1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 31
Текст из файла (страница 31)
приложение 2), при котором Ф (О = Y/2; п р и н е и з в е с т н о м а (и объеме выборки /г < 30)^в —^v (s/Vn) <а < x^ + tyls/Уп),где S—«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице приложения 3 по задан]ным п и у.2. Интервальной оценкой (с надежностью у) среднего квадратического отклонения а нормально распределенного количественногопризнака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал$(1 —(7) <о < s(\+q)(при q < 1),О < о < 5 ( 1 + ^ ) (при д > 1),где q находят по таблице приложения 4 по заданным п и у.3. Интервальной оценкой {с надежностью у) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте wслужит доверительный интервал (с приближенными концами pi и ра)Pi < Р < Р2»гдегде п—общее число испытаний; т — число появлений события; w —относительная частота, равная отношению т/п; t — значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(t)=^y/2(у — заданная надежность).З а м е ч а н и е .
При больших значениях п (порядка сотен)можно принять в качестве приближенных границ доверительногоинтервала. т/^а;(1—о/), . т/^а/(1—w)Pi==W"^i у-i-jj'-, p^^w + i у- ^i.501. Найти доверительный интервал для оценкис надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение а = 5, выборочная средняя х^= 14и объем выборки п = 25.Р е ш е н и е . Требуется найти доверительный интервалУ пу п175Все величины, кроме t, известны.
Найдем / из соотношенияф ( / ) = 0 , 9 5 / 2 = 0 , 4 7 5 . _ По таблице приложения 2 находим ^ = 1,96.Подставив / = 1,96, Зсв = 14, а = 5 , л = 2 5 в (*), окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96.502. Найти доверительный интервал для оценкис надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение^ а, выборочная средняяХв и объем выборки п: а) а = 4, х^= 10,2, п = 16; б) а = 5,л:з==16,8, п = 25.503. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений0 = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью Y = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений Хв = 2000 м,Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.504.
Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горениялампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, еслиизвестно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы а = 40 ч.
Предполагается,что продолжительность горения ламп распределена нормально.505. Станок-автомат штампует, валики. По выборкеобъема /1= 100 вычислена выборочная средняя диаметровизготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность б, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков,зная, что их среднее квадратическое отклонение а = 2 мм.Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.506. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна б = 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение а = 1,2 нормально распределеннойгенеральной совокупности.176Р е ш е н и е .
Воспользуемся формулой, определяющей точностьоценки математического ожидания генеральной совокупности повыборочной средней: Ь=^1о1У^п, Отсюдаn=.i^o^lb^.(•)По условию, Y==^»^75; следовательно, Ф(/) =0,975/2 = 0,4875. Потаблице приложения 2 найдем t =2,24, Подставив t =2,24, а = 1 , 2и 6 = 0,3 в (•), получим искомый объем выборки /г = 81.507. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральнойсовокупности по выборочной средней равна 0,2, еслиизвестно среднее квадратическое отклонение генеральнойсовокупности а = 1 , 5 .508. Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема л== 10:варианта х^ —2 1 2 3 4 5частота п^ 2 1 2 2 2 1Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральнойсовокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.Р е ш е н и е .
Выборочную среднюю и «исправленное» среднееквадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:•у^Щ^Подставив в эти формулы данные задачи, получим х^ = 2, s = 2 , 4 .Найдем / . Пользуясь таблицей приложения 3, по у =0,95 и/2=10 находим / =2,26.Найдем искомый доверительный интервал:Хв — tySl Уп<а< 'x^ + t^sl Уп.Подставляя х^ = 2, / =2,26, s = 2,4, л = 10, получим искомый доверительный интервал 0,3 < а < с 7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.509, Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема п= 12:варианта лг/ —0,5 —0,4 —0,2 О 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5частота ri^ \21 1 1 1 1 1 21Оценить с надежностью 0^95 математическое ожидание анормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.177510. По данным девяти независимых равноточныхизмерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений л:в==30,1 и«исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6.Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.Р е ш е н и е .
Истинное значение измеряемой величины равно еематематическому ожиданию а. Поэтому задача сводится к оценкематематического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверительного интервалаXB — t^s/Уп <а< x^ + t^s/Vn.(*)Все величины, кроме / , известны. Найдем / .
По таблице приложения 3 по Y = 0,99 и п = 9 находим /^ = 2,36.Подставив 1св = 30,1, /^ = 2,36, s = 6, л = 9 в (•), получим искомый интервал: 25,38 < а < 34,82.511. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величинь^ найдены среднееарифметическое результатов измерений ;Св=42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s==8. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью Y = 0,999.512. По данным выборки объема п = 1 6 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = l нормально распределенногоколичественного признака.
Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическоеотклонение а с надежностью 0,95.Р е ш е н и е . Задача сводится к отысканию доверительного интервалаs(l—(7) <о < s{l+q)(если q < 1),(*)илио < о < s(\ + q) (если q > 1).По данным 7 = 0,95 и п = 16 по таблице приложения 4 найдем<7 = 0,44. Так как q < \, то, подставив s = l , </=0,44 в соотношение (•), получим искомый дорерительный интервал 0,56 < а < 1,44.513. По данным выборки объема п из генеральнойсовокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s.
Найти доверительный интервал,178покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999, если: а) п = 1 0 , s = 5,l;б) /t = 50. s = 1 4 .514. Произведено 12 измерений одним прибором (безсистематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическоеотклонение s случайных ошибок измерений оказалосьравным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.Р е ш е н и е . Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтомузадача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего а с заданной надежностью Y = 0 , 9 9 :s(l-q)<a<s{\+qy(•)По данным Y=^»^^ и /1 = 12 по таблице приложения 4 найдемq=0,9.
Подставив 5 = 0 , 6 , ^==0,9 в соотношение (*)» окончательнополучим 0,06 < а < 1,14.515. Произведено 10 измерений одним прибором (безсистематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическоеотклонение s случайных ошибок измерений оказалосьравным 0,8. Найти точность прибора с надежностью 0,95.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.516. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, еслив 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
