5 (847202)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

П 2.8 Логарифмическая производная1Пусть у = ln | |, = (х) – дифференцируемая, тогда y’ = (ln | |)’ = ∙ ’ =’(х)(х)=> ’(х) = (ln |(х)|)’ ∙ (х)(ln |(х)|)’ – логарифмическая производная. Обычно используют длястепенных, показательных функций.Пример: у = П 2.9 Понятие производной -ого порядка’(х) – производная 1-ого порядка’’(х) – производная 2-ого порядка () (х) - − ая производная () (х) = ( (−1) (х))’Пример:а) у = sin(), у() − ? (метод математической индукции)у’= cos() = sin( + )2у’’ = −sin() = sin( + )у’’’ = −cos() = sin( +32)у() = sin( + )2б) у = cos() , у() − ?у() = cos( + )2П 2.10 Формула Лейбница для -ой производной двух функцийу = ∙ , и – дифференцируемыеу’= ’ + ’у’’ = ’’ + ’’+ ’’+ ’’’= ’’’+ 2’’+ ’’у’’’ = (у’’) ’у() = ( ∙ )() = () + (−1) ′ ++( − 1) (−2)’’ + ⋯ +2!( − 1)( − 2) … ( − + 1) (−) () + ⋯ + ()!Пример: у = 2 ∙ cos()() = cos( + )2 () = 02( − 1)у() = cos( + ) 2 + 2 cos( + ( − 1) ) +cos( + ( − 2) )222!2П 2.11 Дифференциалы высших порядков = ’(х) – дифференциал 1-ого порядка() = (’(х) ) = (’(х) )’ = ’’(х) () = ’’(х) 2 2 = ’’(х) 2 – дифференциал 2-ого порядка = () (х) – дифференциал -ого порядкаПример: 3 − ?, у = 4 + 3 + 4 3 = ’’’(х) 3 = 24 3П 2.12 Параметрическое задание функцииПусть заданы две функции: = (t) и y = ψ(t), где t – параметр, а (t) и ψ(t) определены инепрерывны.Тогда:у’(х) =t =ψ’(t)’(t)1’(t)Пример: у’(х)xx = R cos , y = R sin , t = , 0 ≤ t ≤ , R - constу’(х) =y’(t)’(t)=R cos =-R sin у’’(х) = (у’(х))’x =cos - sin =xx- sin( )ψ’’(t)’(t) − ψ’(t)’’(t)(’(t))3П 2.13 Основные теоремы дифференциального исчисленияТеорема 1 (Теорема Ферма)Пусть () определена на интервале (a; b) и в некоторой (.)x0 этого интервалаимеет наибольшее (наименьшее) значение.Тогда в (.)0 ∃ ’(0 ) и ’(0 ) = 0Доказательство:Пусть для (х) в (.)x0 имеется наибольшее значение () ≤ (0 ).∀ ∈ (a; b), ∆у = (0 + ∆) - (0 ), ∀ (0 + ∆) ∈ (a; b).Поэтому если ∆ > 0 ( > 0 ), то’+ (0 ) = lim∆→0+’ΔΔΔΔ≤ 0.≤ 0.

Если же ∆ < 0 ( < 0 ), тоследовательно - (0 )= lim∆→0−ΔΔ≥ 0.’По условию ∃ ’(0 ), + (0 ) =’ - (0 ) = ’(0 ), это возможно’’при + (0 ) = - (0 )= 0 => ’(0 ) = 0Теорема 2 (Теорема Ролля)Пусть на отрезке [a; b] определена (), причём:1. () непрерывна на [a; b]2.

() дифференцируема на (a; b)ΔΔ≥0и3. () = ()Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b), в которой ’() = 0.Доказательство:Так как () непрерывна на [a; b], значит имеет наибольшее значение инаименьшее значение , то есть∃ 1 , 2 ∈ [a; b], (1 ) = ,(2 ) = => ≤ () ≤ 1) = () = = = , ’() = 02) < ∃ c ∈ (a; b), в которой ()принимает наибольшее илинаименьшее значение => ’() = 0.Теорема 3 (Теорема Лагранжа)Пусть на отрезке [a; b] определена (), причём:1. () непрерывна на [a; b]2. () дифференцируема на (a; b)Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b) такая, чтосправедлива формула()−()−= ′()Доказательство:() = () − ()() − ()( − )−−() удовлетворяет теореме Ролля:1. () непрерывна на [a; b]2. () дифференцируема на (a;b)′() = ′() −()−()−3.

() = 0, () = 0, () = ()Следовательно, ∃ c ∈ (a; b), ′ ( )= 0 => ′ ( ) =( )−()−=0Теорема 4 (Теорема Коши)Пусть функции () и () непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на(a; b), ′() ≠ 0. Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b) такая, что справедлива формула: () − () ′()=() − () ′().

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций