1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Независимые случайные величины X и Y заданыплотностями распределений:/iW = (l/3)e-*/» (0<х<оо), Му) = {1/5)е-У/^{0^у<оо).Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z=»X + Y.404. Независимые нормально распределенные случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:ft W = (1/К2^) e--V2, f^ (у) ^ (1/J/-2H) e-^va.Доказать, что крмпозиция этих законов, т.
е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y^также есть нормальный закон.00Решение.Используем формулу g(z)^= \ /i (х) /а (г—х) dx.Тогда0D134Выполнив элементарные выкладки, получимGO— 00Дополнив показатель степени показательной функции, стоящейпод знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем е^'^* за знакинтеграла:00— 00Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равенства, равен 1^д , окончательно имеем g(z)—^^^ ^^ *У2п00Рекомендуем для контроля убедиться, что\ g(z)d2=liДля— 00этого следует воспользоваться подстановкой г=}^2•/ и принять восовнимание, что интеграл Пуассона \ e'"^*''^d/= У 2л .Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться, чтоM(Z) = M(X) + M(Y) и а ( 2 ) = / " а 2 ( Л : ) + а2(К).Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композицииобщих нормальных законов (т.
е. если математическое ожиданиеотлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равноединице).405. Заданы плотности распределений независимыхравномерно распределенных случайных величин X и V:/i(jc)=l/2 в интервале (0,2), вне этого интервала/2(^) = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала/a(t/) = 0.Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
Построить графикплотности распределения g{2).Р е ш е н и е . По условию, возможные значения X определяютсянеравенством О < х < 2, возможныезначения V — неравенствомО < 1/ <2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; У)расположены в квадрате О ABC (рис.
9, а).По определению функции распределения,С (г) = Я (Z < Z) = Р (X4- Y < г),135Неравенству х-{-у < г удовлетворяют те точки {х; у) плоскостикоторые лежат ниже прямой х-]-у = г (эта прямая отсекает наОх и Оу отрезки, равные г); если же брать только возможныечения X и у^ то неравенство х-\ у < г выполняется толькоточек, лежащих в квадрате О ABC ниже прямой х-гу = г.хОу,осяхзнадля£ Z XЧ XРис.
9С другой стороны, так как величины X l^ Y независимы, то0{z)=^^h{x)U{y)dxdy=-j^^dxdy^где 5 — величина той части площади квадрата О ЛВС, которая лежитниже прямой х-\-у=^г. Очевидно, величина площади 5 зависит отзначения г.Если г < ; 0 , T o S = 0 , т. е. G (г) ==(1/4).0 = 0.Если О < г < 2, то (рис. 9, а) G (z) =={\'4) S^ Q^^ =\/4Z^/2=Z^/S.Если 2 < г < 4, то (рис. 9, б) G (г)==(1/4) 5^^^^^^= 1 —(4—z)V8.Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадьюквадрата О ABC, которая, очевидно, равна 2 - = 4 , и площадью прямоугольного треугольника ЯВ/С: S^f^Qf^ = HB'^/2, причем ИВ =2 —— ЛЯ = 2 — Д ^ = 2 — ( г — 2 ) = 4 —2.Если 2г > 4, то G(e) = ( l / 4 ) S o . 4 « c = i / 4 - 4 = l .Итак, искомая функция распределения такова:Опри z < 0 ,г«/8приО < г < 2,0{г)'.1 - ( 4 - г ) 2 / 8 при 2 < 2 < 4,1при 2 > 4.Найдем плотность распределения:^W=-<136О2/41 — 2/4Оприприприпри2^0,о < 2 < 2,2 < 2 < 4,2 > 4.График плотности распределения g (г) изображен на рис.
10.Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограничен*ная кривой распределения g(z), равна единице.406. Заданы плотности равномерно распределенныхнезависимых случайных величин X и Y: Д (х) == 1 в интервале (О, 1), вне этого интервала f^ {х) == 0; /^ (у) == 1 в интервале (О, 1), вне этого интервалаfi{y)^0.Рис. 10Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X+Y.Построить график плотности распределения ^^(г).407.
Заданы плотности распределений равномернораспределенных независимых случайных величин X и У^:/I(JK:)=S1/2 В интервале (1,3), вне этого интервала^i(^)^0; /2(1/)== 1/4 в интервале (2,6), вне этого интервала /^ (у) = 0 . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z^X + Y.Построить график плотности распределения g{z).Глава восьмаяСИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН§ 1 . Закон распределения двумерной случайнойвеличиныДвумерной называют случайную величину (X, К), возможныезначения которой есть пары чисел (JC, у).
Составляющие X и У,рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайныхвеличин.Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М {X; У) на плоскости хОу либо как случайныйвектор ОМ.Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.Непрерывной называют двумерную величину, составляющиекоторой непрерывны.Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и ихвероятностями.137Закон распределения дискретной двумерной случайной величиныможет быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.Функцией распределения вероятностей двумерной случайнойвеличины называют функцию F (х, у), определяющую для каждойпары чисел (х, у) вероятность того, что X примет значение, меньшееX, и при этом Y примет значение, меньшее у:F{x, у)=гР{Х <х, У <у).Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) естьвероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный .левее и ниже этойвершины.Иногда вместо термина «функция распределения» используюттермин «интегральная функция».Функция распределения обладает следующими свойствами:С в о й с т в о 1.
Значения функции распределения удовлетворяютдвойному неравенству0<F(x, I/X1.С в о й с т в о 2. Функция распределения есть неубывающаяфункция по каждому аргументу:Р{Х2, y)^f(xuу), если Х2 > Xi,f (х, У2) ^ f {х, !/i), если У2 > Уг.С в о й с т в о 3. Имеют место предельные соотношения:1) F ( ~ o o , (/)=0,2) F(x, ~ с о ) = 0 ,3) /="(—00, — оо) = 0,4) F(oo, оо) = 1.С в о й с т в о 4. а) При у=оо функция распределения системыстановится функцией распределения составляюш,ей X:F(x, оо) = Л ( х ) .б) При X = 00 функция распределения системы становитсяфункцией распределения составляющей У:^(00»i/)=^2(l/)-Используя функцию распределения, можно найти вероятностьпопадания случайной точки в прямоугольник Xi < X < Хг,У1<У < У2'Р(хг<Х<Х2, У1<У < У2) == [F {Х2.
У2) —F {Хи У2)] —— {Р{Х2> yi) — F(xu yi)]'Плотностью совместного распределения вероятностей (двумернойплотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:f^^'^y^дхду•Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности»используют термин «дифференциальная функция системы».Плотность совместного распределения можно рассматривать какпредел отношения вероятности попадания случайной точки в прямо138угольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника,когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можноистолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения*Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формулеуXF(x.y)^ S S /<^' y)dxdy.Вероятность попадания случайной точки (Х» Y) в область Dопределяется равенствомР[(Х, K)c:D] = 55/(x, y)dxdy.Ф)Двумерная плотность вероятности обладает следующими свой*ствами:С в о й с т в о 1.
Двумерная плотность вероятности неотрицательна:fix,У)^0.С в о й с т в о 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:5 J f{x,y)iixuy=^\.— ао—00В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежатконечной области D, то^\f(x,y)ux6y=^\.(D)408, Задано распределение вероятностей дискретнойдвумерной случайной величины:XY3450,170,10100.130,30120,250,05Найти законы распределения составляющих X и Y.Р е ш е н и е . Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X: р (3) =0,27, р (10) = 0 , 4 3 , р (12)=0,30.Напишем закон распределения составляющей X:X31012р0,270,430,30К о н т р о л ь : 0 , 2 7 + 0 , 4 3 + 0 , 3 0 = 1.Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределение составляющей Y:К45р0,550,45139К о н т р о л ь : 0,55 + 0,45 = 1.409.
Задано распределение вероятностей дискретнойдвумерной случайной величины:Xу2,32.720304 1500.050.090,120.300,080,110.040.21Найти законы распределения составляющих.410. Задана функция распределения двумерной случайной величиныI sin А'-sin г/ при 0^x^nl2,О^у^п/2,F (X, у)^\О при X <0или у <0.Найти вероятность попадания случайной точки (X, У)в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, дг = я/4,у==я/6, х/ = л/3.Р е ш е н и е .
Используем формулуР (X, < X < Х2, У1 < У < Уг) = [^ (^^2. У^ — Р К^ъ Уг)\ —--1^(^2» У\) — ^{^ъ y\)VПоложив Jfi"0, дс2 = -^4э |/1=л/6, У2 = л/3, получимя = [sill (л/4) sin (л/3)-—sin О sin (л/3)|-—— [sin (Л/4) -sin (л/6) —sin 0-sin (л/6)] = ( / б " — К^)/4 =-0.26.411. Найти вероятность попадания случайной точки(Х,У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1 ,х==2, у = 3, 1/ = 5, если известна функция распределенияI 1 — 2-^—2-^ + 2-^-*' при х > 0 , 1/>0,F (х, у)\ Опри л < О или t/ < 0.412. Задана функция распределения двумерной случайной величины( 1—3-^—3-^4-3-^-*' при лг^О, г / > 0 ,Fix.
у)^\ Опри X <0 или у <0.Найти двумерную плотность вероятности системы.Р е ш е н и е . Используем формулу / (х, у) = —— , Найдем частные производные:дх140^" дхдуИтак, искомая двумерная плотность вероятности/ (^, У) — I ^при JC < О или у<0,Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что00 001п«3 f Г 3-'-ydA:dy=I.о о413.
Задана функция распределения двумерной случайной величиныI (1—е-*^)(1—е-*^) при А : > 0 , у > 0 ,^(^» У)->^ Qпри А : < 0 , i / < 0 .Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y).414. Задана двумерная плотность вероятности системыслучайных величин (X, Y)...20/ (Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
