6 (847203)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.15 Формула ТейлораТеорема 1(Тейлора)() имеет в точке a и некоторой окрестности производные (n+1) порядка.] x – любое значение аргумента из указанной окрестности, x≠a. Тогда междуточками x и a найдется (.) ξ такая, что справедлива формула() = () +`()1!( − ) +``()+1 ()(+1)!2!( − )2 + ⋯ + ()!( − ) +( − )+11)Формула Тейлора+1 ( ) = +1 ()((+1)!− 1)+1 - остаточный член в форме ЛагранжаТ.к. ξ ∈ (a, x), то найдется 0 <θ <1 (θ – тетта)Что ξ = + ( − ) и остаточный член принимающий вид+1 +1 ( + ( − ))=( − )+1( + 1)!+1 ()=→ (−) +1 (+(−))(−)+1Если limlim→(+)!(−)= lim→ +1 (+(−))(+1)!( − ) = 0,Т.к +1 () ограничена, ( − ) → 0, при → Тогда [+1 ( ) = O[( − ) ] при ( → ) - остаточный член в формеПеано2.16 Формула Мак ЛоренаФормулой Мак Лорена называется формула Тейлора при a = 0() = (0) +`(0)1!+``(0)2!2 + ⋯ + (0)! + +1 ()Остаточный член имеет вид:1)В форме Лагранжа+1 () = +1 () +1,0 < θ < 1( + 1)!2)В форме Пеано+1 () = ( )Примерыa) По Мак Лорену () = `() = … = (0) = `(0) = ⋯ (0) = 1 2 3 = 1 + + + + ⋯ + ( ),1! 2! 3!!−∞ < < ∞б)() = sin 3 5 7sin = − + − + ⋯ + (−1)−1+ ( 2 )(2 − 1)!3! 5! 7!в) () = cos 2 4 6 = 1 − + − + ⋯ (−1)+ ( 2+1 )(2)!2! 4! 6!г) () = (1 + )(1 + ) = 1 +n(n − 1) 2n(n − 1) … (n − k − 1) + + ⋯+ + +1 ()1!2!!Вычисление пределов с помощью формулы Мак Лоренаа) limsin −→03= lim3+( 4 )−3!3−→0= lim (−→0141+ ( 3)) = −3!62б) lim→0− 2 −cos 3 sin =1122.17 Исследование поведения функций и построение графиков1)Признак монотонности функцииТ-ма1Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и f `(x) ≥ 0(f `(x) ≤ 0) на (a; b), то функция не убывает (не возрастает).2)Точки локального экстремумаО1 Точка 0 называется точкой строгого локального max(min) f(x), если длявсех из некоторой окрестности δ точки 0 выполняется неравенство() < (0 ) (() > (0 ) ) при ≠ 0Локальный max и локальный min называют (.) локального экстремумаТ-ма2Если f(x) имеет в (.) 0 локальный экстремум и диф-ма в этой (.), то f ` (0 )= 0Иногда 0 называют стационарными точками (точками возможногоэкстремума)Т-ма3 (Достаточное условие локального экстремума)Пусть ()диф-ма в некоторой δ-окрестности (.) 0 тогда, если f ` (x)> 0(f `(x)<0) для всех из ( − , 0 ), а f `(x) <0 (f `(x)>0) для всех (0 , − ), то в (.) 0 f(x) имеет локальный max(min), если же f ` (x) во всейδ-окрестности имеет один и тот же знак, то локального экстремума нет.Т-ма43)Наличие выпуклости и (.) перегиба функцииЕсли y = () имеет на (a; b) вторую производную и () ≥ 0 (() ≤ 0) вовсех точках (a; b), то график функции y = () имеет на (a; b) выпуклость,направленную вниз(вверх)О2 Точка M(0 , (0 )) наз.

точкой перегиба графика функции y = () если(.) M имеет касательную и ∃ окрестность (.) 0 , в пределах которой ()слева и справа от (.) 0 имеет разные выпуклости4)Асимптоты графика функцииПри исследовании поведения функции на → − ∞(+∞) или вблизи точекразрыва 2-го рода. Такие прямые называют асимптотами.3 вида асимптот:• Вертикальные• Горизонтальные• НаклонныеО3 Прямая = 0 называется вертикальной асимптотой y = (), если хотябы одно из предельных значений lim () или lim () равно + ∞(−∞)→0 +→0 −О4 Прямая называется горизонтальной асимптотой y = () при →+∞(−∞) если lim () = →±∞О5 Прямая = + , ≠ 0 наз. наклонной асимптотой y = () при → +∞(−∞) если () можно представить в виде () = + + ()где () → 0() + + ()= lim=→+∞ →+∞lim()→±∞ = limlim (() − ) = lim ( + ()) = →±∞→±∞ = lim (() − )→±∞Схема исследования графика функцииНайти область определения функцииТочки пересечения с осями координатАсимптотыТочки возможного экстремумаНайти критические точкиОпределить промежутки возрастания(убывания) (.) экстремумов, точкиперегиба7) Построить график1)2)3)4)5)6).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций