1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543)
Текст из файла
È. Â. Áàñîâ,Î. Á. Áî÷àðîâ,Ñ. À. ÑàæåíêîâÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈÌÅÕÀÍÈÊÈÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄ1ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÈ. Â. Áàñîâ, Î. Á. Áî÷àðîâ, Ñ. À. ÑàæåíêîâÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈÌÅÕÀÍÈÊÈÑÏËÎØÍÛÕ ÑÐÅÄÓ÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê20052ÁÁÊ Â161.68ÿ73-1 + Â25â631.0ÿ73-1ÓÄÊ 517.95 + 532.516.5 + 532.511 + 536.421Áàñîâ È. Â., Áî÷àðîâ Î.
Á., Ñàæåíêîâ Ñ. À. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä: Ó÷åá. ïîñîáèå/ Íîâîñèá.ãîñ. óí-ò. Íîâîñèáèðñê, 2005. 84 ñ. ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëàãàþòñÿ ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ êîððåêòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà ïðèìåðàõ íà÷àëüíî-êðàåâûõçàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, èäåàëüíîéíåñæèìàåìîé æèäêîñòè, à òàêæå çàäà÷è Ñòåôàíà î ôàçîâûõ ïåðåõîäàõ. îñíîâó íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû ëåêöèè, êîòîðûå ÷èòàþòñÿ â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå äëÿ ñòóäåíòîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Ñîäåðæàíèå ëåêöèé âïîñîáèè íåñêîëüêî ðàñøèðåíî.Ðåêîìåíäîâàíî ê ïå÷àòè êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé°óíèâåðñèòåò, 2005c È.
Â. Áàñîâ, Î. Á. Áî÷àðîâ,°Ñ. À. Ñàæåíêîâ, 2005ÎãëàâëåíèåÏðåäèñëîâèå5Ãëàâà 1. Ýëåìåíòû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä1. Ïðåäìåò è ìåòîäû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä2. Îñíîâíûå àêñèîìû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä3. Ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñïëîøíîé ñðåäû4. Èíòåãðàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ5. Ñèëîâîå âîçäåéñòâèå íà ñïëîøíóþ ñðåäó6.
Îñíîâíûå ìîäåëè ãèäðîäèíàìèêè â äèôôåðåíöèàëüíîéôîðìå7. Îñíîâíûå êðàåâûå óñëîâèÿÃëàâà 2. Îñíîâíîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò1. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà2. Ïðîñòðàíñòâà Lp , W l,p , H l3. Òåîðåìû âëîæåíèÿ, ñâîéñòâà êîìïàêòíîñòè è ñìåæíûåâîïðîñû4. Óñðåäíåíèå ôóíêöèé5. Ïðîñòðàíñòâà ñîëåíîèäàëüíûõ è ïîòåíöèàëüíûõôóíêöèéÃëàâà 3.Êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêè âÿçêîé íåñæèìàåìîéæèäêîñòè1. Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à ñ ïîñòîÿííûìäàâëåíèåì2.
Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à3. Íåëèíåéíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷àÃëàâà 4.Íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêè âÿçêîéæèäêîñòè1. Íåðàâåíñòâà òèïà Ãðîíóîëëà37789101114181919212432333636384044442. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà ñ âûäåëåííîéïåðåìåííîé t3. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è4. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé5. Î ðåãóëÿðíîñòè ðåøåíèé è âîññòàíîâëåíèè äàâëåíèÿÃëàâà 5. Íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêè èäåàëüíîéæèäêîñòè1. Ïðîñòðàíñòâà üëüäåðà2. Õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé Ýéëåðà3. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà â ïåðåìåííûõ Ãåëüìîãëüöà4. Ôóíêöèÿ Ãðèíà âíóòðåííåé êðàåâîé çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îãðàíè÷åííîé îáëàñòè5. Ïî÷òè ëèïøèöåâîñòü ïîëÿ ñêîðîñòè6.
Îïåðàòîð ñäâèãà âäîëü òðàåêòîðèè è åãî ñâîéñòâà7. Äâóìåðíàÿ çàäà÷à íåïðîòåêàíèÿ. Òåîðåìà Êàòî454849545656575758606164Ãëàâà 6. Çàäà÷à Ñòåôàíà1. Êëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è Ñòåôàíà2. Îáîáù¼ííàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è Ñòåôàíà3. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ4. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ6970727577Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê82Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü83ÏðåäèñëîâèåÎäíèì èç èíòåðåñíûõ è áóðíî ðàçâèâàþùèõñÿ ðàçäåëîâ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå êîððåêòíîñòè çàäà÷ äëÿñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.Ìíîãèå èç ýòèõ çàäà÷ âîçíèêëè íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû.  íàñòîÿùåì êóðñå ìû ðàññìîòðèì êîððåêòíîñòü íåêîòîðûõ èç íèõ.Ïîä êîððåêòíîñòüþ çàäà÷è ìû ïîäðàçóìåâàåì ñóùåñòâîâàíèåðåøåíèé ýòîé çàäà÷è äëÿ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà âíåøíèõ ïàðàìåòðîâ, à òàêæå åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü ýòèõ ðåøåíèé.Äàííûé êóðñ çíàêîìèò ñëóøàòåëåé ñ ìåòîäàìè èçó÷åíèÿ êîððåêòíîñòè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íà ïðèìåðàõ çàäà÷äëÿ óðàâíåíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, à òàêæå çàäà÷ î ôàçîâûõïåðåõîäàõ â ñïëîøíîé ñðåäå.Ïåðâàÿ ÷àñòü êóðñà (ãë.
3 è 4) ïîñâÿùåíà ðàçðåøèìîñòè êðàåâûõ è íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Èññëåäóþòñÿ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå èç ñèñòåìûóðàâíåíèé ÍàâüåÑòîêñàvt + v(∇ · v) = −∇p + ν∆v + f ,div v = 0ëèíåàðèçàöèåé èëè ðàññìîòðåíèåì òîëüêî ñòàöèîíàðíûõ ïî âðåìåíè òå÷åíèé. Çäåñü è äàëåå âåêòîð ñêîðîñòè v è äàâëåíèå p íåèçâåñòíû, à âíåøíÿÿ ìàññîâàÿ ñèëà f è êîíñòàíòà âÿçêîñòè ν > 0çàäàíû.  ãë. 3 èññëåäóþòñÿ ñòàöèîíàðíûå çàäà÷è äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé, ò. å. ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èñêîìûå ôóíêöèè íå çàâèñÿò îòâðåìåíè. Ñíà÷àëà èçó÷àåòñÿ çàäà÷à áåç ó÷åòà êîíâåêòèâíûõ ÷ëåíîâ è ñ ïîñòîÿííûì äàâëåíèåì (∇p = 0), êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåòóðàâíåíèåν∆v + f = 0.Çàòåì ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèé Ñòîêñà áåç ó÷åòà êîíâåêòèâíûõ ÷ëåíîâ−∇p + ν∆v + f = 0,div v = 0.È íàêîíåö, çàòåì èçó÷àåòñÿ ðàçðåøèìîñòü ñòàöèîíàðíûõ óðàâíåíèé ÍàâüåÑòîêñàv(∇ · v) = −∇p + ν∆v + f ,5div v = 0. ãë.
4 èçó÷àåòñÿ ëèíåàðèçîâàííàÿ íåñòàöèîíàðíàÿ ñèñòåìàóðàâíåíèé ÍàâüåÑòîêñà, íàçûâàåìàÿ óðàâíåíèÿìè Ñòîêñàvt = −∇p + ν∆v + f ,div v = 0. ãë. 5 èçó÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè (ν = 0),íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿìè Ýéëåðàvt + v(∇ · v) = −∇p + f ,div v = 0.Ãë. 6 ïîñâÿùåíà çàäà÷å Ñòåôàíà î ôàçîâûõ ïåðåõîäàõ â ñïëîøíîé ñðåäå.Áóêâû, âûäåëåííûå â ôîðìóëàõ æèðíûì øðèôòîì, îáîçíà÷àþò âåêòîðû. Ññûëêà k, l îçíà÷àåò, ÷òî òåîðåìà èëè ëåììà l íàõîäèòñÿ â ãëàâå k .6Ãëàâà 1Ýëåìåíòû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä äàííîé ãëàâå ñôîðìóëèðîâàíû àêñèîìû ìåõàíèêè ñïëîøíîéñðåäû, èç êîòîðûõ âûâåäåíû óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è ÍàâüåÑòîêñà.1. Ïðåäìåò è ìåòîäû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåäÌåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä èçó÷àåò äâèæåíèå ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ ñ ó÷åòîì èõ ñïîñîáíîñòè äåôîðìèðîâàòüñÿ.Äåôîðìèðóåìîñòü ýòî ñâîéñòâî òåëà (ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òåë) äîïóñêàòü ïåðåìåùåíèå âíóòðåííèõ ÷àñòåé îòíîñèòåëüíîäðóã äðóãà.Ñîãëàñíî îáùèì ôèçè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, âñÿêèé îãðàíè÷åííûé îáúåì âåùåñòâà ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà äâèæóùèõñÿ÷àñòèö (àòîìîâ, ìîëåêóë).
 ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ èìïóëüñ,ýíåðãèÿ, à èíîãäà è ìàññà êàæäîé ÷àñòèöû èçìåíÿþòñÿ. Äâèæåíèå îáúåìà ñðåäû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñîâîêóïíîñòü äâèæåíèé÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ýòîò îáúåì. Íî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ýòî ïðåäñòàâëåíèå áåñïîëåçíî, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, ìîëåêóë î÷åíü ìíîãî, âî-âòîðûõ, õàîòè÷íîñòü äâèæåíèÿ íå ïîçâîëÿåòòî÷íî óêàçàòü íà÷àëüíûå äàííûå. Ïîýòîìó â ìåõàíèêå ñïëîøíûõñðåä èñïîëüçóåòñÿ îñðåäíåííîå îïèñàíèå äâèæåíèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ.Ðàçâèâàþòñÿ äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ïîñòðîåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä ãàçîêèíåòè÷åñêèé(ñòàòèñòè÷åñêèé, âåðîÿòíîñòíûé) è ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé.
Âïåðâîì ñëó÷àå ìîäåëü îñíîâûâàåòñÿ íà ñòàòèñòè÷åñêîì îïèñàíèèïîâåäåíèÿ ñîâîêóïíîñòè ìîëåêóë. Îñíîâíóþ ðîëü çäåñü èãðàåòóðàâíåíèå Áîëüöìàíà äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïîèõ ïîëîæåíèþ â ïðîñòðàíñòâå è ñêîðîñòÿì [9]. Äàííûé ïîäõîäóñïåøíî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñèëüíî ðàçðåæåííûõ ãàçîâ, ñëàáîêîíöåíòðèðîâàííûõ äèñïåðñèé è ò.ä.
[8].7Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä îñíîâàí íà ïðåäïîëîæåíèè,÷òî ñóùåñòâóþò ñðåäíèå õàðàêòåðèñòèêè ñðåäû, íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûå ïî îáúåìó, à çàêîíû èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí óñòàíàâëèâàþòñÿ íà îñíîâå äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé ñîãëàñóþùèìèñÿ ñ îáùèìè ôèçè÷åñêèìè çàêîíàìè.  îñíîâå íàøåãî êóðñà áóäåò ëåæàòü èìåííî ýòîò ïîäõîä.2. Îñíîâíûå àêñèîìû ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä1. Àêñèîìà ñïëîøíîñòè. Ðåàëüíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñðåäà îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ èäåàëüíûì îáúåêòîì, ëèøåííûì àòîìàðíî-ìîëåêóëÿðíîé ñòðóêòóðû è çàïîëíÿþùèì ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûìîáðàçîì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñïëîøíàÿ ñðåäàçàíèìàåò íåêîòîðóþ îáëàñòü Ω â ïðîñòðàíñòâå è îòîæäåñòâëÿåòñÿñ íåé.2. Àêñèîìà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Ìåñòî ñîáûòèÿ èâðåìÿ ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû. Ïðîñòðàíñòâî ¾ìåñò¿ òðåõìåðíîååâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî R3 . Ëþáàÿ òî÷êà Î ìîæåò áûòü âçÿòà çàíà÷àëî îòñ÷åòà, à ïîëîæåíèå ëþáîé òî÷êè À õàðàêòåðèçóåòñÿ åå~ðàäèóñ-âåêòîðîì OA.3.
Àêñèîìà î ñðåäíèõ. Ëþáîé äîñòàòî÷íî ìàëûé (íî âñååùå ñîäåðæàùèé áîëüøîå ÷èñëî ìîëåêóë) ôèçè÷åñêèé îáúåì ñðåäû δ V îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ¾ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé¿. Ïðè ñòÿãèâàíèè äîñòàòî÷íî ìàëîãî îáúåìà ñðåäû δ V â òî÷êó ñðåäíèå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî îáúåìà (ìàññà, êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, ýíåðãèÿ)èìåþò êîíå÷íûé ïðåäåë è ïîðîæäàþò ñïëîøíîå ðàñïðåäåëåíèåýòèõ âåëè÷èí â ïðîñòðàíñòâå.Îáëàñòü w(t) ⊂ R3 , ñîñòîÿùàÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t èçîäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö, íàçûâàåòñÿ äâèæóùèìñÿ îáúåìîì (æèäêèì, ìàòåðèàëüíûì îáúåìîì).Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòî êîíå÷íûé îáúåì, ñîäåðæàùèé â ïðîöåññåäâèæåíèÿ îäíó è òó æå ïîðöèþ ñóáñòàíöèè.4. Ïðèíöèï îòâåðäåâàíèÿ.
Èçìåíåíèå ìàññû, êîëè÷åñòâàäâèæåíèÿ, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ýíåðãèè ëþáîãî äâèæóùåãîñÿ îáúåìà ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âíåøíèìè îáúåêòàìè òàê æå, êàê è äëÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà, çàíèìàþùåãî ýòîò îáúåì w(t) è èìåþùåãî òå æå ñàìûå ôèçèêîìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè.85. Àêñèîìà äâèæåíèÿ. Êàê ñëåäóåò èç ïåðâîé àêñèîìû,ñïëîøíàÿ ñðåäà ýòî êîíòèíóóì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà.Çàäàòü äâèæåíèå ñïëîøíîé ñðåäû çíà÷èò çàäàòü äâèæåíèåâñåõ åå òî÷åê. Ýòî ðåàëèçóåòñÿ çàäàíèåì ñåìåéñòâà âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ Ω0 â òåêóùåå ñîñòîÿíèå ñïëîøíîé ñðåäû Ωt (γ t : Ω0 → Ωt , t ≥ 0), ÿâëÿþùååñÿ ãîìåîìîðôèçìîì îáëàñòè Ω0 íà Ωt . Äëÿ ëþáîé òî÷êè ξ ⊆ Ω0 ýòî îòîáðàæåíèå êóñî÷íî-íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî ïî âðåìåíè t.Òàêèì îáðàçîì òåêóùàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè x(t) îïðåäåëÿåòñÿ ïîåå íà÷àëüíîìó ïîëîæåíèþ ξ: x(t) = γ t (ξ) ≡ γ(ξ, t). Òåì ñàìûìñîçäàåòñÿ âîçìîæíîñòü èíäèâèäóàëèçèðîâàòü âñå òî÷êè ñïëîøíîé ñðåäû.
Âåêòîð ξ èãðàåò ðîëü ¾íîìåðà¿ ÷àñòèöû è â äàëüíåéøåì ñ íåé îòîæäåñòâëÿåòñÿ. Ïðîèçâîäíàÿ ∂γ(ξ, t)/∂t âåêòîðàïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû ξ íàçûâàåòñÿ ñêîðîñòüþ ÷àñòèöû ξ â ìîìåíò t è îáîçíà÷àåòñÿ v(ξ, t).3. Ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñïëîøíîé ñðåäû ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè î ìàññå ðåàëüíîé ñðåäûìàññà îáúåìà V ñïëîøíîé ñðåäû åñòü íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëîM (V ) è êàê ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ìåðîé, à ñëåäîâàòåëüíî,îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè (ìàññà êîíå÷íîãî èëèñ÷åòíîãî ÷èñëà îòäåëüíûõ èçìåðèìûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ åñòü ñóììà ìàññ ïîäìíîæåñòâ). Åñëè ïîòðåáîâàòü íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèÿ M (V ) (M (V ) → 0 ïðè meas(V ) → 0), ÷òîôèçè÷åñêè âïîëíå åñòåñòâåííî ïîñëå ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû ñïëîøíîñòè è àêñèîìû î ñðåäíèõ, òî, êàê ïîêàçûâàåòñÿ â òåîðèè ìåðû,áóäåò ñóùåñòâîâàòü ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû âïðîñòðàíñòâå ρ(x) ≥ 0.
 ýòîì ñëó÷àå ìàññà ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå dM = ρ dx. À äëÿ êîíå÷íîãî îáúåìàèìååìZM (ω) =ρ(x) dx,V9∀V ⊂ Ω.Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ. Ei (V ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé, ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ôóíêöèåé ìíîæåñòâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìàññû.  ïðåäïîëîæåíèè íåïðåðûâíîñòè ïî ìàññå ýòà ôóíêöèÿ äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèåZZEi (V ) = e(x)dM = e(x)ρ(x) dx .MVÇäåñü x õàðàêòåðèçóåò ìàòåðèàëüíóþ ÷àñòèöó, e íàçûâàåòñÿ óäåëüíîé âíóòðåííåé ýíåðãèåé (âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ýëåìåíòàðíîé ìàññû).Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñåâîçìîæíûå âèäû ýíåðãèé âíóòðåííèõ äâèæåíèé ìàòåðèè ñïëîøíîé ñðåäû (â ïåðâóþî÷åðåäü, ýòî òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êèíåòè÷åñêîéýíåðãèè äâèæåíèÿ ìîëåêóë).Êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ îáüåìà:ZK(V ) = ρv dx .VÌîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ:ZLv (V ) = ρ(x ⊗ v) dx .VÊèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ:Ek (V ) =12Zρ|v|2 dx .VÏîëíàÿ ýíåðãèÿ E = Ek + Ei îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà âíóòðåííåéè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
