1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Метод момеитовМетод моментов т о ч е ч н о й о ц е н к и неизвестных параметровзаданного распределения состоит в приравнивании теоретическихмоментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.Если распределение определяется о д н и м п а р а м е т р о м » тодля его отыскания приравнивают один теоретический момент одномуэмпирическому моменту того же порядка.
Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: Vi=sAfx. Учитывая,1ITO Vi=sM(X) и Aii=XB, получимМ(Х)-1,.(•)Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (*)относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.Если распределение определяется д в у м я п а р а м е т р а м и , топриравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальномуэмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моментувторого порядка:163Учитывая, что Vi=M(X),Mi^x^,^i2=Z)(X), та==Ов, имеем\ D ( X ) = DB.Левые части этих равенств являются функциями от неизвестныхпараметров, поэтому, решив систему (**) относительно неизвестныхпараметров, тем самым получим их точечные оценки.Разумеется, для вычисления выборочной средней дсв и выборочной дисперсии DB надо располагать выборкой Xi, Хг, ...,л:„.471.
Случайная величина X распределена по законуПуассонагде m—число испытаний, произведенных в одном опыте;Х/—число появлений события в t-м опыте.Найти методом моментов по выборке х^, AT^, . . . • х„точечную оценку неизвестного параметра Я, определяющего распределение Пуассона.Р е ш е н и е . Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка V] начальному эмпирическому моменту первого порядка Afi:Vi=Mi.Приняв во внимание, что Vi==Al(X), Mi = x'^, получим Л1(Х) = дг^1.Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассонаравно параметру к этого распределения (см.
задачу 207), окончательно имеемk=Xji.Итак, точечной оценкой параметра X распределения Пуассонаслужит выборочная средняя: Х*=дгв.472. Случайная величина X (число семян сорняков впробе зерна) распределена по закону Пуассона. Нижеприведено распределение семян сорняков в п = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество х^ сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота/I/—число проб, содержащих х^ семян сорняков):л:,.О123456п^ 405 366 175 40842Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона•У к а з а н и е . Использовать решение задачи 471.473.
Случайная величина X (число нестандартныхизделий в партии изделий) распределена по закону Пу164ассона. Ниже приведено распределение нестандартныхизделий в п = 200 партиях (в первой строке указаноколичество л:,- нестандартных изделий в одной партии;во второй строке указана частота м,- — число партий,содержащих Xi нестандартных изделий):АГуО1234rii132 4320 32Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.474. Найти методом моментов по выборке Xj, х^, . .
. ,Хп точечную оценку параметра р биномиального распределениягде Х( — число появлений события в /-м опыте (/ = 1, 2,. . . , /г), т — количество испытаний в одном опыте.У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка.475. Случайная величина X (число появлений события А ъ т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределениечисла появлений события в 10 опытах по 5 испытанийв каждом (в первой строке указано число Xi появленийсобытия А в одном опыте; во второй строке указаначастота л,- — количество опытов, в которых наблюдалосьXi появлений события Л):X,.л,.О512213141Найти методом моментов точечную оценку параметра рбиномиального распределения.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 474.476. Найти методом моментов по выборке х^, Xg, . . . ,Хп точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого f{x) = Xe-'^^(х>0).477. Случайная величина X (время работы элемента)имеет показательное распределение f{x) = Xe-^ (х^О).Ниже приведено эмпирическое распределение среднеговремени работы п = 2 0 0 элементов (в первой строке при165ведено среднее время х^ работы элемента в часах; во второй строке указана частота щ—количество элементов»проработавших в среднем Х/ часов):Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5л^ 133 45 15421Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 476.478. Найти методом моментов точечную оценку параметра р (вероятности) геометрического распределенияP(X = Xi) = {}—pY'''^-pf где X/—число испытаний, произведенных до появления события; р—вероятность появления события в одном испытании.У к а з а н и е . Принять во внимание, что М(X) = 1/р (см. задачу 222).479. Найти методом моментов оценку параметра ргеометрического распределения Р{Х = х^) = {1—ру^'^-р^если в четырех опытах событие появилось соответственнопосле двух, четырех, шести и восьми испытаний.480. Найти методом моментов по выборке х^, х,, ...»Хп точечные оценки неизвестных параметров а и р гамма-распределения, плотность которого/(^) = ра^хг\а+1)^^^"^^ ( а > - 1 .
Р > 0 , х > 0 ) .Р е ш е н и е . Для отыскания двух неизвестных параметров необходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретическиймомент первого порядка Vi начальному эмпирическому моменту первого порядка Ml и центральный теоретический момент второго порядка fis центральному эмпирическому моменту второго порядка т^;Учитывая, что Vi = Ai(X), Мг^х^^ ^ia=Z>(X), m^^D^, имеемГЛ1(Х)=7,.*.Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения соответственно равны Л1 (Х) = (а+1)Р» D(X)=(aH-l)p* (см. задачу 302), поэтому (^) можно записать в виде/(а+1)р=7„Ua+1)P*=I>B.Решив эту систему, окончателыю^ получим искомые JFOчeчныeоценки ненэтестяых параметров: а*=(х^)^/0,^—1, ^*=0^/х^'16в481. Случайная величина X (уровень воды в реке посравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению,плотность которого определяется параметрами а и Э(а>—1, р>0):Ниже приведено распределение среднего уровня воды поданным /г = 45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды х^ (см); во второй строке приведеначастота п^- — количество паводков со средним уровнемводы JC,):Xi 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350п ^ 1 3 6 7754 8 4Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и р рассматриваемого гамма-распределения.Р е ш е н и е .
Используем точечные оценки параметров гаммараспределения (см. задачу 480):OC*=(7B)VZ)B-1,Р*=^ВМВ.ППо заданному распределению легко найдем выборочную среднююи выборочную дисперсию: х^=1&6, DB = 6782.Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получимискомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемогогамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86.482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.Испытания пяти элементов дали следующие наработки(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250,300.
Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и р , которыми определяется гаммараспределение.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 480. Учесть, чтообъем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления параметров а и р вместо выборочной дисперсии подставить исправленную дисперсию s^ = 'Lni(Xi—х^)^/(п — 1).483. Найти методом моментов по выборке лг^, Xg, .
. . ,Хп точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения, плотность которого/(л:) = —i=e-<^-«>V(2a«).У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический моментпервого порядка и центральный теоретический момент второго порядка соответствующим эмпирическим моментам.167484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала; подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрамиа и о.
Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала п = 200 изделий (в первой строкеуказано отклонение х^- (мм); во второй строке приведеначастота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf):Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3п^ 6926 25 30 26 21 24 2085Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и о нормального распределения.У к а з а н и е .
Использовать задачу 483.485. Найти методом моментов по выборке х^, дг^, ...»х„ точечные оценки параметров а и b равномерного распределения, плотность которого / (х) = 1/(6—а) (6 > а).У к а з а н и е . Использовать решения задач 313, 315.486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и Ь.Ниже приведено эмпирическое распределение среднейошибки л = 200 измерений дальности (в первой строкеуказана средняя ошибка л:,-; во второй строке указаначастота п^—количество измерений, имеющих среднююошибку АГ/):л:,.
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и Ь равномерного распределения.У к а з а н и е . Использовать задачу 485.487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, . . . ,л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд«двойного распределения» Пуассона1*\Х= Xf) = -оГ •Х^'е~^«;1h "о* •Х^'е~^«i— »где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ иЯа—положительные числа, причем X2>^i.Р е ш е н и е . Если случайная величина Z распределена по законуПуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты168первого и второго порядка соответственно равны (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
