1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Студент помнит, что плотность показательногораспределения имеет вил /(л)==0 при v < О, /(х)==Се"^^*при х^0\однако он забыл, чему равна постоянная С.Требуется найти С.У к а з а н и е . Использовать свойство плотности распределения;— OD360. Найти теоретический центральный момент третьегопорядка Цз = Л1 [X — М (X)J^ показательного распределения.У к а з а н и е . Использовать решения задач 353 и 356.361.
Найти асимметрию ^, = |11я/о»(Х) показательногораспределения.У к а з а н и е . Использовать решения задач 356 и 360.117362. Найти теоретический центральный момент четвертого порядка \1^ = М[Х — Л1 (X)]* показательного распределения.363. Найти эксцесс Е,^ = оЧ^Х)—^ показательного распределения.364. Доказать, что непрерывная случайная величинаТ — время между появлениями двух последовательныхсобытий простейшего потока с заданной интенсивностью к(см. гл. IV, § 2)—имеет показательное распределениеР е ш е н и е . Предположим, что в момент to наступило событие Atпотока.
Пусть ti — to + t (рекомендуем для наглядности начертитьось времени и отметить на ней точки ^о и /i).Если хотя бы одно событие потока, следующее за событием At,произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (^о* hhнапример, в интервале (/Q» ti)t то время Т между появлениями двухпоследовательных событий окажется меньшим t, т. е. окажется, чтоТ <t.Для того чтобы найти вероятность Р (Т < / ) , примем во внимание, что события — «внутри интервала (/о# tf) появилось хотя быодно событие потока» и «внутри интервала (to, ti) не появилось ниодного события потока»—противоположны (сумма их вероятностейравна единице).Вероятность непоявления за время / ни одного события потокаP f ( 0 ) = -^—'—i = e-^^ Следовательно, интересующая нас вероятность противоположного события Р (Т < 0 = 1—е-^^, или [по определению функции распределения F(() = P(T<i)]имеем F{t) ==1—е-^^, что и требовалось доказать.365.
Задана интенсивность простейшего потока Х = 5.Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение непрерывной случайнойвеличины Т—времени между появлениями двух последовательных событий потока.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 364.366. На шоссе установлен контрольный пункт дляпроверки технического состояния автомобилей.
Найтиматематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т — времени ожиданияочередной машины контролером,— если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машинчерез контрольный пункт распределено по показательному закону /(/) = 5e"*^У к а з а н и е . Время ожидания машины контролером и времяпрохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.118§ 7. Функция надежностиЭлементом называют некоторое устройство, независимо от того»«простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени /о = 0, а в момент / происходит отказ.
Обозначимчерез Т непрерывную случайную величину—длительность временибезотказной работы элемента, а через Я—интенсивность отказов (среднее число откззов в единицу времени).Часто длительность времени безотказной работы элемента имеетпоказательное распределение, функция распределения которогоf ( / ) = р (Г < / ) = !—е-^'(Х>0)определяет в е р о я т н о с т ь о т к а з а элемента за время длительностью /.Функцией надежности R (/) называют функцию, определяющуюв е р о я т н о с т ь б е з о т к а з н о й р а б о т ы элемента за времядлительностью /:^г(0=e-^^367.
Длительность времени безотказной работы элементаимеет показательное распределение F (/)= 1 —е-®»®*' (t > 0).Найти вероятность того, что за врек1я длительностью /=50 ч:а) элемент откажет; б) элемент не откажет.Р е ш е н и е , а) Так как функция распределения f (/) = 1 —е-^»<>*'определяет вероятность отказа элемента за время длительностью /,то, подставив / = 50 в функцию распределения, получим вероятностьотказа:f (50) = 1 —е-о.о1.5о= 1 _ е - 0 ' * = 1 --0,606 = 0,394;б) события «элемент откажет» и «элемент не откажет»—противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не otкaжeтР = 1—0,-394 = 0.606.Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясьфункцией надежности /?(0==е-^'', которая определяет вероятностьбезотказной работы элемента за время длительностью /:R (50) = е--о,01.бо = е-0.5 = о,606.Зв8, Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (/)= 1—е'"^»*^*^Найти вероятность того, что за время длительностью/ = 100 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.369.
Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первогоэлемента имеет показательное распределение Fi{t) == \—е""^«®*', второго F^{t)=\—е"'®'^^?^ Найти вероятность того, что за время длительностью /==6 ч: а) обаэлемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) толькоодин элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.119Р е ш е н и е , а) Вероятность отказа первого элементаPi^fi( 6 ) = 1 —e-o.w в::^ I --е~»Д2 ^ I —0,887=*О,ИЗ.Зероятность отказа второго элементаP,-s= 1 —е~»-о»«а- I — е ~ м ^ 1 —0.741 =^0,259.Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теоремеумножения вероятностейPiPa--0,113.0.259 = 0,03.б) Вероятность безотказной работы первого элемента<7i = /?, (6)-=e-0'02.e=^e-Ms=0,887.Вероятность безотказной работы второго элемента(7i = /?i(6)-=e-o.o» «-:е-«»з^0.741.Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов</1-^» = 0,887 0,741 =0,66.в) Вероятность того, что откажет только один элемент^1^2+ PWi = 0,ll3.0.741 4-0,259 0,887 = 0,31.г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет/> = 1 — q^q^ ^ 1 —0,66 = 0,34.370.
Испытывают три элемента, которые работаютнезависимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента T^i (О = 1—е'"®»^^; длявторого F^(t) = — e~^'*^ для третьего элемента F^{t) ^= 1—e•^»з^ Найти вероятности того, что в интервалевремени (О, 5) ч откажут: а) только один элемент; б) толькодва э^пемента; в) все три элемента.371. Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого.
Длительность временибезотказной работы элементов pacпpeдev^eнa по показательному закону: для первого элемента А (0==0»l^~••*^для второго /з (/) ==0,2e""^'•*^ для третьего элемента /, ( / ) »==0,3€"®•'^ Найти вероятности того, что в интервалевремени (О, 10) ч откажут: а) хотя бы один элемент;б) не менее двух элементов.У к а з а н и е . Воспользоваться результатами, полученными прирешении задачи 370.372. Показательным законом надежности называютфункцию надежности, определяемую равенством 7? (О*=*е^^^^где положительное число X,—интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона120надежности: вероятность безотказной работы элементав интервале времени длительностью / не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов Х).Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: А —безотказная работаэлемента в интервале (О, /Q) длительностью /Q; В — безотказная работа элемента в интервале (/о, / о т О длительностью ЛТогда АВ — безотказная работа в интервале (О, /«-f/) длительностью ton-tПо формуле / ? ( / ) - е-^^ найдем вероятности этих событий:Р ( Д ) = е~^^*.
P ( ^ ) - - e - ^ ^ Я(Ла)-е-^''<^»^'>=е-'-^*.е~ ^^Найдем условную вероятность того, что элемент будет работатьбезотказно в интервале (t^, ^о + О при условии, что он уже проработал безотказно в предшествующем интервале (О, /9)'Так как в полученной формуле не содержится /о, а содержитсятолько t, то это и означает,' что время работы в предшествующеминтервале не влияет на величину вероятности безотказной работына последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (/в4-О» что и требовалось доказать.Другими словами, условная вероятность Р ^ {В) безотказной работы в интервале времени длительностью /, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующеминтервале, равна безусловной вероятности Р (В).Глава седьмаяРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГОи ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ§ 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
