1631124462-2cc99b404c3b03e30976ab15e3d4a931 (848543), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Îòñþäà ∆p = div v.ZZ0 = (u, ∇ϕ) = div(uϕ) dx + ϕu · n dΓ .ΩΩ¯¯¯∂p ¯¯¯¯Îòñþäà u · n Γ = 0 è v · n Γ =. Ò. å. âîïðîñ î ðàçëîæåíèè∂n ¯Γôóíêöèè v ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î ðåøåíèè çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ p.2= v − ∇p èùåì ðåøåíèå p ∈ W̃ 1,2 (Ω)R 2) v ∈ L (Ω), u 1,2( p dx = 0). ∀ϕ ∈ W̃ (Ω) (v, ∇ϕ) = (∇p, ∇ϕ) = [p, ϕ]W 1,2 (Ω) .Ωlv (ϕ)=(v, ∇ϕ) îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë34íà W̃ 1,2 (Ω). Ïî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåF ∈ W̃ 1,2 (Ω): [F, ϕ] = lv (ϕ) = (v, ∇ϕ) = [p, ϕ], ò. å. F = p.35Ãëàâà 3Êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêè âÿçêîéíåñæèìàåìîé æèäêîñòè íàñòîÿùåé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûå êðàåâûåçàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé ÍàâüåÑòîêñà.
Áîëüøóþ ÷àñòü ìàòåðèàëàäàííîé ãëàâû ìîæíî òàêæå íàéòè â [1].1. Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à ñ ïîñòîÿííûìäàâëåíèåìÐàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà:¯∆u = f ,u¯∂Ω = 0.(9)Åå ìîæíî ñ÷èòàòü ñòàöèîíàðíîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèé Ñòîêñà ñïîñòîÿííûì äàâëåíèåì. Èññëåäóåòñÿ ðàçðåøèìîñòü ýòîé çàäà÷è âñìûñëå ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ.Ôóíêöèÿ u ∈ H01 (Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è(9), åñëè ∀ϕ ∈ H01 (Ω) âûïîëíåíî òîæäåñòâîZZ∇u · ∇ϕ dx + ϕ · f dx = 0.(10)ΩΩRn îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ëèïøèöåâîéËåììà 3.1. Ïóñòü Ω ⊂ãðàíèöåé, f ∈ L2 (Ω), à Ω0 ïðîèçâîëüíàÿ ñòðîãî âíóòðåííÿÿïîäîáëàñòü Ω.
Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îáîáùåííîå ðåøåíèåu ∈ H01 (Ω)∩W22 (Ω0 ) çàäà÷è (9). Ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâókukH 1 ≤ C(Ω)kf k2 .(11)Êðîìå òîãî, ðåøåíèÿ çàäà÷¯∆u = λu,u¯ = 0(12)îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â36∂Ω2L (Ω)è H01 (Ω).Äîêàçàòåëüñòâî. Äàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å, ðàññìîòðåííîé â òåîðåìàõ 2.2 è 2.4. Ïðè ýòîì X = H01 (Ω) è Y = L2 (Ω).Êîìïàêòíîå H01 (Ω) ,→,→ L2 (Ω) èìååò ìåñòî ïî òåîðåìå Ðåëëèõà.Òàêèì îáðàçîì óñòàíàâëèâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèé, îöåíêà â H01 (Ω), à òàêæå ñóùåñòâîâàíèå áàçèñîâ âL2 (Ω) è H01 (Ω). Îñòàåòñÿ äîêàçàòü îöåíêó â H 2 (Ω).f (x + hei ) − f (x)ìîæíî âûâåñòèÄëÿ îïåðàòîðà δhi : f (x) →hñëåäóþùèå ñâîéñòâà:i g).1) ∀f , g ∈ L2 (Ω) (δhi f , g) = −(f , δ−h2) Åñëè f ∈ L20 (Ω) (ò.
å. supp f ëåæèò ñòðîãî âíóòðè Ω) è ñóùåñòâóåò îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ fxi , òîkδhi f k2,Ω ≤ Ckfxi k2,Ω ,∀h < dist(∂Ω, supp f ),kδhi f − fxi k2,Ω → 0 ïðè h → 0.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îöåíêè â H 2 (Ω) äîñòàòî÷íî áóäåò óñòàíîâèòü íåðàâåíñòâîkukH 2 (Ω0 ) ≤ C(kf kL2 (Ω00 ) + kukH 1 (Ω00 ) ).ñ Ω0 ⊂ Ω00 ⊂ Ω (îáà âëîæåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ñòðîãèìè).Òîãäà ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî îöåíèòü ñ èñïîëüçîâàíèåì óæå èìåþùèõñÿ îöåíîê.Äåéñòâèòåëüíî, δ = dist(∂Ω00 , Ω0 ) > 0,Ω00δ = {x ∈ Ω00 : ρ(x, ∂Ω00 ) > δ} ⊃ Ω0 .Ðàññìîòðèì ξ ∈ D(Rn ), 0 ≤ ξ ≤ 1 òàêóþ, ÷òî(1, x ∈ Ω00δ ,ξ(x) =0, x ∈/ Ω002 δ .3Ïîäñòàâèì â êà÷åñòâå òåñòîâîé ôóíêöèè â (10) ôóíêöèþv = v0 ξ ∈ H01 (Ω00 ), ãäå v0 ∈ H 1 (Ω00 ) ïðîèçâîëüíàÿZZ∇(ξu) · ∇v0 dx = ((−f ξ − ∇u∇ξ) · v0 + u∇ξ∇v0 ) dx .Ω00Ω0037i v èìååì v ∈ H 1 (Ω00 )∩L2 (Ω00 )Ïðè |h| < δ , v1 ∈ H 1 (Ω00 ), v0 = δ−h10δ/2è äàííîå ðàâåíñòâî ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäåZZii∇(δh (ξu)) · ∇v1 dx = ((f ξ + ∇u∇ξ)δ−hv1 + δhi (u∇ξ) · ∇v1 ) dx,Ω00Ω00îöåíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü êîòîðîãî, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâ¯Z¯¯¯¯ ∇(δ i (ξu)) · ∇v1 dx¯ ≤h¯¯¯ 00¯Ω≤ kf ξ + ∇u∇ξk2,Ω00 k∇v1 k2,Ω00 + k∇(u∇ξ)k2,Ω00 k∇v1 k2,Ω00 .Âûáèðàÿ çäåñü v1 = δhi u, íàõîäèìk∇δhi (uξ)k2,Ω00 ≤ C(kf k2,Ω00 + kukH 1 (Ω00 ) )è C = C(Ω00 ).
Óñòðåìëÿÿ â ïîñëåäíåé îöåíêå h → 0, âûâîäèìòðåáóåìîå íåðàâåíñòâîk∇uxi k2,Ω0 ≤ k∇(uξ)xi k2,Ω00 ≤ C(kf k2,Ω00 + kukH 1 (Ω00 ) ).Ëåììà äîêàçàíà.2. Ëèíåàðèçîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷àÐàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ñëåäóþùåé ïîñòàíîâêå. Ïóñòü â îáëàñòè Ω ñ êóñî÷íî-ëèïøèöåâîé ãðàíèöåé âûïîëíåíû óðàâíåíèÿ¯ν∆v − ∇p = f ,div v = 0,v¯ = 0.(13)∂ΩÔóíêöèÿ v ∈ H(Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è(13), åñëè ∀Φ ∈ H(Ω):ν[v, Φ] = −(f , Φ).Çàìå÷àíèå.ëåíèÿ p.Ëåììà 3.2.(14) îïðåäåëåíèè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ íåò äàâ-Èìåþò ìåñòî óòâåðæäåíèÿ:1) Äëÿ ëþáîé f ∈ L2 (Ω) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå îáîáùåííîå ðåøåíèå v ∈ H(Ω) ∩ W 2,2 (Ω0 ) çàäà÷è (13), óäîâëåòâîðÿþùååîöåíêåkvkH ≤ ckf k2 .(15)382) Ðåøåíèÿ çàäà÷ν∆v − ∇p = λv,div v = 0,¯v¯∂Ω = 0.îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â J 0 (Ω) è H(Ω).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü è îöåíêàâ H(Ω) è ñóùåñòâîâàíèå áàçèñîâ ñëåäóþò èç òåîðåì 2.2 è 2.4. Êîìïàêòíîå âëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâ ïîëó÷àåì ïî òåîðåìå Ðåëëèõà.Äîêàæåì îöåíêó â W 2,2¯(Ω0 ). Ïóñòü Ω00 ⊂ Ω ⊂ Ω (ñòðîãî). Âîçüìåì ξ ∈ D(Ω0 ): 0 ≤ ξ ≤ 1, ξ ¯Ω00 = 1 è âûáåðåì ρ < dist(supp ξ, ∂Ω00 ).Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (14) äëÿ ôóíêöèè Φ = rot(ξ 2 rot vρ )ρZ−Zf · Φ · dx = νΩ0Zvxρ · (rot(ξ 2 rot vρ ))x dx =vx · Φx dx = νΩ0ZΩ0∆vρ · rot(ξ 2 rot vρ ) dx .
(16)= −νΩ0Ðàñïèøåì ñîîòíîøåíèå äëÿ rot(ξ 2 rot vρ )rot(ξ 2 rot vρ ) = ξ 2 rot rot vρ + ∇ξ 2 × rot vρ == −ξ 2 ∆vρ + ξ 2 ∇ div vρ + ∇ξ 2 × rot vρ ,âòîðîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî ðàâíî 0 â ñèëó ñîëåíîèäàëüíîñòè vρ . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â (16), ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâàÞíãà íàõîäèìZZ2ν2(−fρ · rot(ξ 2 rot vρ ) + ν∆vρ · (∇ξ 2 × vρ ) dx =ξ (∆vρ ) dx =ΩZΩ(fρ · ξ 2 ∆vρ − fρ · ∇ξ 2 × rot vρ + ν∆vρ · (∇ξ 2 × rot vρ )) dx ≤=ΩZC(ξ∆vρ ) dx +εZ2≤εΩ2(fρ2 + vρx) dx .Ω39Ôèêñèðóÿ çäåñü ε < ν , ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ â ñèëó ëåììû 2.7îöåíêóZZ(2)222kvk2 = ξ (∆vρ ) dx ≤ C (fρ2 + vρx) dx ≤ const .ΩΩÎñòà¼òñÿ ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ρ → 0.
Ëåììà äîêàçàíà.Âîçìîæíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ äàâëåíèÿ ïîêàæåì ñðàçó äëÿ íåëèíåéíîé çàäà÷è.3. Íåëèíåéíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷àÐàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à â ñëåäóþùåé ïîñòàíîâêå. ÏóñòüΩ ⊂ R2 èëè R3 îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ëèïøèöåâîé ãðàíèöåé. Íàéòè âýòîé îáëàñòè ôóíêöèè v è p êàê ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷èν∆v − (v · ∇)v − ∇p + f = 0,div v = 0,¯v¯∂Ω = 0.(17)Ôóíêöèÿ v ∈ H(Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è(17), åñëè ∀Φ ∈ H(Ω) èìååì ðàâåíñòâîν[v, Φ] − (vk v, Φxk ) − (f , Φ) = 0.(18)Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèè îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ îòñóòñòâóåòäàâëåíèå p.Îòíîñèòåëüíî äàííîé çàäà÷è äîêàæåì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: òåîðåìó î âîññòàíîâëåíèè äàâëåíèÿ ïðè äîïîëíèòåëüíûõïðåäïîëîæåíèÿõ íà ãëàäêîñòü îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ; òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ; òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ ïðè óñëîâèè ìàëîñòè ìàññîâûõ ñèë â íåêîòîðîé íîðìå è, ñîîòâåòñòâåííî,ìàëîñòè âåêòîðà ñêîðîñòè â íåêîòîðîé íîðìå.Äîêàæåì òåîðåìó î âîññòàíîâëåíèè äàâëåíèÿ.Òåîðåìà 3.1.
Ïóñòü v îáîáù¼ííîå ðåøåíèå (17) òàêîå, ÷òîv ∈ W 2,2 (Ω0 ), f ∈ L2 (Ω), ãäå Ω0 ⊂ Ω ñòðîãî âíóòðåííÿÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû) ôóíêöèÿ p: ∇p ∈ L2 (Ω0 ) è ïåðâîå óðàâíåíèå â (17) âûïîëíåíîïî÷òè âñþäó â Ω.40Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé Φ ∈ J 0 (Ω0 ) èç íåðàâåí-ñòâà (18) èìååì ðàâåíñòâîZ(ν∆v − (v · ∇)v − f ) · Φ dx = 0.ΩÎáîçíà÷èì âûðàæåíèå ν∆v−(v·∇)v−f ÷åðåç g.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òîg ∈ L2 (Ω0 ). À òàê êàê g îðòîãîíàëüíî âñåì ôóíêöèÿì èç J 0 (Ω0 ),òî g ∈ G(Ω0 ) îòñþäà g = ∇p äëÿ íåêîòîðîé p èç W 1,2 (Ω0 ). Òåîðåìàäîêàçàíà.Äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ îáîáù¼ííîãî ðåøåíèÿ áóäåò ïðîèçâåäåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû ËåðýØàóäåðà. Íàïîìíèì å¼ôîðìóëèðîâêó.Òåîðåìà 3.2 (ËåðýØàóäåðà). Ïóñòü A âïîëíå íåïðåðûâíûé îïåðàòîð â ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H .Åñëè âñå âîçìîæíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé u = λAu ïðè λ ∈ [0, 1] íåâûõîäÿò çà ïðåäåëû øàðà Kρ = {|u| ≤ ρ}, òî óðàâíåíèå u = Auèìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ðåøåíèå â Kρ .Òåîðåìà 3.3 (ñóùåñòâîâàíèÿ).ZΦ→Ïóñòü Ω îãðàíè÷åíà, àf · Φ dxΩîáðàçóåò íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë äëÿ Φ ∈ H(Ω). Òîãäà ñóùåñòâóåò îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (17).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò F ∈ H(Ω):[F, Φ] = (f , Φ).Äëÿ v ∈ H(Ω) ïåðâîå ñëàãàåìîå â (18) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåν[v, Φ].
Äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî â (18) èìååì íåðàâåíñòâ௯¯Z¯ Z¯¯¯ vk vΦx dx¯ ≤ |v|2 |∇Φ| dx ≤ kvk1/2 k∇Φk2 ≤ C1 kvk1/22 kΦkH .k4¯¯H¯¯ΩΩÒàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå â (18) îáðàçóåòëèíåéíûé ôóíêöèîíàë Φ → [Av, Φ] íàä H(Ω). Ñëåäîâàòåëüíî,èñõîäíàÿ çàäà÷à ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå1[νv − Av − F, Φ] = 0èëèv = (Av + F) = AF v.ν41Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,÷òî äàííûé îïåðàòîð èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òåîðåìó ËåðýØàóäåðà.1. Ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð A (è ñîîòâåòñòâåííî AF ) êîìïàêòåí.Ïóñòü vm * v â H(Ω). Òîãä௯¯¯Z¯¯mnmmnn|[Av − Av , Φ]| = ¯¯ (vk v − vk v ) · Φxk dx¯¯ ≤¯¯Ω¯¯¯ ¯¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯¯mnnmmm≤ ¯¯ (vk − vk )v · Φxk dx¯¯ + ¯¯ (v − v )vk · Φxk dx¯¯ ≤¯¯¯ ¯ΩΩmnm≤ kv − v k4 kv k4 k∇Φk2 + kvm − vn k4 kvn k4 k∇Φk2 ≤≤ CkΦkH kvm − vn k4 ≤ CkΦkH kvxm − vxn k2 kvm − vn k2 . ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, àîñòàëüíûå îãðàíè÷åíû.Ïîäñòàâëÿÿ Φ = Avm − Avn , ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.2. Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîð A çàìêíóò.3.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó v = λAF v ñ λ ∈ [0, 1]. Ïîëàãàÿ Φ = v,èìååìZZνkvk2H = ν[v, v] = λ vk v · vxk dx +λ f · v dx .ΩΩÇäåñü äëÿ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè âûâîäèì|(f , v)| = |[F, v]| ≤ kFkH kvkH ,ZZ∂|v|2dx =∂xkΩZZ112 ∂vk=−dx = −|v||v|2 div v dx = 0.2∂xk21vk v · vxk dx =2ΩvkΩÈòàê,νkvk2HΩ≤ λkFkH kvkH , ò. å.λkf kH ∗kf kH ∗ ≤.ννÝòî íåðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Ëåðý.kvkH ≤42(19)Ïî òåîðåìå ËåðýØàóäåðà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. Òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 3.4 (åäèíñòâåííîñòü ìåäëåííûõ òå÷åíèé).kf k2 <Ïðèν2C12 Cp(C1 èç ëåììû 2.8, Cp èç íåðàâåíñòâà Ïóàíêàðå) îáîáùåííîé ðåøåíèå çàäà÷è (17) íàõîäèòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì äëÿ kf kH ∗ ñëåäóþùóþ îöåíêó:Rkf kH ∗ = supf · Φ dxΩΦ∈H(Ω)kf k2 kΦk2≤ Cp kf k2Φ∈H(Ω) kΦkH≤ supkΦkHè ïîäñòàâèì åå â íåðàâåíñòâî Ëåðý (19):kf k2 Cpν≤ 2νC1Äàííîå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò ìåäëåííîñòü òå÷åíèÿ. Äëÿ ðàçíîñòèu äâóõ ïðåäïîëàãàåìûõ ðåøåíèé v1 è v2 ìîæíî âûïèñàòü óðàâíåíèåZZν[u, Φ] − uk v2 Φxk dx − v1k uΦxk dx = 0kvkH ≤ΩΩñ ïðîèçâîëüíûìΦ ∈ H(Ω), ïîäñòàâëÿÿ â êîòîðîå Φ = u è èñïîëüRçóÿ v1k uuxk dx = 0, íàõîäèìΩνkuk2HZ=Zuk v2 uxk dx +Ωv1k uuxk dx ≤Ω≤ kuk4 kv2 k4 kukH ≤ C12 kuk2H kv2 kH ≤à ýòî âëå÷åò òîæäåñòâî u ≡ 0.43C12 Cpkuk2H kf k2 < νkuk2H ,νÃëàâà 4Íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è äèíàìèêè âÿçêîéæèäêîñòèÄëÿ ðàññìîòðåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ íà èíòåðâàëå âðåìåíè t ∈ [0, T ], T < ∞ íàïîìíèì ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ íåðàâåíñòâ èçêóðñà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à òàêæå ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà ñ âûäåëåííîéïåðåìåííîé âðåìåíè.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
