1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 23
Текст из файла (страница 23)
функция одного случайного аргументаЕсли каждому возможному значению случайной величины Xсоответствует одно возможное значение случайной величины Y^ioYназывают функцией случайного аргумента X и записывают К = ф (X).Если X—д и с к р е т н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а и функция К = ф(Х) монотонна, то различным значениям X соответствуютразличные значения К, причем вероятности соответствующих значений X м Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Yнаходят из равенствагде Jt/-T-возможные значения X; вероятности возможных значений Yнаходят из равенстваP(Y =yi)-^P(X^Xi),Если же К = ф(Х)—немонотонная функция, то, вообще говоря,различным значениям X могут соответствовать одинаковые значе121яня Y (так будет, если возможные значения X попадут в интервал,в котором функция ф (X) не монотонна).
В этом случае для отыска*яия вероятностей возможных значений г следует сложить вероятноститех возможных значений Х^ при которых К принимает одинаковыезначения. Другими словами, вероятность повторяющетося значения Yравна сумме вероятностей тех возможных значений Х^ при кото*рых Y принимает одно и то же значение.Если X—н е п р е р ы в н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а , за*данная плотностью распределения / ( х ) , и если ^а=:ф(дг)—дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция,обратная функция которой х = ф (^), то плотность распределения g(^)случайной величины Y находят из равенстваЕсли функция ^=ф(-^) в интервале возможных значений X немонотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы,в которых функция ф(дг) монотонна, н найти плотности распределенНИИ giiy) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g{y) в виде суммы:^ (У) = = 2 ^ 1 (У).Например, если функция ф(х) монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны ф1(у) и 1^2 (^)f i^^ХУ) = / [*i Ы ] - | *1(У) 1+/ [*t {y)VWi (У) |.373.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X 1 3 5р 0,4 0,1 0,5Найти закон распределения случайной величины К = ЗХ.Р е ш е н и е . Найдем возможные значения величины Y = ЭХ.Имеем: у | = 3 - 1 = 3 ; у2 = 3 - 3 = 9 ; ул = 3-5==15. Видим, что различнымвозможным значениям X соответстпуют различные значения К. Этообъясияетсй тем, что функция у = ф(дс) = 3дс моиотоннл. Найдемвероятности возможных значений Y. Для того чтобы K = y i = 3достаточно, чтобы величина X приняла значение дг^ = 1. Вероятностьже события Х=:1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события К = ^1 = 3 также равна 0,4.Аналогично получим вероятности остальных возможных зиаче«НИИ Y*Р(К = 9) = Р(Х==3) = 0,1;Я(К = 15) = Я(Х = 5) = 0,5.Напишем искомый закон распределения К:К39 15р 0,4 0,1 0,5374.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X 3 6 10р 0,2 0,1 0,7122Найти закон распределения случайной величины Y == 2Х + 1.375. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X —1 —2 1 2р 0,3 0,1 0,2 0,4Найти закон распределения случайной величины К = Х*.Р е ш е н и е . Найдем возможные значения Y:Уз = 4 = 1^ = 1,У4=^1 = 2* = 4.Итак, различным значениям X соответствуют одинаковые значения У. Это объясняется тем, что возможные значения X принадлежат интервалу, на котором функция К = Х^ не монотонна.Найдем вероятности возможных значений К.
Для того чтобывеличина Y приняла значение К = 1, достаточно, чтобы величина Xприняла значение Х = —1 или Х = 1. Последние два события несовместны, их вероятности соответственно равны 0,3 и 0,2. Поэтомувероятность события К = 1 по теореме сложенияP(K = 1 ) = P ( X = —1) + Р ( Х = 1 ) = 0 , 3 + 0 , 2 = 0,5.Аналогично найдем вероятность возможного значения К = 4:р (Г = 4) = Р ( Х = — 2) + /'(Х==:2) = 0 , 1 + 0 , 4 = 0 , 5 .Напишем искомый закон распределения величины К:Y 1 4р 0,5 0,5376.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X я/4 я/2 Зя/4р 0,2 0,7 0,1Найти закон распределения случайной величины K=sInX.377. Задана плотность распределения f{x) случайнойвеличины X, возможные значения которой заключеныв интервале (а, Ь). Найти плотность распределения случайной величины К = ЗХ.Р е ш е н и е . Так как функция у=3хвозрастает, то применима формуладифференцируемая и строгоg(y)=/[t(y)]-l^'(y)|.где у^(у)—функция, обратная функции у = 3д:.Найдем yii(y):ур(у)=^х=у/3.Найдем /[г|)(у)];/W^(y)J=/(y/3).С)Г*)123Найдем производную ф' (у):•Wy)-(1^/3)'= 1/3.Очевидно, чтоI*'(У) 1 = 1/3.Г**)Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим(••) и (•••) в С): ^(|/)=-(1/3)/|(у/3).Так как х изменяется в интервале (а, Ь) и у^Зх^ то За < у < ЗЬ.378.
Задана плотность распределения f(x) случайнойвеличины X, возможные значения которой заключеныв интервале (а, Ь). Найти плотность распределения g(y)случайной величины К, если: а) К==—ЗХ; б)Y^AX+B.379. Случайная величина X распределена по законуКошиf^^^"^n{\+x^)*Найти плотность распределения случайной величины К==*« Х » + 2.380. Задана плотность распределения f(x) случайнойвеличины X, возможные значения которой заключеныв интервале (О, со). Найти плотность распределения |г(у)случайной величины К, если: а) К = е""*; б) К = 1пХ;в) К = Х»; г) К«1/Х*; д) К ^ / Х .381. Задана плотность распределения f{x) случайнойвеличины X* возможные значения которой заключеныв интервале (— оо, со).
Найти плотность распределения g{y) случайной величины К, если: а) К==Х*;б) К-е--^'; в) К = |Х|; г) K = cosX; д) K = arctgX;е) К=1/(1+Х«).382. В прямоугольной системе координат хОу из точкиА (4; 0) наудачу (под произвольным углом /) проведен луч,пересекающий ось Оу. Найти плотность g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного лучас осью Оу.Р е ш е н и е . Угол t можно рассматривать как случайную вели*чину, распределенную равномерно в интервале (—л/2, л/2), причемв этом интервале плотность распределения'* ^~я/2~{—л/2) "^ я 'вне рассматриваемого интервала f{t)^0.Из рис.
7 следует, что ордината у связана с углом / следующейзависимостью: ^ » 4 t g / . Эта функция в интервале {—^л/2, л/2) монотонно возрастает, поэтому для отыскания искомой плотностя124распределения g{y) применима формулаС)g{y)^fltiy)]'\^'(y)\fгде If (у)—функция, обратная функции y = iigtНайдем ^{у):if(y)=:^«:arctg{y/4).Найдем ^' (у):it'(«^) = 4/(I6-bi^*).Следовательно,I Ф'(У) 1 = 4/(16Н-у«).(*•)Найдем / [ф{у)1. Так как /(/)==1/я.то/1Ч5(У)1 = 1/Я.(*•*)Подставив (*•) и (***) в (*), окончательно получим ,Рмс. 7причем —00 < у < 00 (последнее следует из того, что y =и —л/2 < / < л/2).Контроль:4igt:1.— ае—воО383, Случайная величина X равномерно распределенав интервале (—я/2, л/2).
Найти плотность распределения g{y) случайной величины Y = siT\X.Р е ш е н и е . Найдем плотность распределения f(х) случайнойвеличины X. Величина X распределена равномерно в интервале(—л/2, л/2), поэтому в этом интервале1/(^) = •л/2—(—л/2)Iл •вне рассматриваемого интервалаf{x)=0.Функция у = 81пд: в интервале (—п/2, л/2) монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию х = t|; (]^) =:=s=arcsinv« Найдем производную У^'(у):^'(у)^1/УТ=^.Найдем искомую плотность распределения по формулеgiy)^fl^{y)]\^'(y)\Учитывая, что f (х) = 1/л| * ' ( у ) | « 1 / К ' 1 — У * , получим.(следовательно,/ [if (у)] = 1/я)иВ(у)^1/{л}ГГ:1у^).125Так как y = sinx, причем — л/2<д?<л/2, то ^1 < у < t #Таким образом, в интервале (—1, 1) имеем ^ (у) = 1/(я К 1"~У*)*> внеэтого интервала g(y)«=0.Контроль:1111dyg(y)^y-1^l1^ 2 Лdy2 aroslny=-rо= 2/л-л/2=1.о384.
Случайная величина X распределена равномернов интервале (О, л/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины У «=^sinX.385. Заданаплотностьраспределения случайной величины X: f {х) «= 1/я в интервале (—я/2, л;/2); вне этогоинтервала / (х) =» О. Найтиплотность распределения g (у)случайнойвеличины Y =PN«. 8= igX.386, Случайная величина X распределена равномернов интервале (О, 2я). Найти плотность распределения g(y)случайной величины У = созХ.Решение.
Найдем плотность распределения f{x) случайнойвеличины X: в интервале (О, 2л) имеем/(jc) = l/(2n-.0) = I/2n;вне этого интервала /(jc) = 0.Из уравнения y=cos.v найдем обратную функцию Д^='ф(у).Так как в интервале (О, 2д) функция y=cos;c не монотонна, торазобьем этот интервал на интервалы (О, я) и (я, 2я), в которыхэта функция монотонна (рис. 8). Б интервале (О, я) обратная функция tfi (у) = агссоз у; в интервале (я, 2я) обратная функция я|?2(у)«=—arccosy. Искомая плотность распределения может быть найденаиз равенстваg{y)=n^i{y)]-\4^(y)\+f№(у)]-|^(у)1(*)Найдем производные обратных функций:4i (у) = (arccosу)'=—1 / y i — y ^ , tjja (у) = (— arccosу)'.
.1/УГ=¥'.Найдем модули производных:k'i^|=i/in^=F. \^(у)\ = 1/УТ:=^.Учитывая, что /(дс) = 1/2я, получим/1Ф1(У)1 = 1/2л, /1Фа(у)] = 1/2я.126(••)(*•*)Подставляя (**) и (***) в (*), имеем18{У)='.112я У \—у^2пУ\—у^пУГ^Так как y^cosx,причем О < л; < 2л, то —1 < у < 1. Таким обра*зом, в интервале (-^1, 1) искомая плотность распределения g ( y ) «» 1 / ( л У 1*^у^)\ вне этого интервала g{y)=b.Контроль:{8(y)^y^LJ ^^^' ^л J-1r_J^=^=.2_f_i==.==.4.arcsinl«Ух^угп\ у Т = ряО*•!= 2/л-л/2=1.387.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
