1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Òàê êàêv · n¯Γ = 0, òî òðàåêòîðèè ÷àñòèö íå âõîäÿò â îáëàñòü è íå âûõîäÿò èç íå¼. Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî îòîáðàæåíèå Φt0 : Ω → Ω,äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëóΦt0 (x) = y(0) = x0 ,ãäå y ðåøåíèå çàäà÷è (43). Ýòî îòîáðàæåíèå è íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ñäâèãà âäîëü òðàåêòîðèè. Ôîðìóëà Ýéëåðà (5) è óñëîâèå61íåñæèìàåìîñòè ïðèâîäÿò êµñëåäóþùåéçàäà÷å äëÿ ÿêîáèàíà äàí¶∂yíîãî îòîáðàæåíèÿ J = det:∂x¯dJ= J div v = 0,J ¯s=t = 1.dsÑëåäîâàòåëüíî, J ≡ 1, ÷òî ãàðàíòèðóåò âçàèìíóþ îäíîçíà÷íîñòüîòîáðàæåíèÿ Φ.Ëåììà 5.2 (î ãåëüäåðîâîñòè îïåðàòîðà ñäâèãà).Èç íåðàâåíñòâ|v| ≤ C1 ,|v(x, t) − v(y, t)| ≤ C2 ζ(|x − y|)(44)ñëåäóåò, ÷òî ∃ C3 > 0 è α ∈ (0, 1) òàêèå, ÷òî|Φt0 (x1 ) − Φt0 (x2 )| ≤ C3 |x1 − x2 |α ,|Φt0 (x) − Φτ0 (x)| ≤ C3 |t − τ |α .Äîêàçàòåëüñòâî. 1.
Îöåíèì Φt0 (x1 )−Φt0 (x2 ) = y1 (0)−y2 (0),ò. å. ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè, â êîòîðûõ íàõîäèëèñü â íà÷àëüíûé ìîìåíò ÷àñòèöû, íàõîäÿùèåñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êàõx1 è x2 . Äëÿ êàæäîé yi èìååì çàäà÷ó Êîøè¯dyi= v(yi , s),yi ¯s=t = xi .dsÂûïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ çàäà÷ó äëÿ ðàçíîñòè z = y1 − y2 :¯dz= v(y1 , s) − v(y2 , s),z¯s=t = z0 = x1 − x2 .dsÇàìåíÿÿ ïåðåìåííóþ s ïåðåìåííîé r = t − s è îáîçíà÷àÿz(s) = z̃(r), ïîëó÷àåì¯dz̃= v(y2 , t − r) − v(y1 , t − r),z̃¯r=0 = z0 .drdσa dad |a|Îáîçíà÷èì σ = |z̃| è îöåíèì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó=drdr|a| drè íåðàâåíñòâî (44):¯ ¯dσz̃ ¯¯ dz̃ ¯¯=≤ C2 |z̃|(1 + ln |z̃|) = C2 σ(1 + ln σ).dr|z̃| ¯ dr ¯62Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå, íàõîäèìZσσ0dσ≤σ(1 + | ln σ|)ZtC2 dr = C2 t.0Ïðè σ < 1 íà [0, T ] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî | ln σ| = − ln σ è ïîëó÷åííóþ îöåíêó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèä嵶1 − ln σln≤ C2 t1 − ln σ0èëè¡¢β(t)β(T )σ ≤ exp 1 − (1 − ln σ0 )e−C2 t = e1−β(t) σ0 ≤ σ0 e1−β(T ) = kσ0α ,ãäå β(t) = e−C2 t , α = β(T ).Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèå σ < 1 íå óìåíüøàåò îáùíîñòè.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü σ0 òàêîâî, ÷òî kσ0α < 1 − ε ñ ε > 0.Åñëè ∃t0 ∈ (0, T ]: σ(t) → 1 ïðè t → t0 (∀t < t0 σ(t) < 1), òîσ(t0 ) ≤ kσ0α < 1 − ε < 1, ò. å. ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.2. Ïóñòü τ < t, òîãäà|Φτ0 (x) − Φt0 (x)| = |y1 (0) − y2 (0)| ≤ k|y1 (τ ) − y2 (τ )|α =¯α¯ t¯¯Z¯¯dyαdξ ¯¯ ≤= k|(y1 (τ ) − y2 (t)) + (y2 (τ ) − y2 (t))| = k ¯¯¯ dξ ¯τα tZ≤ k |v| dξ ≤ kC1α |t − τ |α . (45)τÑëåäñòâèå. óñëîâèÿõ ëåììû èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîω(x, t) = ω0 (Φt0 (x)).Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ïîëíîé ïðîèçâîä-dω.
Òàêèì îáðàçîì,dtω(x(t), t) = ω(x(0), 0).  ñèëó îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà Φt0 ïîëó÷àåìòðåáóåìîå.Ñëåäñòâèå. Âóñëîâèÿõëåììû5.2âêëþ÷åíèåω0 = rot u ∈ C θ è ðàâåíñòâî kω0 kθ = N âëåêóò îöåíêèkωkC γ,γ (QT ) ≤ N C3 , γ ≤ αθ.íîé, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (38) â âèäå63Äîêàçàòåëüñòâî.
Îöåíèì,ω(x1 , t) − ω(x2 , t):íàïðèìåð,ðàçíîñòü|ω(x1 , t) − ω(x2 , t)| ≤ |ω0 (Φt0 (x1 )) − ω0 (Φt0 (x2 ))| ≤C|Φt0 (x1 ) − Φt0 (x2 )|θ ≤ C|x1 − x2 |θα .Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.7. Äâóìåðíàÿ çàäà÷à íåïðîòåêàíèÿ. Òåîðåìà ÊàòîÍàñòîÿùèé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí óñòàíîâëåíèþ êîððåêòíîñòèäâóìåðíîé çàäà÷è íåïðîòåêàíèÿ äëÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà.Ïóñòü Ω ∈ R2 îãðàíè÷åííàÿ, îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ (íàïðèìåð, Γ ∈ C 3 ). Ìàññîâûå ñèëûëèáî îòñóòñòâóþò, ëèáî ïîòåíöèàëüíû, ò.
å. ìîãóò áûòü îòíåñåíûê äàâëåíèþ. Äàííîå ïðåäïîëîæåíèå íå ïðèíöèïèàëüíî è ñäåëàíîäëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê. Ðàññìîòðèì â QT ñèñòåìó óðàâíåíèéÝéëåðàdiv v = 0,vt + (v · ∇)v = −∇pè íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó ê íåév|t=0 = a(x),x ∈ Ω,¯v · n¯Γ = 0.(46)(47)Óñëîâèÿ (47) òðåáóþò ñîãëàñîâàíèÿ ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ äàííûõ, ÷òî âûëèâàåòñÿ â ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ:¯div a = 0,a · n¯Γ0 = 0.(48)Çäåñü v = (u, v) âåêòîð ñêîðîñòè; p äàâëåíèå; n åäèíè÷íûéâåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê Γ; x = (x1 , x2 ) = (x, y) ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû òî÷êè.Íàïîìíèì òåîðåìó ÒèõîíîâàØàóäåðà.Òåîðåìà 5.1 (ÒèõîíîâØàóäåð). Åñëè A : K → K íåïðåðûâíûé â X îïåðàòîð, îïðåäåëåííûé íà çàìêíóòîì âûïóêëîìêîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà X , òî óðàâíåíèå Au = u ðàçðåøèìî â K .Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [10].64Ïóñòü a ∈ C 1+θ (Ω), 0 < θ < 1 è âûïîëíåíû óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ (48).
Òîãäà äëÿ ëþáîãî T > 0 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (46)(47) òàêîå, ÷òî p, víåïðåðûâíû â QT âìåñòå ñî âñåìè âõîäÿùèìè â óðàâíåíèÿ (46)ïðîèçâîäíûìè.Òåîðåìà 5.2 (Êàòî).Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèé. Ïå-ðåéäåì â (46)(47) ê ïåðåìåííûì Ãåëüìãîëüöà. Êàê áûëî ïîêàçàíîâ 3, óðàâíåíèÿ (46) ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì (38), (39). Âûðàæåíèÿ äëÿ íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ óñëîâèé ïîëó÷èì èç ñëåäóþùèõñîîáðàæåíèé. Äëÿ íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè íà ãðàíèöûîáëàñòè ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:∂ψv · n = un1 + vn2 = ψy n1 − ψx n2 = ∇ψ · (−n2 , n1 ) = τ · ∇ψ =,∂sãäå τ¯ âåêòîð êàñàòåëüíîé â Γ.
Òàê êàê â êðàåâîì óñëîâèè (47)v · n¯Γ = 0, òî äëÿ ψ ïîëó÷àåì óñëîâèå¯ψ ¯Γ = const .(49)Íà÷àëüíîå óñëîâèå¯ω ¯t=0 = a2x − a1y(50)ïîëó÷àåòñÿ èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (47) íåñëîæíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì.Î÷åâèäíî, èç óðàâíåíèÿ (39) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ψ íå íóæíî ñòàâèòü óñëîâèå ïðè t = 0. Óñëîâèå äëÿ ω íà Γ òîæå íå ñòàâèòñÿ, òàê êàê Γ ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ äëÿóðàâíåíèÿ (37).Òàêèì îáðàçîì îò çàäà÷è (46)(47) ìû ïåðåøëè ê çàäà÷å (38),(39), (49), (50).Ñâåäåì çàäà÷ó (38), (39), (49), (50) ê çàäà÷å î íåïîäâèæíîéòî÷êå íåêîòîðîãî îïåðàòîðà F. Îïðåäåëèì îïåðàòîð F íà ôóíêöèèϕ ∈ S , ãäåS = {ϕ ∈ C(QT )| kϕkC ≤ M = kω0 k(0) , kϕkγ,γ ≤ N C3 }.Ïî ôóíêöèè ϕ íàéäåì ôóíêöèþ ψ èç çàäà÷è¯∆ψ = −ϕ,ψ ¯ = 0.ΓÄàëåå ïî ψ íàõîäèì v = (u, v) èç óðàâíåíèéψy = u,ψx = −v.65(51)È íàêîíåö, ïî âåêòîðó v íàéäåì ôóíêöèþ ω èç óðàâíåíèÿ¯ωt + (v · ∇)ω = 0,ω¯= a2x − a1y .t=0Ôóíêöèþ ω áóäåì ñ÷èòàòü ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ îïåðàòîðà F íàôóíêöèþ ϕ, ò. å.
ω = F(ϕ). Î÷åâèäíî, íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà F âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèåé ψ áóäåò ÿâëÿòüñÿðåøåíèåì çàäà÷è (38), (39), (49), (50). Ïîêàæåì, ÷òî F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû ØàóäåðàÒèõîíîâà. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) Ôóíêöèè ϕ ∈ S ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííû.2) Ôóíêöèè ϕ ∈ S ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíû.
Äåéñòâèòåëü¶1/γµεíî ∀ε ∃δ(ε) =òàêîå, ÷òî èç |x − x0 | < δ ñëåäóåòN C3|ϕ(x0 , t)−ϕ(x, t)| ≤ N C3 |x0 −x|γ ≤ ε, ò. å. èìååò ìåñòî ðàâíîñòåïåííàÿ íåïðåðûâíîñòü ïî x. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåò ðàâíîñòåïåííàÿíåïðåðûâíîñòü ïî t.Òàêèì îáðàçîì, èç òåîðåìû Àðöåëà íà îñíîâå ýòèõ äâóõ óòâåðæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî S êîìïàêò â C(QT ).3) Ìíîæåñòâî S âûïóêëî è îãðàíè÷åííî.4) Îïåðàòîð F íåïðåðûâåí.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕn → ϕ âC(QT ) è¯∆ψn = ϕn ,ψn ¯Γ = 0,òî äëÿ ðàçíîñòåé (ψn − ψ) ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ∆(ψn − ψ) = (ϕn − ϕ),(ψn − ψ)|Γ = 0.Ïî ëåììå 5.1 èìååì îöåíêèkvn − vk(0) = k∇ψn − ∇ψk(0) ≤ Ckϕn − ϕk(0) → 0.Òîãäà xn ðåøåíèÿ çàäà÷¯dxn= vn (xn , t),xn ¯t=0 = ydt¯¯ñõîäÿòñÿ â C[0, T ], è â ÷àñòíîñòè xn ¯t=0 → x¯t=0 , ò. å.xn (0) = Φt0n (y) → Φt0 (y) = x(0).Îòñþäà, â ñèëó ãåëüäåðîâîñòè ω0 , ïîëó÷èì ñõîäèìîñòüF(ϕn ) = ω0 (Φt0n (x)) → ω0 (Φt0 (x)) = F(ϕ),66÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Òàêèì îáðàçîì óñëîâèÿ òåîðåìû ØàóäåðàÒèõîíîâà âûïîëíåíû, ÷òî äîêàçûâàåò ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è (38), (39), (49), (50).Òåïåðü îáîñíóåì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è. Äëÿ ðàçíîñòåév = v1 − v2 ,p = p1 − p2ïðåäïîëàãàåìûõ ðåøåíèé (vi , pi ) èìååì óðàâíåíèÿ div v = 0 èvt + (v1 · ∇)v1 − (v2 · ∇)v2 + ∇p = 0.(52)Äîáàâëåíèåì è âû÷èòàíèåì (v2 · ∇)v1 èç óðàâíåíèÿ (52) ïîëó÷èìñîîòíîøåíèåvt + (v · ∇)v1 + (v2 · ∇)v + ∇p = 0,óìíîæàÿ êîòîðîå íà v è èíòåãðèðóÿ ïî Ω, âûâîäèì óðàâíåíèå1 dkvk2 = −((v · ∇)v1 , v) − ((v2 · ∇)v, v) − (∇p, v).(53)2 dtÈññëåäóåì ñëàãàåìûå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (53).1.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè óäàåòñÿ îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z(v · ∇)v1 · v dx ≤ k∇v1 k∞ kvk22 ≤ Ckvk22 .Ω2. Äëÿ ((v2 · ∇)v, v) èìååì ñîîòíîøåíèå1((v2 · ∇)v, v) = (v2 , ∇|v|2 ) = 0.23. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (53) ðàâíî íóëþ â ñèëóïðåäñòàâëåíèÿZ(∇p, v) = −(p, div v) + pv · n dΓΩè ðàâåíñòâà íóëþ îáîèõ èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. èòîãå, èç óðàâíåíèÿ (53) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâîdkvk22 ≤ 2Ckvk22 ,dtèíòåãðèðóÿ êîòîðîå ïî t, óñòàíàâëèâàåì îöåíêókvk22 ≤ kv(0)k22 e2Ct = 067è ñîîòâåòñòâåííî åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå.
Âîîáùå ãîâîðÿ, çàäà÷à äëÿ ω íå èìååò êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ ω ∈ C θ , ïîýòîìó íåîáõîäèìî âûáðàòüC 2 3 an → a ∈ C 1+θ â C 1+θ , à èíà÷å ýòà çàäà÷à ïîíèìàåòñÿ òîëüêîâ îáîáùåííîì ñìûñëå.68Ãëàâà 6Çàäà÷à Ñòåôàíàßâëåíèÿ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â ñïëîøíûõ ñðåäàõ íàáëþäàþòñÿâ ðàçíîîáðàçíûõ ïðèðîäíûõ è òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñòü áîëüøàÿ ïîòðåáíîñòü â îïèñàíèè ýòèõ ÿâëåíèé,â ÷àñòíîñòè â ñîçäàíèè è èçó÷åíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ñóùåñòâóåò âåñüìà îáøèðíàÿ òåîðèÿ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, è îíà ïîñòîÿííî ðàçâèâàåòñÿ. Ïîýòîìó çàòðîíóòü å¼ âîïðîñû â ðàìêàõ íàøåãî êóðñà áóäåò î÷åíüóìåñòíî è ïîó÷èòåëüíî, è â äàííîé ãëàâå ìû èçó÷èì êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó î ôàçîâûõ ïåðåõîäàõ, ñôîðìóëèðîâàííóþ â 70-õ ãã.XIX â. àâñòðèéñêèì èíæåíåðîì-ìåòàëëóðãîì É.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
