1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 26
Текст из файла (страница 26)
У) — „2 (16Н-А:2) ( 2 5 + У « ) •Найти функцию распределения системы.Указание.Использовать формулууX— во — о »415. Задана двумерная плотность вероятности системыдвух случайных величин: f (х, у) = (1/2)-sin{х-^-у) в квадрате О :С л: ^ я/2, О ^ у ^ я/2; вне квадрата / (л:, у) = 0.Найти функцию распределения системы (X, К).416. В круге л:^+У^^^^ двумерная плотность вероятности f{x, y)=C(R — Vx^ + y^)\ вне круга f{x,y) = 0.Найти: а) постоянную С; б) вероятность попадания случайной точки (X, К) в круг радиуса г==1 с центромв начале координат, если /? = 2.Р е ш е н и е , а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:J J С (/?—К^^Н^) <^^ d|/ = l.(О)ОтсюдаС = 1 Д J (/?- }^х^ + у^) dx dy.(О)141Перейдя к полярным координатам» получим2яRC = l / J d9 5(/?-p)pdp=3/(«/?»).о об) По условию» R^2; следовательно, С=д/(8л) я/ (Дг.
У) = (3/8л) ( 2 - )/ж«+у«).Вероятность попадания случайной точки (X, К) в круг радиусаге=1 с центром в начале координат (область D])Р ИХ. Y) с Dil =(3/8л) 5 J ( 2 - Vx^+y^) dx6y.Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомуювероятность:2я1P = (3/8n)J dq) J (2-р)р dp = 1/2.Оо417« Поверхность распределения системы случайныхвеличин (X, Y) представляет собой прямой круговойконус, основание которого—круг с центром в началекоординат.
Найти двумерную плотность вероятностисистемы.У к а з а н и е . Перейти к полярным координатам.418. Задана двумерная плотность вероятности f{x, у)==C/r(9+^)(16+y*)J системы (X, К) двух случайныхвеличин. Найти постоянную С.419« Задана двумерная плотность вероятности f(x^y)=«=C/(x*+V + l)* системы случайных величин (X, Y).Найти постоянную С.У к а з а н и е . Перейти к полярным координатам.420. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин:F(x.y)=^= 1 +2"'—г'^+г"'"^; вне первого квадранта F(JC, > ' ) = 0 .
Найти: а)двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки {X, Y) в треугольник с вершинами А (1; 3),5(3; 3), С(2; 8).§ 2. Условные законы распределения вероятностейсоставляюи|их дискретной двумерной случайнойПусть составляющие X и К дискретны и имеют соответственноследующие возможные значения: х^ Xt» •*•* Хп$ у и Уг* •••^Ут*Условным распределением составляющей X при Y^yj (/ сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Л) на142зывают совокупность условных вероятностейР {Ч I Уу), Р (Х2 I У/)Р(Хп\ У/)'Аналогично определяется условное распределение Y.Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам, , , Р (Xi, У/), , .
Р (^i' yj)Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что суммавероятностей условного распределения равна единице.421. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y)\XY^1 = 0 , 41/2 = 0 , 8;с, = 2;г, = 5дг,=80,150,050,300,120,350,03Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющейX при условии, что составляющая Y приняла значениеi/i==0,4; в) условный закон распределения У при условии,чтоХ = А:2 =5.Р е ш е н и е , а) Сложив вероятности «по столбцам», напишемзакон распределения X:X258р 0,20 0,42 0,38Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения у:У 0,40,8р 0,80 0,20б) Найдем условные вероятности возможных значений X приусловии, что составляющая Y приняла значение yi = 0,4:Р (xi I yi)==p{xi, yi)/p (^0 = 0,15/0,80 = 3/16,Р ix2 \yi) = P (X2, yi)/P (Ух) = 0,30/0,80 = 3/8,P (^3 \yi) = P (Хз.
yi)lP (l/i) = 0,35/0,80 = 7/16.Напишем искомый условный закон распределения X:X258р{Х\уг)8/16 3/8 7/16К о н , т р о л ь : 3/16 + 3/8 + 7 / 1 6 = 1 .в) Аналогично найдем условный закон распределения К:У0,4 0,8Р{У\Х2)ЪП 2/7К о н т р о л ь : 5/7 + 2/7 = 1,143422. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):XY101418360,250,150,320,100,050,13Найти: а) условный закон распределения X при условии, что К = 10; б) условный закон распределения У приусловии, что Х = 6.§ 3. Отыскание плотностей и условных законовраспределения составляющих непрерывнойдвумерной случайной величиныПлотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распреде*1ения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:ОСX/ i W == J / (X' У) dy>h (У) =- 5 / (X, у) Ах.— се— ооЗдесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y~-у называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей К:V(x\y)-Jjx, у)hiy)fix, у)«dx5 fix.
У)Аналогично определяется условнаясоставляющей Y:5плотность распределенияfix.y)dyЕсли условные плотности распределения случайных величин Xи Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.Равномерным называют распределение двумерной непрерывнойслучайной величины (X, У), если в области, которой принадлежат144все возможные значения (х, у), плотность совместного распределениявероятностей сохраняет постоянное значение.423.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)/(X,1/)=1е-^1/2)(ДГ*+2ДГ//+5|,*)^Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.Р е ш е н и е , а) Найдем плотность распределения составляюи;ей X:ОООБВынесем за знак интеграла множитель е""**/*'^, не заиисяш.ий отпеременной интегрирования у, и дополним оставшийся показательстепени до полного квадрата; тогда— ОСXd(V'bi2y+V'2ibx).Учитывая, что интеграл Пуассона\ e-«*dw= |/^л, окончатель— 00но получим плотность распределения составляющей X:/i(A:)-K"27(5^e-^'*^'.Аналогично найдем плотность распределения составляющей У:/2(|/)=^^27Не-2Д'*.б) Найдем условные плотности распределения составляющих.Выполнив элементарные выкладки, получим:/2 \У)У 2л/1 WУ 2л424.
Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)fix, i/) = Ce~^*-2^^-^*.Найти: а) постоянный множитель С; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.425. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины /(х, (/) = cosx*cosy145в квадрате О ^ х ^ я / 2 ,0^у^п/2\вне квадрата/ (^% у) == 0. Доказать, что составляющие ХиУ независимы.У к а з а н и е . Убедиться, что безусловные плотности распределения составляющих равны соответствующим условным плотностям.426. Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) распределена равномерно внутри прямоугольникас центром симметрии в начале координат и сторонами2а и 26, параллельными координатным осям.
Найти:а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.427*. Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) распределена равномерно внутри прямоугольнойтрапеции с вершинами 0(0; 0), Л (0; 4), В{3; 4), С (6; 0).Найти: а) двумерную плотность вероятности системы;б) плотности распределения составляющих.428.
Непрерывная двумерная случайная величина(X, Y) равномерно распределена внутри прямоугольноготреугольника с вершинами 0 ( 0 ; 0), Л (0; 8), В(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.429*. Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами Л ( — 6 ; 0 ) , i5(—3; 4), С(3; 4), Z)(6;0). Найти:а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.§ 4. Числовые характеристики непрерывной системыдвух случайных величинЗная плотности распределения составляющих ХиУнепрерывной двумерной случайной величины {X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:00М(Х)=J xft (X) dx,« 0 0iW (К) = J yf2 {у) dy.— 0000D(X)= J [x-M{X)]^h{x)dx^— OO005— 00— OOOOQO— 00—00x^fy{x)dx-[M(X)\^'.Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумернуюплотность вероятности (двойные интегралы берутся по области воз146можных значений системы):^ W = 5 J [х-МD(Y)=^^ly~.И(X)]V (;г, у)Лх6у^^^x^f (X, у) их 6у--1М(К)1 V (X, I/) djcd£/ = 5 J i/V (jr, у) dx ду-[М(Х)]\(Y)]\Начальным моментом v/t, s порядка k-{-s системы (X, К) называют математическое ожидание произведения X^Y^:Vk.s^-MlXf^Ys].В частности,Vi.o = ^i(X), Vo.i = Ai(K).Центральным моментом [ifi^ s порядка Ar + s системы (Л", Y) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно к'й и S-H степеней:цл,, = .
И { [ Х - Л 1 ( Х ) 1 * 1 К - / И {¥)]*).В частности,И. o = ^W [ Х - . И (X)] = 0 , цо. i=^W [ К - М (Y)] = 0 ;Ц2.о = >И [ Х ^ М (X)]2==D(X), Mo.2 = M [K--M (K)]«=D(K).Корреляционным моментом \ixy системы (X, Y) называют центральный момент ^ii i порядка 1 + ^«\Хху=М {[Х-^М (X)blY-M(Y)]).Коэффициентом корреляции величин X и К называют отношениекорреляционного момента к произведению средних квадратическихотклонений этих величин:Коэффициент корреляции—безразмерная величина, причем | Гху К 1.Коэ4)фициент корреляции служит для оценки тесноты л и н е й н о йсвязи между X и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициентакорреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютнаявеличина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.Коррелированными называют две случайные величины, если ихкорреляционный момент отличен от нуля.Некоррелированными называют две случайные величины, если ихкорреляционный момент равен нулю.Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так инекоррелированными.
Из независимости двух величин следует ихнекоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделатьвывод о независимости этих величин (для нормально распределенныхвеличин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).Для непрерывных величин X и К корреляционный момент можетбыть найден по формулам:осМхг, = SсоS ix-Л^ (^)1 ly-^i(У)] f (X, у) их ду,— 00—00ОСM^j, = 5— XООI xyf (х, у) dx dy-M(X) М (К).— 00147430. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, К):fi^^^ ^хуе-^'-у' ( x > 0 , у > 0 ) ,ГКХ.у)^^^( А : < 0 или | / < 0 ) .Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.Р е ш е н и е , а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X:/i(x) = J /{X, у) dy = 4xe-** J ye-^»dy==2xe-*' (x > 0).Аналогично получимft(y)=-2ye-y^(y>0).Найдем математическое ожидание составляющей X:М (X) == J xft (х) djc = J jc.(2xe-** dx).00Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона \ e"***djc=_о _= Уп/2, получим М (X) = Уп/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
