2 (847199)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

П.4. Предел функции4.1 Предел функции при x→x 0] f(x) ∈ X и (.)x 0 ∈ X или x 0 ∉ X.Последовательность: x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …Числовая последовательность: f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n )Ø1 (На языке последовательностей, по Гейне) Число A называется пределом функции f(x)в (.) x=x 0 (x→x 0 ), если для любой сходящейся к x 0 последовательности x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n … значений аргумента x, отличных от x 0 , соответствующаяпоследовательность f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n ) значений функции сходится кчислу A.lim f(x) = A .x→x0Примеры 1) f(x)=c=constf(x n )=c в каждой (.) есть предел, lim f(x) = cx→x02) f(x)=xf(x n )=x n , lim f(x) = lim x = f(x0 ) = x0x→x03)f(x)=x2 +x−1x−1x→x0, f(x n ) при n→ ∞2lim f(x0 ) = limn→∞n→∞x2n +xn −1xn −1=( lim xn ) + lim xn −1n→∞n→∞lim xn −1= ∞n→∞Ø2 (На языке ε- δ, по Коши) Число A называется пределом функции f(x) в (.) x=x 0(x→x 0 ), если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всехx∈X, x≠x 0 , удовлетворяет неравенству |x - x 0 |<δ, выполняется неравенство|f(x) – A| < ε.Или ∀ε>0 ∃δ>0, ∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 |<δ: |f(x) – A| < εОпределения предела функции Ø1 и Ø2 эквивалентны.4.2 Предел функции при x→x 0 - и при x→x0+.Ø3 Число A называется правым (левым) пределом функции f(x) в (.)x 0 , если длялюбой сходящейся к x 0 последовательности x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , элементы x nкоторой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2)сходится к A.lim→0+ () = (lim→0 − () = )Или∀ ε >0 ∃δ>0 ∀x, x 0 <x<x 0 +δ: |f(x)-A|< ε справа∀ ε >0 ∃δ>0 ∀x, x 0 -δ<x< x 0 : |f(x)-A|< ε слеваПример: = 1, > 0f(x) = sgn x = { = 0, = 0 = −1, < 0lim→0+ = 1 , lim→0− = −1Теорема 1.

Функция f(x) имеет в (.) x 0 предел тогда и только тогда, когда вэтой точке существует как правый, так и левый пределы, и они равны. В этомслучае предел функции равен односторонним пределам.□ ] lim→ − () = lim→ + () = . Тогда из Ø3⇒ ∀ε>0 ∃δ >0 и δ >0 такие,0102что ∀x: x 0 -δ 1 <x< x 0 и x 0 <x<x 0 + выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Возьмёмs=min {δ 1 , δ 2 }. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |<δ, x≠x 0будет выполнятся |f(x)–A|<ε, т.е.

lim→0 () = .Обратно, ] lim→0 () = . Тогда, согласно определению предела функции в(.)x 0 ∀ε>0 ∃δ>0 такое, что ∀x: |x-x 0 |<δ, x≠x 0 |f(x)–A|<ε. Тем самым, как дляx 0 -δ<x<x 0 , так и для x 0 <x<x 0 +δ, |f(x)–A|<ε. А это по Ø3 и естьlim→0− () = lim→0 + () = .■4.3 Предел функции при x→ ∞, x→ +∞, x→ −∞Ø4 Число A называется пределом функции f(x) при x→ ∞, если для любойбесконечно большой последовательности x 1 , x 2 , x 3 , …, x n значений аргументасоответствующая последовательность f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ), …, f(x n ) значенийфункции сходится к A.lim→∞ () = Ø5 Число A называется пределом функции f(x) при x→ +∞ (x→ −∞), если длялюбой бесконечно большой последовательности значений аргумента,элементы x n которой положительны (отрицательны), соответствующаяпоследовательность значений функции сходится к A.lim→+∞ () = (lim→∞ () = )Пример f(x) =1, lim→∞ () − ? ;1;1;11 2 3;…;1…1lim→+∞ = 0П.5.

Два замечательных предела5.1 Первый замечательный предел =→ (Доказательство самостоятельно посмотреть)Примеры 1)lim→01−cos = lim→02) lim→03) lim→0222 = lim→0= lim→05sin 422sin 1cos 22 = lim→0= lim→05/4= lim→0(sin 4)/(4)=sin 2limlim = 1 ∙ 0 = 02→01→0 cos 5/4lim→0 (sin 4)/(4)=1∙1=1=5/41= 1,255.2 Второй замечательный предел1 1lim→∞ (1 + ) = lim→0 (1 + ) = (Доказательство самостоятельно изучить)Примеры 1) lim→0 (1 + )1⁄3 замена:11 = ,=[=lim+](1) =→∞ → 0 при → 02) lim→∞ (1 + ) = [ = 31 3] = lim (1 + ) =при → ∞ и → ∞→∞1 1 1 = lim [(1 + ) (1 + ) (1 + ) ] = ∙ ∙ = 3→∞3) lim→0log (1+)11= lim [ log (1 + )] = lim log (1 + ) =→0 →01= log [lim(1 + ) ] = log →0П.6.

Бесконечно малые и бесконечнобольшие функции6.1 Бесконечно малые функцииØ1 Функция f(x) называется бесконечно малой в (.) x=x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0:∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 | <δ: |f(x)| <ε.Аналогично для при x→ ∞, x→ +∞, x→ −∞, x→x 0 -, x→x 0 +Теорема 1.

Для выполнения равенства lim→0 () = необходимо идостаточно, чтобы функция α(x) = f(x) – A была бесконечно малой при x→x 0 /6.2 Бесконечно большие функцииØ1 Функция f(x) называется бесконечно большой в (.) x=x 0 , если ∀ε>0 ∃δ>0:∀x∈X, x≠x 0 , |x - x 0 | <δ: |f(x)| >ε.Если f(x) >ε (f(x) <-ε), то пишут, что lim f(x) = +∞ ( lim f(x) = −∞), и говорят, чтоx→x0x→x0функция имеет в (.) x 0 бесконечный предел +∞(−∞).6.3 Сравнение бесконечно малых и бесконечнобольших функцийПравила сравнения бесконечно малых функций.1) Если ()→ ()= , то () – бесконечно малая функция более высокогопорядка, чем ().2) Если ()→ ()= ≠ ( − число), то () и () – бесконечно малыефункции одного порядка.3) Если ()→ ()= , то () и () – эквивалентные бесконечно малыефункции.4) Если ()→ ()= ≠ ( − число), то () – бесконечно малая функция n-гопорядка относительно ().Аналогичные правила для сравнений бесконечно малых функций при x→ ∞,x→ +∞, x→ −∞, x→x 0 -, x→x 0 + .Примеры 1) sin x и x при x→ 0sin →0= 1 эквивалентные2) sin3x и sinx при x→ → = (→ ) ()= →→ =Бесконечно малые одного порядка3) () = − , при x→ − →= →=(( ) →) =() является бесконечно малой функцией 2ого порядка поотношению к x 2 .При сравнении часто используют о («о малое»).

Если функция () –бесконечно малая в (.) x 0 более высокого порядка, чем бесконечно малая вэтой же (.) (), то записывается() = о(())Примеры 1) () =lim→0α(x)β(x)+; () =при x→ = lim (1 + ) = 1 эквивалентные бесконечно малые→02) α(x) = 2 + 4 ; β(x) = 3 − 2 при x→ ∞lim 2 +4→∞ 3 −24= lim1+ 22→∞ −2= lim1→∞ =0α(x) бесконечно большая более низкого порядка, чем β(x)3) α(x) = 4 + + 1 ; β(x) = 2 + 1 при x→ ∞lim 4 ++1→∞ ( 2 +1)2= lim 4 ++1→∞ 4 +2 2 +1=111+ 3 + 4lim 2 1→∞ 1+ 2 + 4=1() бесконечно большая второго порядка по отношению кбесконечно большой ()..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций