4 (847201)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 2. ДифференцированиеП 2.1 Понятие производной] y  f ( x )  X , возьмём x0  X и x0  x  X получим приращениеy  f ( x0  x)  f ( x0 )О1 Производной функции y  f ( x ) в (.) x0 называется предел при x  0отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (приусловии, что этот lim  ).Обозначение y , y( x0 ), f ( x0 ).f ( x0  x)  f ( x0 )y limx 0 xx 0xf ( x0 )  limИногда наз. конечной производной.Пример.Найти y y  f ( x)  x 2 в точке x  x0y  f ( x0  x)  f ( x0 )  ( x0  x) 2  x0 2  x0 2  2 x0 x  (x) 2  x0 2  2 x0 x  (x) 22 x x  (x) 2y lim 0 2 x0x  0 xx  0xlimy  f ( x0 )  2 x0П. 2.2 Геометрический смысл производнойS – касательная линияk  tg0lim  ( x )   0x 0tg ( x ) y f ( x0  x )  f ( x0 )xx ( x )  arctglim arctgx 0yxyy arctg lim arctgf ( x0 )x 0 xxlim  ( x )  arctgf ( x0 )x 0tg0  f ( x0 ) - производная y  f ( x ) в (.)x0 равна угловому коэффициентукасательной к y  f ( x ) в точке Мп.2.3 Физический смысл производнойПусть y описывает закон движения материальной точки М по прямой линииx  x1  x0 , x1 - путь, y  f ( x1 )  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 )y- средняя скорость (vср )xy- мгновенная скорость в (.) x0 (vмгн )x  0 xlimО2 Правой (левой) производной функции y  f ( x ) в (.) x0 называется правый(левый) пределyпри x  0 (если lim  )xyyf  ( x )  lim( f  ( x )  lim) 0 x0 x  0 x0 xп.

2.4 Понятие дифференцируемости функции в данной точкеО3 Функция y  f ( x ) называется дифференцируемой в точке x0 , еслиприращение y в этой точке можно представить в видеy  Аx  (x)x,A – число (x) - функция аргумента x , являющаяся б.м. при x  0 , т.е.lim (x)  0x 0Теорема 1.Для того, чтобы функция y  f ( x ) была дифференцируема в (.) x0 ,необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечнуюпроизводную.□ НеобходимостьПусть y  f ( x ) дифференцируема в (.) x0 , т.е. y  Аx   (x)x │: xy А   (x)xlimx 0y lim ( А   (x))  А => f ( x0 )  Ax x0ДостаточностьПусть конечнаяy f ( x0 )x 0 xf ( x0 ) , limПусть f ( x0 )  A ,  (x) y А - б.м. при x  0 .

Следовательно,xy  Аx   (x)x , где lim  ( x)  0x  0∎Операцию нахождения производной называют дифференцированием.п. 2.5 Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывностиТеорема 2.Если y  f ( x ) дифференцируема в данной точке x0 , то она и непрерывна вэтой точке.□lim y  А lim x  lim  (x) lim x  0 , что означает непрерывность функцииx 0x 0x 0x 0y  f ( x ) в (.) x0 (О3 непрерывности).∎Обратно неверно. Функция может быть определённой в (.), но не бытьдифференцируемой ( y  x )п. 2.6 Определение и геометрический смысл дифференциалаФункция дифференцируема в (.) x0 , т.е.

y  Аx   (x)xО4 Дифференциалом функции y  f ( x ) в (.) x0 называется главная, линейнаяотносительно x , часть приращения функции в этой точкеdy  Axилиdy  f ( x0 )dx => f ( x0 )  dydxS – касательная в (.)Мdy  NQ - приращение“ординаты касательной” кграфику функцииPQ  y - приращение“ординаты самой функции”Иногда1 1Пример:y  dy2f ( x)  x , y  x0 x  x0  dyx0 x  x0  ( x )x  ( limx 0Заменяемx0 x  x0( x0 x)( x0 )1)x  ( lim)x xx 0 x( x x  x )x2x000x   , x0 1п. 2.7 Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частногоТеорема 3.Еслиu  u( x) и v  v( x)дифференцируемы в (.)x, то +, -, ×, ÷ такжедифференцируемы в этой (.) и имеют формулы:uv uv(u  v)  u  v , (uv)  uv  uv , (u ) vv2Таблица производных1)2)3)4)5)6)7)(С )  0( xn )  nxn11(loga x)  loga exa x  a x ln a1cos 2 x19) (ctgx)  sin 2 x110) (arcsin x) 1 x 2111) (arccos x)  1 x 2112) (arcctgx)  1 x 28)  ln x   1x(sin x)  cos x(cos x)   sin x(tgx) п.

2.8 Правило дифференцирования сложной функцииТеорема 4.Еслиx   (t )имеет производную в (.) t , а функция0производную в соответствующей точкеx0   (t0 ) ,то сложная функцияf ( (t )) имеет производную в (.) t0 и справедлива формула:y(t0 )  f ( x0 ) (t0 )□ Т.к. y  f ( x) дифференцируема в (.) x0 , то приращениеy  f ( x0 )x   (x)x │: t , lim  (x)  0x 0yxx f ( x0 )  (x)tttx xlim   (x)   lim  (x) lim 0 (t0 )  0t 0t0t0t t∎Примеры:1)y  earctgxy  f ( x) имеетy  eu , u  arctgx1arctgx 1y( x)  y(u)u( x)  eue1 x 21 x 22)y  tg 2 x 2 1y  u2 , u  tgv , v  w , w  x2 1y( x)  y(u)u(v) v(w)  w( x)  2u1111(2 x  0)  2tg x 2 12x2cos v 2 wcos 2 x 2 1 2 x 2 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций