1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Очевидно, что М (У) = Vn/2.б) Найдем дисперсию X:о»D (X) = J xVi (X) dx^ [М (Х)|« =о00= J JC» (2ле-*' djc) —( К"я/2)* = 1 —л/4.оОчевидно, что D (К) = 1 - - л / 4431 • Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X, Y)f Збхуе -'^^'^у'^ (А: > О, у > 0),f{Xfy)-^Q(X < О или у < 0).Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.432. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, К): /(х, у)== 2cosXcosy в квадрате О ^ х ^ я / 4 , О ^ у ^ я / 4 ; внеквадрата f{x,y) = 0.
Найти математические ожиданиясоставляющих.148433. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, У): /(х, (/)=:^ (1/2) sin (jc4-1/) в квадрате О ^ х ^ л / 2 , 0 ^ ( / ^ л / 2 ;вне квадрата f(x, у) = 0. Найти математические ожиданияи дисперсии составляющих.434.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):f{Xyy) = {l/4)sir)xsinyв квадрате 0^л:^-л[,О^у^п;вне квадрата f (х, у) = 0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционныймомент.435. Заданы плотности распределения независимыхсоставляющих непрерывной двумерной случайной величины {X, У):IО при л: < О,( Опри t / < О,f'^^'>'~^\ 5е-^^ при л ' > 0 ; f^^y'^^^ \ 2е''У приу>0.Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.У к а з а н и е . Если составляющие системы независимы, то двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей составляющих, а функция совместного распределения системы равнапроизведению функций распределения составляющих.436.
Непрерывная двумерная случайная величина(X, У) распределена равномерно в круге радиуса /* с центром в начале координат. Доказать, что X и У зависимы,но некоррелированны.У к а з а н и е . Сравнить безусловные и условные плотности распределения составляющих; убедиться, чго корреляционный моментравен нулю.437. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, У) можно представить в виде произведения двух функций, одна изкоторых зависит только от х, а другая—только от i/, товеличины X и У независимы.Решение.По условию,f(x.y)=q>(x)'X}p(y).Найдем плотности распределения составляющих:-0000—0000/г (г/) = S / ix, y)6x=ylf (у) J ф (X) дх.— 00(*)(»»*)— 00149Выразим ф(х) из («•) н ^(у) из (***):ф (*) = П (*)/ J Ф (у) dy.
* (у) = / , to)/ 5 Ф W rf*.— вов силу (•)—во•соN—QO00—воч/Учитывая, ЧТО, по второму свойству двумерной плотности вероят0D00ности, V \ f(x^y)dxdy^\и, следовательно,— 00 — 0 00000005J ^{х)^{у)Лхйу=J ф(дс)<1дс J ^{у)Ау = 1,-00—00—0000— ООокончательно лолучим /(дг, y)^fi{,x)-f%{y).Таким образом, двумерная плотность вероятности рассматриваемой системы равна произведению плотностей вероятности составляющих. Отсюда следует, что X vi Y независимы, что и требовалосьдоказать.438.
Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью У — аХ+Ь^ то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.Решение. По определению коэффициента корреляции,где|ixif = Л1 [[Х-М (X)] [Y-M (У)]).(•)Найдем математическое ожидание К:М (К) = Л1 laX+b] =аМ (Х) + Ь.(••)Подставив (••) в (•), после элементарных преобразований получимlixy^^aM IX—М (Х)]^=-аО(Х)=^ао1.Учитывая, чтоY—M(Y)=-(aX+b)—(aM(X)+b)^alX—M(X)lнайдем дисперсию Y:D(Y)^M[Y—M(Y)]^==a^MlX—M{X)]^=a^(^x'Отсюда Оу = \а\Ох' Следовательно, коэффициент корреляции""v а^УОх(\а\Ох)ТаТ*Если а > О, то Гху^\\ если а < О, то Гху = — 1.Итак, \Гху\^=х\^ что и требовалось доказать.Часть третьяЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИГлава девятаяВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД§ 1 . Статистическое распределение выборкиПусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака X из генеральной совокупности извлечена выборкаJCi, .V2, . . .
, Xk объема /г. Наблюдавшиеся значения xi признака Xназывают вариантами, а последовательность вариант, записанныхв возрастающем порядке,—вариационным рядом,Статиспхическим распределением выборки называют переченьвариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот п/(сумма всех частот равна объему выборки п) или относительных частот Wi (сумма всех относительных частот равна единице).Статистическое распределение выборки можно задать также в видепоследовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты интервала принимают сумму частот вариант, попавшихв этот интервал).439, Выборка задана в виде распределения частот:X,.257AZ;136Найти распределение относительных частот.Р е ш е н и е . Найдем объем выборки; /г = 1-{-3 + 6 = Ю.
Найдемотносительные частоты:и>1== 1/10 = 0,1;м;2 = 3/10 = 0,3;ш.,=6/10 = 0,6.Напишем искомое распределение относительных частот:Xi 2 Ъ 7Wi 0,1 0,3 0,6К о н т р о л ь : 0,1+0.3 + 0,6=1.440. Выборка задана в виде распределения частот:X,. 4 7 8 12п,.
5 2 3 10Найти распределение относительных частот.151§ 2. Эмпирическая функция распределенияЭмпирической функцией распределения (функцией распределениявыборки) называют функцию F** (х), определяющую для каждого значения X относительную частоту события X < х:F*(x)==njn,где Пх — число вариант, меньших х\ п—объем выборки.Эмпирическая функция обладает следующими свойствами.С в о й с т в о 1.
Значения эмпирической функции принадлежатотрезку (0; 1].С в о й с т в о 2. /•• (х) — неубывающая функция.С в о й с т в о 3. Если Xi—найменыиая варианта, а х/^ — наибольшая, то F*(jc)=0 при x^Xiи F*(jr) = l при х > х^,441. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:л:, 1 4 6п^ 10 15 25Р е ш е н и е . Найдем объем выборки: п = 10 +15-{-25 = 50.Наименьшая варианта равна единице, поэтому F^(jc)==0 прих< 1.Значение X < 4, а именно X i = l , наблюдалось 10 раз, следовательно, f*(x) = 10/50 = 0 , 2 при I < j c < 4 .Значения jc < 6, а именно: jci=»l и Ха = 4, наблюдались 104-15=25 раз; следоI • I »вательно, F* (JC) =25/50 = 0 , 5/0.50Л\I<JНIIНРис.
11IприIjТаккак дг = 6—наибольшая варианта, то F*(х)== 1 при JC > 6.Напишем искомую эмпирическую функцию:О приД^^1,0,2 при 1 < л г < 4 ,F^(x).0.5 при 4 < JC < ; 6VI приX > 6.!IIL6,X4 < ДГ<6.График этой функции изображен на рис. 11.442. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:а) л:, 2 5 7 8б) д:,. 4 7 8п,. 1 3 2 4п^ 5 2 3§ 3. Полигон и гистограммал. Дискретное распределение признака X. Полигоном частотназывают ломаггую, отрезки которой соединяют точки (дгх, п{)щ (х%, п^,. . .
. (jC)^,/1^)» где Xi—варианты выборки и /i/—соответствующие имчастоты.1S2Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезкикоторой соединяют точки (xi\ Wi), (хг\ w^), . . . , (х^\ w^), где Х( —варианты выборки и ш/—соответствующие им относительные частоты.Б. Непрерывное распределение признака X, При непрерывномраспределении признака весь интервал, в котором заключены всенаблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длины h и находят л,-—сумму частот вариант, попавшихв 1-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру,состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины Л, а высоты равны отношению л,/А (плотность частоты).
Площадь частичного i-vo прямоугольника равнаh{ni/h)=ni—суммечастот вариант, попавших в i-u интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объемувыборки п.Гистограммой относительных частот называют ступенчатуюфигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями' которыхслужат частичные интервалы длины Л, а высоты равны отношениюWi/h (плотность относительной частоты). Площадь частичного 1-гопрямоугольника равна h{wi/h)=Wf — относительной частоте вариант,попавших в 1-й интервал. Площадь гистограммы относительныхчастот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.443. Построить полигон частот по данномуделению выборки:X,. 1 4 5 7П( 20 10 14 6распреР е ш е н и е . Отложим на оси абсцисс варианты х,-, а на осиординат—соответствующие им частоты л/; соединив точки (JC/, Л/)отрезками прямых, получим искомый полигон частот (рис.
12).141061-и-Рис. 127XiЧ 57Рис. 13WXi444. Построить полигон частот по данному распределению выборки:а) х, 2 3 5 6б) Xi 15 20 25 30 35rii 10 15 5 20rii 10 15 30 20 25445. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:г) Xi 245 710Wi 0.15 0,2 0,1 0,1 0,45б) X,- 14589Wi 0,15 0,25 0,3 0,2 ОД153в) JC; 20 40 65 80w^ 0,1 0,2 0,3 0,4Р е ш е н и е , a) Отложим на оси абсцисс варианты ж/, а на осиординат—соответствующие относительные частоты wi* Соединив точки(дг/, Wi) отрезками прямых, получим искомый полигон относительныхчастот (рис.
13).446. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема п = 1 0 0 :Номеринтервала1Сумма частотвариант интервала'^iЧастичныйинтервал^/"^i + l1—55—99—1313—1717—2112345102050128Плотностьчастотыnj/H2,5512,532Р е ш е н и е . Построим на оси абсцисс заданные интервалы длиныh=4. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные осиабсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям частоты п^/к. Например, над интервалом (1, 5)построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии П(/Н=:= 10/4 = 2,5; аналогично строят остальные отрезки.л/J/2S3Z10ii1/.JП'iЧ XРис. 14Искомая гистограмма частот изображена на рис. 14.447.
Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:154а)Номеринтервала12345Сумма частотвариант интервалаЧастичныйинтервал^i'^i + i2—77—1212—1717—2222—27Плотностьчастоты5102564б)НомеринтервалаiЧастичныйинтервал^n^i + i3—55—77—99—1111—1313—1515—171234567Сумма частотiвариант интервала"i1Плотностьчастоты«,/*4^204020^6У к а з а н и е . Найти предварительно плотность частоты п///гдля каждого интервала и заполнить последний столбец таблицы.448. Построить гистограмму относительных частот поданному распределению выборки:НомеринтервалаiЧастичныйинтервалСумма частот вариантчастичного интервала1230—22—44—6203050л=2'»/ = '00Р е ш е н и е .
Найдем относительные частоты:0/1 = 20/100=0.2, 0/2=30/100 = 0.3, о/, =50/100 = 0 , 5 .155Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длинаинтервала / i = 2 :ш,//1 =0,2/2 = 0 , 1 , оУа/Л =0,3/2 = 0,15, Шд/Л = 0,5/2 =0,25.Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Прове*дем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс инаходящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (О, 2)проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от неена расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.Щh/hРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
