøåì ôîðìóëó Ëåéáíèöà äëÿ u:Zx1∂u0u(x1 , x ) =(y, x0 ) dy .∂y0Âîçâåäåì ýòî ðàâåíñòâî â êâàäðàò è ïðîèíòåãðèðóåì ïî Π1 :2xZZl1 ZZ1 uy dy dx0 dx1 .u2 dx =0 Rn−1Π10 ïðàâîé ÷àñòè îöåíèì uy ÷åðåç |uy | è âíåñ¼ì êâàäðàò ïîä âíóòðåííèé èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà üëüäåðà:x xZZl1 ZZ1Z1 1 dy u2y dy dx0 dx1 =u2 dx ≤Π10 Rn−100Zl1=Zx1x1 dx1025ZRn−1 0u2y dy dx0 .Íàêîíåö, çàìåíèì èíòåãðàë îò 0 äî x1 èíòåãðàëîì ïî áîëåå øèðîêîé îáëàñòè îò 0 äî l1 :ZZl122u dx ≤u2x1 dx .2Π1Π ñèëó ðàâåíñòâà u (è åå ïðîèçâîäíûõ) íóëþ çà ïðåäåëàìèΩ, èíòåãðàëû ñëåâà è ñïðàâà ìîæíî çàìåíèòü èíòåãðàëàìè ïî Ω.Ëåììà äîêàçàíà.3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
