1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 30
Текст из файла (страница 30)
задачи 207,227):Vi = Af(Z)==^,Найдем начальные теоретические моменты первого и второгопорядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотношения (*):Vi = M (X) = A,,/2 + X2/2=(Xi + X2)/2,V2=Af(X2) = (l/2)(^i + A?)+(l/2)(X2 + ^ l ) = V i + ( > . ? + X i ) / 2 .Отсюда/Xi + X2 = 2vb\Xf + X| = 2v2 —2vi.Решив эту систему относительно неизвестных параметров, принявво внимание, что Лг > Ki, получим:^i = vi —Kv2-—Vi —V?, X2 = V i + K Va —Vi —V?.488. Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:1 Xfe-^*1 Ц^e-^*Р (2С = X:) == "7Г •iЬ 7Г "i•Ниже приведено эмпирическое распределение числапоявлений события в л = 327 испытаниях (в первойстроке указано число х,- появлений события; во второйстроке приведена частота n^• — количество испытаний,в которых появилось Х/ событий):X,.
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10п^ 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 1Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров Х^ и К^ «двойного распределения» Пуассона.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 487. Вычислить повыборке начальные эмпирические моменты первого и второго порядков:Ml = ( 2 niXi)/n, Af 2 = ( 2 ^i^b/^§ 3.
Метод наибольшего правдоподобияМетод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестныхпараметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.А. Дискретные случайные величины. Пусть X—дискретная случайная величина, которая в результате «опытов приняла возможные значения Xi, х^, . . . , л:„. Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр в , которым оп169ределяетсяэтотзакон;требуетсянайтиего точечную оценкуОбозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение Xi через p(Xi\ 0 ) .Функцией правдоподобия дискретной 'случайной величины Xназывают функцию аргумента 0 :ЦхиХ2, ...,Хп\ 0) = p(-ti; е)'Р(Х2\ в)...р(Хп\0).Оценкой наибольшего правдоподобия параметра 0 называюттакое его значение 0*, при котором функция правдоподобия достигает максимума.Функции L и In L достигают максимума при одном и том жезначении 0 , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут,что удобнее, максимум функции In L.Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию InL.Точку максимума функции InL аргумента 0 можно искать, например, так:1 и чd InL1.
Найти производную,^ *2. Приравнять производную нулю и найти критическую точку0*— корень полученного уравнения (его называют уравнениемправдоподобия).о 1л *dMn03. Найти вторую производную.^д ; если вторая произэоднаяпри 0 = 0* отрицательна, то 0*—точка максимума.Найденную точку максимума 0* принимают в качестве оценкинаибольшего правдоподобия параметра 0 .Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X—непрерывнаяслучайная величина, которая в результате п испытаний принялазначения Хи Х2, . . .
, ж„. Допустим, что вид плотности распределения—функции f {х) — задан, но неизвестен параметр 0 , которым определяется эта функция.Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины Xназывают функцию аргумента 0 :L(;fi, Jfa, - . . , Jf«; B)==f(xu ^)f(X2\ e)...f{x„;0).Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметрараспределения непрерывной случайной величины ищут так же, какв случае дискретной случайной величины.Если плотность распределения f(x) непрерывной случайнойвеличины определяется двумя неизвестными параметрами 0 i и 02,то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов 02 и 02:L = f{Xi; 0 1 , 02)-/(-^25 ^1» ^2)* • 'f {^п* ©It ®а)-Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и дляотыскания ее максимума составляют и решают системуdlnL489. Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р (вероятность170появления события в одном испытании) биномиальногораспределения:тле Х(—число появлений события в I-M опыте, т—количество испытаний в одном опыте, п—число опытов.Р е ш е н и е .
Составим функцию правдоподобия:L=-p{xt; е)р(х2\е)...р(хп;в).Учитывая, что В=ри Р {X=Xi)=C^p^^(I—р)'""*', получимИЛИL^iC^^C^f. . . C^n\.pXt+Xt+ ,,,+Xn,^ip^nm^{Xt+Xt+ ..,-¥Xn)Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:\nL=^\n\C';^C^^...C^^\+{^Xi)\np^{nm-^^x^Найдем первую производную по р:dpр^^^d 1' I — рПриравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точкур==(2дг/)/(пт).Найдем вторую производную по р:Легко убедиться, что при p=\^Xi)l{nm)вторая производнаяотрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и еенадо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности р биномиального распределения:Р*=(.2л:/)/(пт).Очевидно, что если Х{ появлений события наблюдалось в гцопытах, тор»=(2п/д?/)/(лт).490. Случайная величина X (число появлений события А ъ т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р.
Ниже приведено эмпирическое распределениечисла появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число лг/ появлений события в одномопыте из т = 1 0 испытаний, во второй строке приведеначастота П/—число опытов, в которых наблюдалось х^171появлений события А):jc;012 3 45 6 7/г,. 2 3 10 22 26 20 12 5Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра р биномиального распределения.Указание.Использовать задачу 489.491.
Случайная величина X (число появлений события А в / п независимых испытаниях) подчинена законураспределения Пуассона с неизвестным параметром К:Р , ( Х = х,) = Я^^-е-^л:,!,где т—число испытаний в одном опыте, х^—число появлений события в t-M опыте ( / = 1 , 2, . . . , м).Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xi, jCg, . . . , х„ точечную оценку неизвестного параметра к распределения Пуассона.492. Случайная величина X (число поврежденныхстеклянных изделий в одном контейнере) распределенапо закону Пуассона с неизвестным параметром Я. Нижеприведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строкеуказано количество х^ поврежденных изделий в одномконтейнере, во второй строке приведена частота П/ —число контейнеров, содержаш.их х^ поврежденных изделий):А:,.
О1 2 3 4 5 6 7/г,. 199 169 87 31 9 3 1 1Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.Указание.Использовать задачу 491.493. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xj^y ^2, . . . , х^ точечную оценку неизвестногопараметра X показательного распределения, плотностькоторого / (х) == Хе- ^-^ (х ^ 0).Решение.Составим функцию правдоподобияL^f(xг;e)•f{x2^e)...f{Xn;в),учитывая, что в = Х и, следовательно, f (х; 0)=/(дг; Х)=Ле""^^:L = (Xe-^^0(>^e-^^') .
. . (>^е-^^«) = Я«.е~^2^|172Найдем логарифмическую функцию правдоподобияхIn L = « In Я,—к ^ j Xf,Найдем первую производную по X:-—.=n/X-2jX,:Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первуюпроизводную нулю: п/Х—^Xi = 0, Найдем критическую точку, длячего решим полученное Уравнение относительно к:Найдем вторую производную по X:dMnLdA,2(-«)А^Легко видеть, что при Я, = 1/Хв вторая производная отрицательна;следовательно, эта точкг^ есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину,обратную выборочной средней: А,* = 1Дв-494.
Случайная величина X (время безотказной работыэлемента) имеет показательное распределение f {х) = Ке'^(х^О),Ниже приведено эмпирическое распределениесреднего времени работы 1000 элементов (в первой строкеуказано среднее время х^ безотказной работы одногоэлемента в часах; во второй строке указана частотап,.—количество элементов, проработавших в среднем Jt^часов):Х( 5 15 25 35 45 55 65п,.
365 245 150 100 70 45 25Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра К показательного распределения.Указание.Использовать задачу 493.495. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xi, ^2, . . . э х„ точечную оценку параметра р гаммараспределения (параметр а известен), плотность которого/(х) ==——-iл^е~^/Р ( а > — 1 , р > 0 , А : > 0 ) .496.
Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.Испытания пяти элементов дали следующие наработки173(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125,250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобияточечную оценку одного неизвестного параметра Э гаммараспределения, если второй параметр этого распределения а= 1,12.У к а з а н и е . Использовать задачу 495.497.
Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке д^1, x^f ...» Хп точечную оценку параметра ргеометрического распределения:Р ( Х = л:,) = (1-рГ/-"^.р,где Xi—число испытаний, произведенных до появлениясобытия; р — вероятность появления события в одномиспытании.498. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке ^1, х,, . . . , х„ точечную оценку параметра а(параметр а известен) распределения Кэптейна, плотность которогоаУ 2пгде g{x)—дифференцируемая функция.499. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке JCj, дгд, . .
. , Хп точечную оценку параметра о(параметр а известен) распределения Кэптейна (см.задачу 498).500. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xj, Хд, . . . , х„ точечные оценки параметров а ио нормального распределения, плотность которого/ (х) = —i=e-<*-«>V(2o«).Указание.Составить и решить системуд\пЬ^ д\п1^§ 4. Интервальные оценкиИнтервальной называют оценку, которая определяется двумячислами—концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью у покрывает заданный параметр.1. Интервальной оценкой (с надежностью у) математическогоожидания а нормально распределенного количественного признака Xпо выборочной средней х^ п р и и з в е с т н о м с р е д н е м к в а д 174р а т и ч е с к о м о т к л о н е н и и а генеральной совокупности служит доверительный интервалХп — < (о/ Vn) <а< 3^в+ t (о/ }Гп),где t {а/Уп)=:б—точностьоценки, п—объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа Ф (t) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
