1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íåðàâåíñòâà òèïà ÃðîíóîëëàÏóñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ y : [0, T ] → R+ óäîâëåòâîðÿåò ïðè ï. â. t ∈ [0, T ] äèôôåðåíöèàëüíîìó íåðàâåíñòâódy(t) ≤ C1 (t)y(t) + C2 (t),dtãäå C1 , C2 èç êëàññà L1 (0, T ). Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêàRtRτZtC1 (τ ) dτ− C1 (ξ) dξy(0) + C2 (τ )e 0y(t) ≤ e0dτ .Ëåììà 4.1.0Ïóñòü y : [0, T ] → R+ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, A, B ≥ 0 èç L1 (0, T ), à C ≥ 0 êîíñòàíòà. Òîãäà èç íåðàâåíñòâàZty(t) ≤ C + (A(τ )y(τ ) + B(τ )) dτËåììà 4.2 (ëåììà Ãðîíóîëëà).0ñëåäóåò íåðàâåíñòâîRty(t) ≤ e0A(τ ) dτZtC +B(τ )e044−Rτ0A(ξ) dξdτ .Íåðàâåíñòâà, óñòàíàâëèâàåìûå â ýòèõ ëåììàõ, èñïîëüçóþòñÿïðè äîêàçàòåëüñòâàõ îãðàíè÷åííîñòè ôóíêöèé íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå, à òàêæå â îáîñíîâàíèÿõ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà ñ âûäåëåííîéïåðåìåííîé tÏóñòü X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâîC(0, T ; X) êàê ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé u : [0, T ] → Xñ êîíå÷íîé íîðìîé kukC(0,T ;X) = sup ku(t)kX .  äàííîì îïðåäå0≤t≤Tëåíèè íåïðåðûâíîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ñòðåìëåíèÿku(t1 ) − u(t2 )kX → 0 ïðè t1 → t2 ,∀t1 , t2 ∈ [0, T ].Åñëè X íåêîòîðîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íàìíîæåñòâå Ω, òî ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà C(0, T ; X) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå [0, T ] × Ω.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî C α (0, T ; X) êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C(0, T ; X), îãðàíè÷åííûõâ íîðìåku(s) − u(t)kX.|s − t|αs,t∈[0,T ]kukC α (0,T ;X) = kukC(0,T ;X) + supÏóñòü X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëèì ïðîñòðàíñòâîLp (0, T ; X)êàêïðîñòðàíñòâîíåïðåðûâíûõôóíêöèéu : [0, T ] → X ñ êîíå÷íîé íîðìîé kukLp ([0,T ];X) = kkukX kLp (0,T ) .Ëåììà 4.3.Ïóñòü ϕ0 ∈ D(0, T ),RT0ϕ0 (t) dt = 1. Äëÿ ëþáîãîϕ ∈ D(0, T ) íàéäåòñÿ ψ ∈ D(0, T ) òàêîå, ÷òîZTdψ≡ ψ 0 = ϕ − λϕ0 ,dtãäå λ =ϕ(t) dt .0Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âêëþ÷åíèé ϕ, ϕ0 ∈ D(0, T ) è ðà-âåíñòâàZT(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt = 0,045ïåðâîîáðàçíàÿ îò ϕ(t) − λϕ0 (t) ïðèíàäëåæèò C ∞ (0, T ) è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè t = 0 (òàê âûáèðàåì êîíñòàíòó èíòåãðèðîâàíèÿ) èt = T .
È íàêîíåö, îñòàåòñÿ ïîëîæèòü ψ óêàçàííîé ïåðâîîáðàçíîéîò ϕ(t) − λϕ0 (t).Ëåììà 4.4. Ïóñòü X áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, à ôóíêöèèu, g èç L1 (0, T ; X). Ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:1) Ôóíêöèÿ u ïî÷òè âñþäó ñîâïàäàåò ñ ïåðâîîáðàçíîé îò g,ò. å.Zt˙ ∈ [0, T ].u(t) = ξ + g(s) ds,ξ ∈ X,∀t(20)02) Äëÿ ëþáîé ψ ∈ D(0, T ) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîZTZT0u(t)ψ (t) dt = −03) Äëÿ ëþáîãî η ∈(21)g(t)ψ(t) dt .0X∗èìååìdhη, ui = hη, gi,dtò.
å.ZTZT0hη, u(t)iψ (t) dt = − hη, g(t)iψ(t) dt,0∀ψ ∈ D(0, T ).(22)0Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1)3), òî u, â ÷àñòíîñòè, ïî÷òèâñþäó ðàâíà íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè èç [0, T ] â X .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü âûïîëíåíî 1), äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü 3). Ïîäåéñòâóåì íà ðàâåíñòâî (20) ýëåìåíòîì η ∈ X ∗ èóìíîæèì ïîëó÷åííîå íà ψ 0 (ψ ∈ D(0, T )).
Èíòåãðèðîâàíèå ïðàâîé ÷àñòè ïî ÷àñòÿì ïðèâîäèò ê òðåáóåìîìó.Ïîêàæåì, ÷òî èç 3) ñëåäóåò 2), à èç 2) ñëåäóåò 1).Ïóñòü âûïîëíåíî 3). Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (22) â âèäå* ZT+ZTu(t)ψ 0 (t) dt +η,0g(t)ψ(t) dt0 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè η , ïîëó÷àåì 2).46= 0,∀η ∈ X ∗ .Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî èç 2) ñëåäóåò 1). Ïóñòü v = u − u0 , ãäåZtu0 (t) =g(s) ds .0Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà 1) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî v íå çàâèñèò îò t.Ïîäñòàâèì â (21) u â âèäå u = u0 +v.
Î÷åâèäíî, ÷òî u0 àáñîëþòíîíåïðåðûâíà íà [0, T ] è u00 = g. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿìíàõîäèìZTv(t)ψ 0 (t) dt = 0,∀ψ ∈ D(0, T ).(23)0Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé ëåììû, çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ϕ0 è ïî íåé è ôóíêöèè ϕ ïîñòðîèì ôóíêöèþψ ∈ D(0, T ) òàêóþ, ÷òî ψ 0 = ϕ − λϕ0 . Îáîçíà÷àÿZTξ=v(s)ϕ0 (s) ds,0äëÿ ∀ϕ ∈ D(0, T ) âûâîäèì öåïî÷êó ðàâåíñòâZTZTZTv(t) ϕ(t) −(v(t) − ξ)ϕ(t) dt =00ϕ(s) ds ϕ0 (t) dt0ZT=ZTv(t)ψ 0 (t) dt = 0.v(t)(ϕ(t) − λϕ0 (t)) dt =00Ïîñëåäíåå ïîëó÷åíî â ñèëó ðàâåíñòâà (23). Èòàê, ïîêàçàëè, ÷òî∀ϕ ∈ D(0, T )ZTZtv(t)ϕ(t) dt =0ξϕ(t) dt .0 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ϕ, îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî v(t) = ξ ïî÷òè âñþäó â [0, T ]. Ëåììà äîêàçàíà.473.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÒðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèè v : Q → R3 è p : Q → R â îáëàñòèQ = Ω × [0, T ] òàêèå, ÷òî¯vt − ν∆v + ∇p = f ,div v = 0,v¯∂Ω = 0;(24)¯v¯t=0 = v0 ,(25)ãäå ôóíêöèè f : Q → R3 è v0 : Ω → R3 çàäàíû (Ω îãðàíè÷åííàÿîáëàñòü ñ ëèïøèöåâîé ãðàíèöåé, T > 0 ôèêñèðîâàíî).Ôóíêöèÿ v íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è(24)(25), åñëè∂v∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)),∂tv ∈ L2 (0, T ; H(Ω)),ñïðàâåäëèâû íà÷àëüíîå óñëîâèå (25) è ðàâåíñòâîd(v(t), ϕ) + ν[v(t), ϕ] = hf (t), ϕi,dt∀ϕ ∈ H(Ω),˙ ∈ (0, T ).∀t(26)˙Çäåñü è äàëåå ∀ ñëåäóåò ÷èòàòü êàê "äëÿ ïî÷òè âñåõ".Ñëåäóåò ñäåëàòü ðÿä çàìå÷àíèé îá îïðåäåëåíèè îáîáùåííîãîðåøåíèÿ.1) Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è(24)(25), òî îíà ÿâëÿåòñÿ è îáîáùåííûì ðåøåíèåì ýòîé æå çàäà÷è.2) Íåòðèâèàëåí âîïðîñ î ïîíèìàíèè íà÷àëüíûõ äàííûõ.
 ñèëó ëåììû 4.4,Zt∂vds + constv(t) =∂s0ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó íà [0, T ] íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé èç [0, T ] âH ∗ (Ω) è òîãäà íà÷àëüíîå óñëîâèå ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëålim hv(t), ηi = hv0 , ηi,t→+0∀η ∈ H(Ω).Çäåñü èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî H ∗ (Ω) ñåïàðàáåëüíî, à çíà÷èò, ìîæíîîòîæäåñòâèòü H(Ω) è H ∗∗ (Ω).)484. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèéÄîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷è Ñòîêñà [1, 4].Ïóñòü v0 ∈ J 0 (Ω), f ∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)). Òîãäàñóùåñòâóåò v åäèíñòâåííîå îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è(24)(25) ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå v ∈ C(0, T, H ∗ (Ω)).Òåîðåìà 4.1.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñíà÷àëàðåøåíèÿ.äîêàæåìñóùåñòâîâàíèåÏîñòðîåíèå ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé ìåòîäîì ÔàýäîÃàëåðêèíà. Ïóñòü {ω 1 , . . . , ω n , . . .} ïîëíàÿ ëèíåéíî íåçàâèñè-ìàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â H(Ω), C(0, T ; H ∗ (Ω)) 3 fm → fâ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)) èkfm kL2 (0,T ;H ∗ (Ω)) ≤ kf kL2 (0,T ;H ∗ (Ω)) .Äëÿ ëþáîãî m îïðåäåëèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå vm :mXvm =gim (t)ω(x).i=1Çäåñü g1m , . . . , gmm íåèçâåñòíûå ôóíêöèè. Îíè îïðåäåëÿþòñÿèç ñèñòåìû ïîëó÷àåìîé èç ðàâåíñòâà (26) ñ (vm , fm , ω j ) âìåñòî(v, f , ϕ):ZZ∂vm ∂ω j∂vm· ω j dx +ν·dx = hfm , ω j i,j = 1, . . .
, m.∂t∂xk ∂xkΩΩ(27)Ñèñòåìà (27) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî g1m , . . . , gmm . Çàäà÷à Êîøè äëÿ ýòèõôóíêöèé ïîëó÷àåòñÿ èç ðàçëîæåíèÿ v0 ïî áàçèñó {ω j }:vm (x, 0) =mXãäågi (0)ω i (x),gi (0) = [ω i , v0 ].i=1Âñÿ ýòà ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé Ãàëåðêèíà.Ïåðåïèñûâàÿ ðàâåíñòâà (27) ñ ó÷åòîì îðòîíîðìèðîâàííîñòè,èìååìmX0(ω i , ω j )2 gim(t) + νgjm (t) = hfm (t), ω j i,j = 1, .
. . , m. (28)i=149Ïîñêîëüêó ω j ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî det k(ω i , ω j )2 ki,j 6= 0. Àçíà÷èò ýòà ìàòðèöà îáðàòèìà è ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îêàçûâàåòñÿ ðàçðåøåííîé îòíîñèòåëüíîïðîèçâîäíûõ. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ìîæíî çàïèñàòü êàê(29)gim (0) = gi (0).Çàäà÷à Êîøè (28)(29) äëÿ ýòîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåò {gim }mi=1åäèíñòâåííûì îáðàçîì íà âñåì èíòåðâàëå [0, T ] (ñì. [2]). Ïðè ýòîìïîñêîëüêó ñêàëÿðíûå ôóíêöèè t → hf (t), ω i i L2 ñóììèðóåìû, òîòàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ è ôóíêöèè gim , ò. å.∂vm∈ L2 (0, T ; J 0 (Ω)).∂tvm ∈ L2 (0, T ; H(Ω)),(30)Àïðèîðíûå îöåíêè. Óìíîæàÿ óðàâíåíèÿ (28) íà gjm (t) èñóììèðóÿ ïî j = 1, . . . , m, ïîëó÷àåì0(vm(t), vm (t))2 + νkvm (t)k2H = hfm (t), vm (t)i. ñèëó óñëîâèé (30), èìååì ðàâåíñòâî0(vm(t), vm (t))2 =1 dkvm (t)k22 .2 dtÒàêèì îáðàçîì,dkvm (t)k22 + 2νkvm (t)k2H = 2hfm (t), vm (t)i.dtÄàëåå12hf (t), vm (t)i ≤ 2kfm (t)kH ∗ kvm (t)kH ≤ νkvm (t)k2H + kf (t)k2H ∗ .νÏîýòîìód1kvm (t)k22 + νkvm (t)k2H ≤ kf (t)k2H ∗ .dtνÈíòåãðèðóÿ ýòî îò 0 äî t, ïîëó÷àåìZtkvm (t)k22kvm (s)k2H+νds ≤0kv0 k221+νZtkf (s)k2H ds,0ò.
å. {vm } ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà â L∞ (0, T ; J 0 (Ω))∩L2 (0, T ; H(Ω)).50Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïî m → ∞. Èç àïðèîðíûõ îöåíîêñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåòv ∈ L∞ (0, T ; J 0 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H(Ω))òàêîå, ÷òî vm * v â L∞ (0, T ; J 0 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H(Ω)). Óìíîæèìj -å óðàâíåíèå â ñèñòåìå (27) íà ψ ∈ C 1 ([0, T ]), ψ(T ) = 0 è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì â ïåðâîì ÷ëåíåZTZT0(vm(t), ω j )2 ψ(t) dt(vm (t)ψ 0 (t), ω j )2 dt −(vm (0), ω j )2 ψ(0).=−00 ñèëó ýòîãî, íàõîäèìZTZT0−(vm (t)ψ (t), ω j )2 dt +ν0[vm (t), ψ(t)ω] dt =0ZT= (vm (0), ω j )2 ψ(0) +hf (t), ωi dt .0Ïåðåéòè ê ïðåäåëó â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâ ìîæíî â ñèëóñëàáîé ñõîäèìîñòè vm .
 òî æå âðåìÿ v0m → v0 â J 0 (Ω), òàê êàêv0m ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Ôóðüå. Ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäàZTZT0−(v(t)ψ (t), ω j )2 dt +ν0[v(t), ψ(t)ω j ] dt =0ZT= (v0 , ω j )2 ψ(0) +hf (t), ω j i dt,j ∈ N.0Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ ω j , à òàê êàê {ω j } ïîëíûé áàçèñ51â H(Ω), òî îòñþäà âûòåêàåò ðàâåíñòâîZTZT0−(v(t)ψ (t), ϕ)2 dt +ν[v(t), ψ(t)ϕ] dt =00ZT= (v0 , ϕ)2 ψ(0) +∀ϕ ∈ H(Ω). (31)hf (t), ϕiψ(t) dt,0Åñëè ðàññìàòðèâàòü ψ ∈ D(0, T ), òî èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàíåìåäëåííî âûòåêàåò ïåðâîå óðàâíåíèå (24) â ñìûñëå òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé, ò.
å. (26).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâà∂víèè ðåøåíèÿ îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)) è∂tv(0) = v0 .1.  óðàâíåíèè (31) âûðàçèìZT(v(t)ψ 0 (t), ϕ)2 dt0÷åðåç âñå îñòàëüíîå. Âñå ñëàãàåìûå, êðîìå ýòîãî, îáðàçóþò ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé ôóíêöèîíàë ïî ϕ ∈ H(Ω) è ψ ∈ L2 (0, T ).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî v0 ∈ L2 (0, T ; H ∗ (Ω)).2. Ïåðåéäåì ê îáîñíîâàíèþ ðàâåíñòâà v(0) = v0 . Óìíîæèìóðàâíåíèå (26) íà ψ(t), ïðîèíòåãðèðóåì ïî t è ïî ÷àñòÿì:ZT0d(v(t), f )2 ψ(t) dt = −dtZT(v(t), ϕ)2 ψ 0 (t) dt +(v(0), ϕ)2 ψ(0).0Ñëåäîâàòåëüíî,ZTZT0−(v(t), ϕ)2 ψ (t) dt +ν0[v(t), ϕ]ψ(t) dt =0ZThf (t), ϕiψ(t) dt .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
