1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ïóñòü íà÷àëüíûå äàííûå ψ(x) òàêîâû, ÷òîìåðà ìíîæåñòâà {x ∈ Ω | ψ(x) = 0} ðàâíà íóëþ. Òîãäà çàäà÷à(59) ìîæåò èìåòü íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ äâà ðåøåíèÿ v 0 è v 00 , è èì ñîîòâåòñòâóþò ôóíêöèè B 0 è B 00 . Ïðèìåíèì ôîðìóëó Ãðèíà êî âòîðîìó èíòåãðàëó â (62), ïîëó÷èìZZ(B(x, t, v)ηt + v∆x η) dx dt + B(x, 0, ψ)η(x, 0) dx = 0. (63)QΩÂû÷èòàÿ óðàâíåíèå (63) ñ v 0 è B 0 èç óðàâíåíèÿ (63) ñ v 00 è B 00 ,ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóZ¡ 0¢B (x, t, v 0 ) − B 00 (x, t, v 00 ) ×Qµ× ηt +¶v 0 − v 00∆x η dx dt +B 0 (x, t, v 0 ) − B 00 (x, t, v 00 )Z+ (B 0 (x, 0, ψ) − B 00 (x, 0, ψ))η(x, 0) dx = 0.Ω75Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ýòîì ðàâåíñòâå îáðàùàåòñÿ â íóëü â ñèëóóñëîâèÿ òåîðåìû è âèäà ôóíêöèé B 0 è B 00 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîZ¡ 0¢B (x, t, v 0 ) − B 00 (x, t, v 00 ) (ηt + a(x, t)∆x η) dx dt = 0,(64)Qv 0 − v 00.  ñèB 0 (x, t, v 0 ) − B 00 (x, t, v 00 )ëó ìîíîòîííîñòè b(v) è âèäà ôóíêöèé B 0 è B 00 , ôóíêöèÿ a(x, t)íåîòðèöàòåëüíà è â òåõ òî÷êàõ èç Q, ãäå v 0 = v 00 , å¼ ìîæíî äîîïðåäåëèòü íóë¼ì. Åù¼ çàìåòèì, ÷òî a0 = esssup a(x, t) < ∞, ïî-ãäå ÷åðåç a(x, t) îáîçíà÷åíî ÷àñòíîåQñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ b0 (v) îãðàíè÷åííà.Âûáåðåì ïðîáíóþ ôóíêöèþ η â ðàâåíñòâå (64) êàê ðåøåíèåïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿηt + (a(x, t) + ε)∆x η = F,η|t=T = 0,η|ST = 0,(65)ãäå ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð, à F = F (x, t) ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ ôèíèòíàÿ â Q ôóíêöèÿ.
Òàêîé âûáîð ïðîáíîé ôóíêöèè êîððåêòåí ââèäó ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùåãî èçâåñòíîãî â òåîðèè ëèíåéíûõ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ôàêòà [3, ãë. 3, 6].Òåîðåìà 6.2.Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷àwt − α(x, t)∆x w = F(x, t),u|ST = 0,u|t=0 = Ψ(x),ïðè 0 ≤ α(x, t) ≤ µ < ∞, F ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)), Ψ ∈ H01 (Ω), èìååòîáîáù¼ííîå ðåøåíèå, îáëàäàþùåå ïðîèçâîäíûìè ux è ut , à òàêæåutt òàì, ãäå α(x, t) > 0. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ îöåíêàZ¡ 2¢ut + α(∆x u)2 dx dt + esssup kux k22,Ω ≤Q0≤t≤TZZ≤ c Fx2 dx dt + Ψ2x (x) dx , (66)Qãäå ïîñòîÿííàÿ c çàâèñèò òîëüêî îò T è µ.76Ω ñèëó äàííîãî óòâåðæäåíèÿ, ðåøåíèå ηε çàäà÷è (65) ñóùåñòâóåò è äîïóñêàåò îöåíêó âèäà (66):ZZ¡ ε 2¢ε 2(η )t + (a + ε)(∆x η ) dx dt ≤ c Fx2 dx dtQQñ êîíñòàíòîé c, çàâèñÿùåé òîëüêî îò T è a0 .
Ïîäñòàâëÿÿ η ε íàìåñòî η â ðàâåíñòâå (64), ïîëó÷àåìZ(B 0 − B 00 )(F − ε∆x η ε ) dx dt = 0.(67)QÎöåíèâàÿ ÷ëåí ñ ëàïëàñèàíîì ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà üëüäåðà èîöåíêè (66), íàõîäè쯯¯Z¯¯¯¯¯000ε¯ (B − B )ε∆x η dx dt¯ ≤ esssup |B 0 − B 00 |ׯ¯Q¯Q¯1/2ZZ√ε2ε 2dx dt (a + ε)(∆x η ) dx dt× ≤ C ε.a+εQQÇäåñü C íå çàâèñèò îò ε. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ε → 0 â ðàâåíñòâå(67), ïîëó÷àåìZ(B 0 − B 00 )F dx dt = 0.(68)Q ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè F , èç ðàâåíñòâà (68) âûòåêàåò, ÷òî B 0 = B 00ïî÷òè âñþäó â Q, à çíà÷èò, v 0 = v 00 ïî÷òè âñþäó â Q.
Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè äîêàçàíà.4. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿÏóñòü ψ ∈ H01 (Ω). Òîãäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî îáîáù¼ííîå ðåøåíèå v çàäà÷è (59).Òåîðåìà 6.3.77Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü bρ (v) àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèèb(v) ñëåäóþùåãî âèäà:bρ (v) = b(v) ïðè v ≤ −ρ è v ≥ ρ,b0ρ (v) > 0 ïðè − ρ < v < ρ,b0ρ (v) = b0 (v) ïðè v = −ρ è v = ρ.Òàêèì îáðàçîì, bρ ∈ C 1 (R) è bρ → b â C 1 (R \ {v = 0}) ïðè ρ → 0.Ïóñòü {ψρ (x)}ρ>0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôèíèòíûõ â Ω ôóíêöèé,àïïðîêñèìèðóþùèõ ψ :ψρ −→ψ ñèëüíî â H01 (Ω) ïðè ρ → 0.Ðàññìîòðèì ïðè ρ > 0 àïïðîêñèìèðóþùóþ çàäà÷ó∂bρ (v)− ∆x v = 0, v|ST = 0, v|t=0 = ψρ .(69)∂tÄàëåå íàì ïîòðåáóåòñÿ óòâåðæäåíèå èç òåîðèè ïàðàáîëè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [2, ãë.
5, òåîðåìà 6.1].Òåîðåìà 6.4.Çàäà÷à (69) èìååò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèåαvρ ∈ H 2+α,1+ 2 (Q̄),äîïóñêàþùåå îöåíêèmax |vρ | ≤ max |ψρ | ≤ C1 ;(70)kvρx k2,Q + ν1 kvρt k2,Q ≤ C2 ,(71)QΩãäå C1 , C2 íå çàâèñÿò îò ρ è vρ , ÷åðåç ν1 > 0 îáîçíà÷åíinfb0ρ (w) (çàìåòèì, ÷òî ν1 > 0 â ñèëó ñòðîãîãî âîçðàñw∈[−C2 ,C2 ]òàíèÿ Uρ (ϑ)). ñèëó íåðàâåíñòâà (71), ïðè ρ → 0 ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϑρk , k = 1, 2, . . ., òàêàÿ, ÷òîϑρk −→ ϑ ñëàáî â H 1 (0, T ; H01 (Ω))ïðèk → ∞,(72)çíà÷èò, ïî òåîðåìå Ðåëëèõàϑρk −→ ϑ ñèëüíî â L2 (QT )78ïðèk → ∞,(73)à îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ρk } âûïîëíÿåòñÿ ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèåϑρk −→ ϑ ï.
â. â QTïðèk → ∞.(74)Èç îöåíêè (70) ñëåäóåò, ÷òî ϑ îãðàíè÷åííà.Òàê êàê {ϑρk } ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà, à çíà÷èò, è {Uρk (ϑρk )} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííà, òî ìîæåì âçÿòü {ρk } òàê, ÷òîUρk (ϑρk (x, t)) → Ũ (x, t)∗ −ñëàáî â L∞ (QT )ïðèk → ∞.(75)ñïðàâåäëèâî èíòåãðàëüíîå òîæ-Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ϑρk è UρkäåñòâîZ{−Uρk (ϑρk )ηt + ϑρxki ηxi } dx dt = 0.QTÏåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè k → ∞, â ñèëó ñõîäèìîñòåé (72) è(75) ïîëó÷àåìZ(76){−Ũ (x, t)ηt + ϑxi ηxi } dx dt = 0.QTÄëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òîŨ (x, t) åñòü ôóíêöèÿ òèïà B(x, t, ϑ(x, t)).Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî Q+ = {(x, t) ∈ QT | ϑ(x, t) > ϑ1 }.ÈìååìZZUρk (ϑρk )ϕ dx dt = {Uρk (ϑρk ) − U (ϑρk )}ϕ dx dt +Q+Q+Z+U (ϑρk )ϕ dx dt .Q+Çäåñü ϕ ∈ C ∞ (Q+ ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Äàëåå, äëÿ ëþáîãîε > 0 íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , òàêîå, ÷òî ïðè k > N , ρk < ε,âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî Uρk (ϑρk ) = U (ϑρk ) ïðè ϑρk ≥ ϑk + ρk . Òàêèì îáðàçîì, Uρk (ϑρk ) − U (ϑρk ) → 0 ï. â. â Q+ ïðè k → ∞.  ñèëóϑρk → ϑ ï. â. â QT è òîãî, ÷òî U ∈ C 1 (ϑ1 , +∞), èìååìU (ϑρk ) → U (ϑ) ï. â. â QT .
Çíà÷èò, ïîñêîëüêó {U (ϑρk )} è79{Uρk (ϑρk ) − U (ϑρk )} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííû, ïî òåîðåìå ËåáåãàZ{Uρk (ϑρk ) − U (ϑρk )}ϕ dx dt −→0Q+Zk → ∞,ZρkU (ϑ )ϕ dx dt −→Q+ò. å.ïðèU (ϑ)ϕ dx dtïðèk → ∞,Q+ZZρkU (ϑ)ϕ dx dtUρk (ϑ )ϕ dx dt −→ïðèk → ∞.Q+Q+Ñîïîñòàâëÿÿ ýòî ñî ñõîäèìîñòüþ (75), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîŨ (x, t) = U (ϑ(x, t)) ïî÷òè âñþäó â Q+ . Àíàëîãè÷íîå âåðíî è äëÿQ− . Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ϑ(x∗ , t∗ )=ϑ1 , òîU1 ≤ Ũ (x∗ , t∗ ) ≤ U1 + b1 .Ðàññìîòðèì ôóíêöèèγµ− (x, t) = inf Uρ (ϑρ (x, t)),γµ+ (x, t) = sup Uρ (ϑρ (x, t)).ρ≥µρ≥µÏî îïðåäåëåíèþ ýòèõ ôóíêöèé èìååì, ÷òî γµ− ðàñòåò ñ ðîñòîì µ,à γµ+ óáûâàåò. Êðîìå òîãî,γµ+ (x, t) −→ γ + (x, t) = lim sup Uρ (ϑρ (x, t)),µ→0γµ− (x, t)ρ→0−−→ γ (x, t) = lim inf Uρ (ϑρ (x, t)).µ→0ρ→0Äëÿ ëþáîé ïðîáíîé ôóíêöèè ϕ ∈ D(QT ), ϕ ≥ 0 ñïðàâåäëèâîZZ−Uρ (ϑρ (x, t))ϕ(x, t) dx dt ≤γµ (x, t)ϕ(x, t) dx dt ≤QTQTZγµ+ (x, t)ϕ(x, t) dx dt,≤QTîòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè µ, ρ → 0, ïîëó÷àåìZZZ−γ ϕ dx dt ≤Ũ ϕ dx dt ≤γ + ϕ dx dt,QTQTQT80ò.
å. γ − ≤ Ũ ≤ γ + ï. â. â QT . Ïóñòü (x∗ , t∗ ) òàêèå, ÷òî ϑ(x∗ , t∗ ) =ϑ1 . Çíà÷èò, â ñèëó ñõîäèìîñòè (74), ñïðàâåäëèâî, ÷òîϑρk (x∗ , t∗ ) → ϑ1 . Ïîêàæåì, ÷òîlim inf Uρ (ϑρ (x∗ , t∗ )) ≥ U1 .ρ→0(77)Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{ρn }, ÷òî Uρn (ϑρn (x∗ , t∗ )) → U1 − c (c = const > 0) ïðè n → ∞.Ïðè áîëüøèõ n, â ñèëó ñõîäèìîñòè Uρn (ϑρn ) ê U (ϑ) ïî÷òè âñþäóíà Q− , ïîëó÷èì, ÷òî Uρn (ϑρn (x∗ , t∗ ))−→U (ϑ(x∗ , t∗ )) = U1 − c ïðèn → ∞, íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ϑ(x∗ , t∗ ) = ϑ1 , òàê êàê U (ϑ)ìîæåò áûòü ìåíüøå U1 òîëüêî ïðè ϑ < ϑ1 (ïî îïðåäåëåíèþ U (ϑ)).Çíà÷èò, íåðàâåíñòâî (77) ñïðàâåäëèâî.
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿíåðàâåíñòâîlim supUρ (ϑρ (x∗ , t∗ )) ≤ U1 + b1 .ρ→0Òåîðåìà äîêàçàíà.81Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê1. Ëàäûæåíñêàÿ Î. À. Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû äèíàìèêè âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ì.: Íàóêà, 1970. 288ñ.2. Ëàäûæåíñêàÿ Î. À. Êðàåâûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ì.: Íàóêà, 1973. 408ñ.3.
Ëàäûæåíñêàÿ Î. À. è äð. Ëèíåéíûå è êâàçèëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà / Î. À. Ëàäûæåíñêàÿ, Â. À. Ñîëîííèêîâ, Í. Í. Óðàëüöåâà.Ì.: Íàóêà, 1967. 736c.4. Àíòîíöåâ Ñ. Í. è äð. Êðàåâûå çàäà÷è ìåõàíèêè íåîäíîðîäíûõ æèäêîñòåé / Ñ. Í. Àíòîíöåâ, À. Â. Êàæèõîâ, Â. Í. Ìîíàõîâ. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà. Ñèá. îòä-íèå, 1983. 319 ñ.5. Ëîéöÿíñêèé Ë. Ã.
Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà. Ì.: ÃÈÒÒË, 1957. 678c.6. Ìåéðìàíîâ À. Ì. Çàäà÷à Ñòåôàíà. Íîâîñèáèðñê: Íàóêà. Ñèá. îòä-íèå,1986. 240c.7. Ïåòðîâñêèé È. Ã. Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé. Ì.: ÌÃÓ, 1984. 295ñ.8. Êóíè Ð. Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà. Ì.: Íàóêà,1981. 352ñ.9.
×åð÷èíüÿíè Ê. Òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Áîëüöìàíà. Ì.: Ìèð,1978. 496ñ.10. Kato T. On classical solutions of the two-dimensional nonstationary Eulerequations // Arch. Rational Mech. and Analisys. 1967. vol. 25 (3). P. 188200.82Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëüC(0, T ; X), 45C 0+α , 56C l+α , 56Lp , 21Lip, 56W l,p , 22W0l,p , 23div, 14∀˙ , 48esssup, 21∇, 14Ëåðý, 2-å, 28Ïóàíêàðå, 1-å, 24Ïóàíêàðå, 2-å, 26ÏóàíêàðåÔðèäðèõñà, 24Þíãà, 30îïåðàòîðâïîëíå íåïðåðûâíûé, 19ñäâèãà âäîëü òðàåêòîðèè, 61ïåðåìåííûåÃåëüìãîëüöà, 58ïîâåðõíîñòüñâîáîäíàÿ, 18ïðåîáðàçîâàíèåÊèðõãîôà, 72ïðîèçâîäíàÿ îáîáùåííàÿ, 22ïðîñòðàíñòâîD, 22Ëåáåãà Lp , 21Ñîáîëåâà W l,p , 22âèõðü, 57âëîæåíèå êîìïàêòíîå, 19äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, 59äèâåðãåíöèÿ, 14çàäà÷àÑòåôàíà, 69Ñòîêñàíåñòàöèîíàðíàÿ, 49ñèñòåìàÃàëåðêèíà, 49ñõîäèìîñòüñèëüíàÿ, 19ñëàáàÿ, 19ëåììàÃðîíóîëëà, 44ìåòîä Ôàýäî-Ãàëåðêèíà, 49ìîäåëüÑòîêñà, 17òåîðåìàÃèëüáåðòàØìèäòà, 20Êàòî, 65ËåðýØàóäåðà, 41î âîññòàíîâëåíèè äàâëåíèÿ, 40íåðàâåíñòâîüëüäåðà, 24Ëåðý, 42Ëåðý, 1-å, 2783Ðåëëèõà, 32Ðèññà, 19ÒèõîíîâàØàóäåðà, 64óðàâíåíèÿÍàâüåÑòîêñà, 5, 17Ýéëåðà, 6, 17, 56, 64óñëîâèåÑòåôàíà, 71óñðåäíåíèå ôóíêöèé, 33ôîðìóëàäèôôåðåíöèðîâàíèÿèíòåãðàëîâ ïî æèäêîìóîáúåìó, 15Ãðèíà, 23Ëåéáíèöà, 25ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèåîïåðàòîðà Ëàïëàñà, 58ôóíêöèîíàë ëèíåéíûé, 19ôóíêöèÿÃðèíà äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà,59ïîòåíèöèàëüíàÿ, 33ñîëåíîèäàëüíàÿ, 33òîêà, 5884.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
