1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ñòåôàíîì. Ïîîòíîøåíèþ ê äðóãèì çàäà÷àì î ôàçîâûõ ïåðåõîäàõ çàäà÷à Ñòåôàíà èìååò ïðîñòóþ ôîðìó. Òåì íå ìåíåå îíà ñîäåðæèò â ñåáåñàìûå îñíîâíûå ÷åðòû áîëüøèíñòâà áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷. Çà 130ñ ëèøíèì ëåò áûëî ìíîãîêðàòíî ïîäòâåðæäåíî, ÷òî îíà ôèçè÷åñêè àäåêâàòíî îïèñûâàåò ìíîãèå ôàçîâûå ïðåâðàùåíèÿ.Çàäà÷åé Ñòåôàíà íàçûâàåòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ òåìïåðàòóðû è ãðàíèöû ôàçîâîãî ïåðåõîäà â ÷èñòîì, ò. å. íå ñîäåðæàùåì ïðèìåñåé, âåùåñòâå. Îíà âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå ôèçè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ:(à) àãðåãàòíîå ñîñòîÿíèå ñðåäû èçìåíÿåòñÿ òîëüêî âñëåäñòâèåòåïëîïðîâîäíîñòè è òåïëî¼ìêîñòè ñðåäû;(á) íà ñðåäó âîçäåéñòâóþò âíåøíèå è âíóòðåííèå èñòî÷íèêèòåïëà;(â) ïåðåäà÷à ýíåðãèè â êàæäîé ôàçå ðàññìàòðèâàåìîãî âåùåñòâà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè;(ã) ïîâåäåíèå ãðàíèöû ôàçîâîãî ïåðåõîäà, íàçûâàåìîé ñâîáîäíîé ãðàíèöåé, îïèñûâàåòñÿ óñëîâèåì Ñòåôàíà, êîòîðîå âûðàæàåòñîáîé áàëàíñ ýíåðãèè ïðè ïåðåõîäå ñðåäû èç îäíîãî àãðåãàòíîãîñîñòîÿíèÿ â äðóãîå;69(ä) ïîìèìî óñëîâèÿ Ñòåôàíà, íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå ñòàâèòñÿóñëîâèå î òîì, ÷òî òåìïåðàòóðà ÷àñòèö âåùåñòâà, ñîñòàâëÿþùèõñâîáîäíóþ ãðàíèöó, ðàâíà òåìïåðàòóðå ôàçîâîãî ïåðåõîäà, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíîé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.Óñëîâèå (ä) èìååò õàðàêòåð àêñèîìû, ïîñêîëüêó îíî íå ñëåäóåò èç ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ òåðìîäèíàìèêè, íî äîñòàòî÷íîòî÷íî îòðàæàåò ìíîãèå ðåàëüíûå ïðîöåññû.1.
Êëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è ÑòåôàíàÏðèñòóïèì ê ñòðîãîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêå çàäà÷èÑòåôàíà [6].Çàäà÷à CS (êëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è Ñòåôàíà). Òðåáóåòñÿ îòûñêàòü òåìïåðàòóðó u(x, t) â îãðàíè÷åííîéîáëàñòè Ω ⊂ Rd ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé ∂Ω äëÿ ìîìåíòîâ âðåìåíèt ∈ (0, T ) ïðè íàëè÷èè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ïðè çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðû u1 , .
. . , us . Ïóñòü u1 < u2 < . . . < us .  òåõ ÷àñòÿõQT = Ω × (0, T ), ãäå u(x, t) íå ïðèíèìàåò çíà÷åíèé u1 , . . . , us ,äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (â óðàâíåíèèòåïëîïðîâîäíîñòè è äàëåå â òåêñòå ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàìïðîèçâîäèòñÿ ñóììèðîâàíèå)(54)α(u)ut − (k(u)uxi )xi = f,ãäå α(u) è k(u) çàäàííûå ïîëîæèòåëüíûå ôóíêöèè, ãëàäêèå íàêàæäîì èç îòðåçêîâ [uk , uk+1 ] è, ìîæåò áûòü, èìåþùèå ðàçðûâûïåðâîãî ðîäà â òî÷êàõ u = uk , k = 1, . .
. , s. Íà ãðàíèöàõS (k) := {(x, t) ∈ Q | u(x, t) = uk }ðàçäåëà äâóõ ôàç äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ[u]|S (k) = 0;−[Λ(u)] cos(n, et ) + [k(u)uxi ] cos(n, ei )|S (k) = 0,(55)(56)ãäå [. . .] ñêà÷îê ôóíêöèè íà S (k) , îïðåäåë¼ííûé ïî ôîðìóëå[ϕ](x0 , t0 ) =lim(x− ,t− )→(x0 ,t0 )ϕ(x− , t− ) −lim(x+ ,t+ )→(x0 ,t0 )ϕ(x+ , t+ ),â êîòîðîé (x0 , t0 ) ∈ S (k) , (x− , t− ) è (x+ , t+ ) òî÷êè èç Q, ðàñïîëîæåííûå âáëèçè S (k) ñ áîëåå õîëîäíîé (ò.
å. u < uk ) è áîëååò¼ïëîé (u > uk ) ñòîðîí ñîîòâåòñòâåííî; Λ(u) ïåðâîîáðàçíàÿ îòα(u) íà êàæäîì èç îòðåçêîâ [uk , uk+1 ] (ïðè êàæäîì èç çíà÷åíèé70uk ôóíêöèÿ Λ(u) òåðïèò ñêà÷îê ïåðâîãî ðîäà, çíà÷åíèå êîòîðîãîçàäàíî: −[Λ(u)]|S (k) = bk , ãäå bk = const > 0); n íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S (k) , íàïðàâëåííàÿ â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ òåìïåðàòóðû;{e1 , .
. . , ed , et } äåêàðòîâ áàçèñ â Rdx × Rt .Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è óñëîâèÿ íà ñâîáîäíîé ãðàíèöåäîïîëíÿþòñÿ íà÷àëüíûìè äàííûìèu|t=0 = ψ0 (x),x ∈ Ω,(57)è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèu|ST = uS ,(58)ãäå ST = ∂Ω × (0, T ). ïîñòàíîâêå çàäà÷è CS, α(u) è k(u) ýòî êîýôôèöèåíòû òåïëî¼ìêîñòè è òåïëîïðîâîäíîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî Λ(u) óäåëüíàÿâíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âåùåñòâà. Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèè α(u), k(u)è Λ(u) òåðïÿò ñêà÷êè ïðè òåìïåðàòóðàõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, âûðàæàåò ñîáîé ñôîðìóëèðîâàííîå ðàíåå ôèçè÷åñêîå ñîîáðàæåíèå(À). Êîíñòàíòà bk íàçûâàåòñÿ ñêðûòîé òåïëîòîé ôàçîâîãî ïåðåõîäà ïðè òåìïåðàòóðå uk . Îíà ðàâíà ïî âåëè÷èíå êîëè÷åñòâó òåïëà,êîòîðîå íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê åäèíèöå ìàññû âåùåñòâà, íàõîäÿùåãîñÿ ïðè òåìïåðàòóðå uk â îäíîì, áîëåå õîëîäíîì àãðåãàòíîìñîñòîÿíèè (íàïðèìåð, â òâ¼ðäîì), ÷òîáû ýòî âåùåñòâî öåëèêîì ïåðåøëî â äðóãîå, áîëåå ò¼ïëîå àãðåãàòíîå ñîñòîÿíèå (íàïðèìåð, âæèäêîå), ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì òåìïåðàòóðó uk .Ôóíêöèÿ f â óðàâíåíèè òåïëîïðîâîäíîñòè ýòî ïëîòíîñòüðàñïðåäåë¼ííûõ ìàññîâûõ èñòî÷íèêîâ òåïëà, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè Ω, à ôóíêöèÿ uS â ãðàíè÷íîì óñëîâèè (58) ýòî ïëîòíîñòüðàñïðåäåë¼ííûõ ïîâåðõíîñòíûõ èñòî÷íèêîâ òåïëà, íàõîäÿùèõñÿíà ãðàíèöå Ω.
 äàëüíåéøåì, èñêëþ÷èòåëüíî â öåëÿõ óïðîùåíèÿè ñîêðàùåíèÿ èçëîæåíèÿ, ìû ïîëàãàåì f òîæäåñòâåííî ðàâíûìíóëþ è uS òîæäåñòâåííî ðàâíûì u1 (ñìûñë èìåííî òàêîãî âûáîðà uS áóäåò ÿñåí ÷óòü ïîçæå), õîòÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ ãëàâóæå ïîçâîëÿþò ýòîãî íå äåëàòü, à ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîëüíûå fè uS , íàïðèìåð, èç êëàññîâ L2 (Q) è L2 (ST ).Óñëîâèå (55) âûðàæàåò ñîáîé àêñèîìó (ä), à óñëîâèå (56) ýòî óñëîâèå Ñòåôàíà. Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî óñëîâèå Ñòåôàíà ýòî íå ÷òî èíîå, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé óñëîâèÿ ÐåíêèíàÃþãîíèîíà ñèëüíîì ðàçðûâå.712.
Îáîáù¼ííàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è ÑòåôàíàÒîò ôàêò, ÷òî êîýôôèöèåíòû òåïëî¼ìêîñòè è òåïëîïðîâîäíîñòè è óäåëüíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿþòñÿ ðàçðûâíûìè ôóíêöèÿìè, îçíà÷àåò: óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (54), åñëè åãî ðàññìàòðèâàòü âî âñ¼ì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîì öèëèíäðå Q, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ðàçðûâíûìè ôóíêöèÿìè, ñòîÿùèìè ïîä çíàêàìè ïðîèçâîäíûõ. Çíà÷èò, îíî â ïðèíöèïå íå ìîæåò ïîíèìàòüñÿ(âî âñ¼ì öèëèíäðå Q) â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå.
Ïîýòîìó ðàçóìíîââåñòè ïîíÿòèå îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Ñòåôàíà.Ïðåæäå âñåãî, ïðèäàäèì çàäà÷å CS áîëåå ïðîñòóþ ôîðìó. Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Êèðõãîôà è ïåðåéä¼ì îò òåìïåðàòóðû u êòåìïåðàòóðå v , â òåðìèíàõ êîòîðîé êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè òîæäåñòâåííî ðàâåí åäèíèöå, à íîâàÿ òåìïåðàòóðà îäíîãîèç ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, ñêàæåì ñîîòâåòñòâóþùåãî òåìïåðàòóðå u1 ,ðàâíà íóëþ (ò. å. v1 = 0):Zu(x,t)v(x, t) =k(w)dw.u1Îáîçíà÷èì ÷åðåç v∗ ôóíêöèþ àðãóìåíòà u, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè k(u), òàêîé ÷òî v∗ (u1 ) = 0, à çíà÷èòv(x, t) ≡ v∗ (u(x, t)).
 ñèëó òîãî, ÷òî k(u) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíà,ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ v∗−1 , îáðàòíàÿ ê ôóíêöèè v∗ . Èìååìvt = k(u)ut , vxi = k(u)uxi è âñëåäñòâèå ýòèõ äâóõ ðàâåíñòâα(u)ut = β(v)vt , ãäå β(v(x, t)) :=α(v∗−1 (v(x, t))).k(v∗−1 (v(x, t)))Çàìåòèì, ÷òî β(v) êîýôôèöèåíò òåïëî¼ìêîñòè â òåðìèíàõ íîâîé òåìïåðàòóðû v åñòü ôóíêöèÿ ñ òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî èôóíêöèÿ α(u), ò. å. β(v) ïîëîæèòåëüíàÿ, êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà â òî÷êàõv1 = 0, v2 = v∗ (u2 ), . . . , vs = v∗ (us ).Ïîäñòàâëÿÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà â óðàâíåíèå (54), ïðèâîäèì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ê âèäóβ(v)vt − ∆x v = 072(íàïîìíèì, ÷òî ìû ïîëîæèëè f ≡ 0) è äàëåå ïðèäàäèì åìó äèâåðãåíòíóþ ôîðìób(v)t − ∆x v = 0,(59a)ãäå b(v) åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè β(v) íà êàæäîì èç îòðåçêîâ[vk , vk+1 ] óäåëüíàÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â òåðìèíàõ òåìïåðàòóðû v .
Èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ñêðûòîé òåïëîòû ôàçîâîãîïåðåõîäà è óñëîâèÿ−[Λ(u)]|S (k) = bk ,ñëåäóåò ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ b(v) òåðïåëà ñêà÷îê ïåðâîãîðîäà ïðè êàæäîì èç çíà÷åíèé v1 = 0, . . . , vs è ÷òîáû ïðè êàæäîìk = 1, . . . , s âûïîëíÿëîñü óñëîâèå −[b(v)]|S (k) = bk .Óñëîâèÿ (55)(58) â òåðìèíàõ ôóíêöèè v ïåðåïèøóòñÿ â âèäå[v]|S (k) = 0;−[b(v)] cos(n, et ) + [vxi ] cos(n, ei )|S (k) = 0;v|t=0 = ψ(x), ãäå ψ := v∗ (ψ0 );v|ST = 0, òàê êàê v∗ (u1 ) = 0,(59b)(59c)(59d)(59e)è S (k) = {(x, t) ∈ Q | v(x, t) = vk }.Òåïåðü, äëÿ òîãî ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ïîíÿòèå îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ, ïðåäïîëîæèì íà ñåêóíäó, ÷òî çàäà÷à Ñòåôàíà èìååòêëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, ò.
å. òàêîå, ÷òî v ∈ C 2 (Q \ ∪sk=1 S (k) ), S (k)ÿâëÿþòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêèìè ïîâåðõíîñòÿìè è âûïîëíåíû óñëîâèÿ(59b)(59c) íà ñâîáîäíûõ ãðàíèöàõ. Óìíîæèì (59a) íà ïðîáíóþôóíêöèþ η ∈ C 2 (Q), òàêóþ ÷òî η|t=T = 0 è η|∂Ω = 0, è ïðîèíòåãðèðóåì ïî x è t. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ãðèíà, ïîëó÷àåìZZ(−b(v)ηt + vxi ηxi ) dx dt − b(ψ)η(x, 0) dx +Q+sXZΩ(bk cos(n, et ) + [vxi ] cos(n, ei )) η dσ = 0. (60)k=1 (k)S ñèëó óñëîâèÿ Ñòåôàíà (59c), èíòåãðàëû ïî ñâîáîäíûì ïîâåðõíîñòÿì ðàâíû íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèÿ (60) âûòåêàåòZZ(−b(v)ηt + vxi ηxi ) dx dt − b(ψ)η(x, 0) dx = 0.(61)QΩ73Åñëè ìåõàíè÷åñêè áåç ðàññóæäåíèé ïåðåíåñòè òó ìåòîäèêó, êîòîðóþ ìû èñïîëüçîâàëè ïðè ôîðìóëèðîâêå ïîíÿòèé îáîáù¼ííûõðåøåíèé çàäà÷, óæå èçó÷åííûõ ðàíåå â íàøåì êóðñå, òî ñëåäóåòïîíèìàòü îáîáù¼ííîå ðåøåíèå çàäà÷è Ñòåôàíà èìåííî â ñìûñëåèíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà (61).
Îäíàêî ñåé÷àñ äåëàòü ýòîãî íåëüçÿ! Äåëî â òîì, ÷òî ïðè âûâîäå ðàâåíñòâà (61) ìû ñóùåñòâåííîèñïîëüçîâàëè ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ìíîæåñòâà òî÷åê èç Q, â êîòîðûõ òåìïåðàòóðà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè (ïðè÷¼ì ãëàäêèìè). Ïðè ýòîì ïðåäïîëîæåíèè âñå èíòåãðàëû â ðàâåíñòâå (61) èìåþò ÿñíûé ñìûñë, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ b(v) íå îïðåäåëåíà òîëüêî íà ìíîæåñòâå íóëåâîé ìåðû, òî åñòü òàì, ãäå îíà òåðïèò ñêà÷îê.
 äåéñòâèòåëüíîñòè,ìîæíî ñåáå ïðåäñòàâèòü (è òàêîå íà ñàìîì äåëå áûâàåò), ÷òî vñîâïàäàåò ñ òåìïåðàòóðîé ôàçîâîãî ïåðåõîäà â öåëîé ïîäîáëàñòèèç Q íåíóëåâîé ìåðû.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûé è òðåòèé èíòåãðàëû â ðàâåíñòâå (61) îêàçûâàþòñÿ íå îïðåäåëåíû. Ïðåîäîëåâàåòñÿóêàçàííàÿ ñëîæíîñòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ìû îáîçíà÷èì ÷åðåçB(x, t, v) ïðîèçâîëüíóþ èçìåðèìóþ ôóíêöèþ, ðàâíóþ b(v) ïðèv 6= vk (k = 1, . . . , s) è (x, t) ∈ Q, à ïðè v = vk è (x, t) ∈ Qïîëîæèì, ÷òî B(x, t, v) ïðèíèìàåò êàêîå-ëèáî îäíî çíà÷åíèå èç−−èíòåðâàëà [b−k , bk + bk ], ãäå bk = lim b(v).
Ïîäñòàâèì ýòó ôóíêv→vk −0öèþ â ðàâåíñòâî (61) íà ìåñòî ôóíêöèè b(v):ZZ(−B(x, t, v)ηt + vxi ηxi ) dx dt − B(x, 0, ψ)η(x, 0) dx = 0. (62)ΩQÇàìåòèì, ÷òî òàê êàê ìåðà ìíîæåñòâ S (k) â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Ñòåôàíà ðàâíà íóëþ, òî äëÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ðàâåíñòâà (61) è (62) ñîâïàäàþò. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ b(v) èíòåãðèðóåìà âQ \ {(x, t) | v(x, t) = v1 , . . .
, vk }, òî ôóíêöèÿ B(x, t, v) èíòåãðèðóåìà â Q.Åù¼ çàìåòèì, ÷òî ðàçóìíî îò îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ v ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû îíî óäîâëåòâîðÿëî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà è ýíåðãåòè÷åñêîìó íåðàâåíñòâó (ò. å. èìåëî ñóììèðóåìûé ñ êâàäðàòîìãðàäèåíò).Èòàê, ìû ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Ñòåôàíà (59).74Îïðåäåëåíèå.
Íàçîâ¼ì îáîáù¼ííûì ðåøåíèåì çàäà÷è Ñòåôàíà (59) îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ v èç L2 (0, T ; H01 (Ω)), óäîâëåòâîðÿþùóþ èíòåãðàëüíîìó ðàâåíñòâó (62) ïðè êàêîé-íèáóäü (õîòÿáû îäíîé) ôóíêöèè òèïà B(x, t, v) è ïðè ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèÿõη ∈ C 2 (Q), òàêèõ ÷òî η|t=T = 0 è η|∂Ω = 0.Äàëåå ìû ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿè åäèíñòâåííîñòè îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Ñòåôàíà â ñìûñëå òîëüêî ÷òî äàííîãî îïðåäåëåíèÿ è òàêèì îáðàçîì óñòàíîâèì,÷òî ñêîíñòðóèðîâàííàÿ çäåñü îáîáù¼ííàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷èêîððåêòíà. Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòèáóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñðåäà ìîæåò ïðåáûâàòü òîëüêî â äâóõàãðåãàòíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ñîîòâåòñòâåííî ìîæåò áûòü òîëüêî îäèíôàçîâûé ïåðåõîä ïðè òåìïåðàòóðå v1 = 0.3. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿÒåîðåìà 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
