1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Случайная величина X распределена равномернов интервале (—я/2, я/2). Найти плотность распределения gf(i/) случайной величины У = cos X.Зов. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием, равным а, и средним квадратическим отклонением, равным а. Доказать, что линейная функция Y= АХ + В также распределена нормально,причемM{Y) = Aa + B, а(К) = |Л|а.Р е ш е н и е . Напишем плотность распределения случайной величины X:'а Y2nФункция \1^Ах-\-В монотонна, поэтому применима формулаg(y)=/I1'(y)]lt'(y)lПНайдем дг=з^(у) из уравнения у = Ах-^В'.^(у) = (у—В)/А.Найдем / [If (у)]:1(у-В)/А-ауГу-Ма+В)}»/[,1)0,)]=—i==.e"'''=-i^«"а У 2лНайдем ^ ' (у):''^^'•С)аУ2пV(y)=Hy-B)/AY= i/A.Найдем I ф' (у) |:I It'(у) 1 = 1/1 Л |.Подставляя (*•) и (***) в (*), имеем1у-(Аа+вп*(•*•)^^^ ( M i o s i s 'Отсюда видно, что линейная функция Y = AX+B распределенанормально, причем М(У) = Аа + В и а(У) = \ А\а, что и требовалосьдоказать»127389.
Задана плотность /(.v) =е-^'^'^, (—сх><х<оо)нормально распределенной случайной величины X. Найтиплотность распределения g(y) случайной величиныР е ш е н и е . Из уравнения у=^х^ найдем обратную функцию.Так как в интервале (— оо, оо) функция у==х* не монотонна, торазобьем этот интервал на интервалы (— оо, 0) и (О, оо), в которыхрассматриваемая функция монотонна.
В интервале (—оо, 0) обратная функция t|?i((/) = — V^'f в интервале (О, во) обратная функцияИскомая плотность распределения может быть найдена из равенстваg(y)-=f [^1 (У)] 1 yp'i(y) I 4- / [я|:2 (у)] \ i?; (у) |.Г)Найдем производные обратных функций:= - 1 / ( 2 К у).Найдем модули производных:Ф1 (У)I П>; (у) I == 1/(2 VIIУчитывая, что f(x)=t i (У) = 1/(2'Vlh! ^2 (У) I = 1/(2 »^ у).е^-^'^^, ^i(y)=—y^,(*•)М'2(У)=}^^*У 2лполучимП*l(У)l = - i = - e - ^ / ^К 2я/I^,(^/)l = _ L ^ e - ^ / ^К 2л(•••)Подставляя (**) и (***) в (*), имеемТак как у — х*, причем —оо < дс < во, то О < у < оо.Таким образом, в интервале (О, во) искомая плотность распределениявне этого интервала ^(j^)=0.Контроль:Положив у = / ' и, следовательно, di/=s2/d/, получимо128оУчитывая, что интеграл Пуассона \ е"^*^^ d / = ^ " , найдемОСо390.
Задана плотность /(х)== ^ е"^*^^ нормальнораспределенной случайной величины X. Найти плотностьраспределения случайной величины К = (1/2)Х*.391. Заданаплотностьраспределения/(х)====— .Q-x^/zG» Найти плотность распределения g(y)случайной величины У=(1/4)Л'^.392. Случайная величина X задана плотностью распределения / (л:) = (1/2) sin д: в интервале (О, я); вне этогоинтервала /(л:) = 0.
Найти математическое ожидание случайной величины К==ср(Х) = Х*, определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.Р е ш е н и е . Найдем сначала плотность g (у) случайной величины Y. Так как функция y=:zip(x)=^x^ для рассматриваемых значений X (О < X < л)*строго возрастающая, ю плотность g(y) будемискать по формулеg(y)^fl^(y)]\^'(y)U1Де ^(у)='}^'у—функция,обратная функции У^х . ПодставляяФ(У)=К_^ и учитывая, что / (jc) = (l/2) sin х, \}^' (t/)\ = \(VуУ\ == 1/(2 У^ у), получимg(y) = sin V^/{4VD'Найдем искомое математическое ожидание величины К, учитывая,что возможные значения Y заключены в интервале (О, л^) [так каку=д:« и О < д г < л , т о О < ^ < л*]:AMy)=j.g(.)di,=-ij"^^^7^<^^ООПользуясь подстановкой y^t^,получимл'-[M{Y)='-^С/2 s i n / d / .Интегрируя дважды по частям, окончательно имеемM{Y)=М (Л«) = (л* — J)/2.129З а м е ч а н и е . Решение, приведенное выше, преследует учебныецели. Гораздо быстрее ведет к цели формулаяМ [X2] = I.fjc2sinxciA: = (n2 —4)/2,2 ОЭто же замечание относится и к задаче 393.393.
Случайная величина X задана плотностью распределекия /(х)==со5л: в интервале (О, я/2); вне этогоинтервала /(х)==0. Найти математическое ожиданиефункции K«ф(X) = X^394. Случайная величина X задана плотностью распределения /(x)«(l/2)sinjc в интервале (О, л); внеэтого интервала /(л:)=«0. Найти дисперсию функцииу = (р{Х) = Х^, используя плотность распределения g{y)^Р е ш е н и е . Используем формулуdдгде с и d—концы интервала, в котором заключены возможные значения Y.
Подставляя ^(y) = sin V^'y/i V^, М ( К ) « ( л 2 ^ 4 ) / 2 (см.задачу 392) и учитывая, что с = 0 и d^n^ (так как у « х * и О < х < л,то О < у < я*), получимо^ ^Интегрируя сначала с помощью подстановки y = t^, а потомчетырежды по частям, имеемПодставив (•*) в (*), окончательно получимD(X2)=(n*—16л2 + 80)/4.395. Случайная величина X задана плотностью распределения /(X) = COSA: В интервале (О, я/2); вне этогоинтервала/(х) = 0.Найтидисперсию функцииУ к а 3 4 и^и е.
Предварительно найти плотность распределенияg(y)^coa V у/2 У у величины К = Х*; использовать формулуР(У)^130Jy^g{y)dy^[M{Y)]^где Л1(К) = (л2—в)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграласначала воспользоваться подстановкой y = t^t а затем интегрироватьпо частям.396. Ребро куба измерено приближенно, причема^х^Ь.Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале(а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба;б) дисперсию объема куба.Указание.Предварительно найти плотность распределения^^^^^3(Ь^а)у^^^случайной величины y=sX^.
Использовать формулыM(Y)=^ yg(у) 6у,в»^(У)^1 УЧ{у) ^У-[М(К)12.а»397. Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины К==ЗХ + 2.Р е ш е н и е . По определению функции распределения, G {у) == Р (К < у). Поскольку функция ^ = 3JC+2—возрастающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < х^поэтому0{у)^Р {Y < у)^Р{Х < x)^f{x).(*)Из уравнения y=3jc+2 выразим х:х^(у^2)/3.Подставив (**) в (*), окончательно получим(**)0(y)^Fl(y-2)/3].398. Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X.
Найти функцию распределения G (у) случайной величины К » — ( 2 / 3 ) Х 4 - 2 .Решение.По определению функции распределения,0(y)=^P{Y <у).Поскольку функция у = — (2/3)дг+2—убывающая, то неравенствоY < у выполняется, если имеег место неравенство X > х, ПОЭТОМУ'G{y)==P(Y<y)=^P(X>x),События X < X и X > X противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Р {X < х)+Р (X > х)=»1.ОтсюдаР(Х > д:)=1—Р(А: < x)^l-^f(x)\следовательно,С/(//) = 1-/^(лг).(*)131Из уравнения у=:—(2/3)дг+2 выразим х:Х = 3{2^УУ2,(**)Подставив (*•) в (*), окончательно получимC(y) = l - f [3(2--у)/21.399.
Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X. Найти функцию распределения С((/) случайной величины К, если: а) К = 4X4-6; б) К = —5Х+ 1;в) V==aX + b.§ 2. Функция двух случайных аргументовЕсли каждой паре возможных значений случайных величин Xи У соответствует одно возможное значение случайной величины Z,то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут2 = ф(Х, К).Если X и У—д и с к р е т н ы е независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z = X + yfнадо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложитькаждое возможное значение X со всеми возможными значениями У;вероятности найденных возможных значений Z равны произведениямвероятностей складываемых значений X и У.Если X и У — н е п р е р ы в н ы е независимые случайные величины, то плотность распределения ^(г) суммы Z=^x4-y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументовзадана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найденапо формулеосг(г)= 5fi{x)ft(z-x)dx.—»либо по равносильной формулеXйГ(г)= Jft(2-y)f^(y)dy.—Xгде /i и /-2 — плотности распределения аргументов; если возможныезначения аргументов неотрицательны, то плотность распределенияg{z) величины Z==X-\'y находят по формулеголибо по равносильной формулегg(z)^lfi{2-y)h(y)dy.ов том случае, когда обе плотности fi(x) и fziy) заданы наконечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величиныZ = X + y целесообразно сначала найти функцию распределения1320(г),а затем продифференцировать ее по г:д(г) = 0'{г).Если X и У — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения fi(x) и fiiy)* то вероятность попадания случайной точки (Л', Y) в область D равна двойномуинтегралу по этой области от произведения плотностей распределения:Р [{X, К) с D) = \ J Л (л) /2 (у) 6х dy.iD)400.
Дискретные независимые случайные величины Xи У заданы распределениями:X13У24Р0,3 0,7 'Р0,6 0,4Найти распределение случайной величины 2 = Х + У.Р е ш е н и е . Для того чтобы составить распределение величиныZ = X-TY, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:2i = l - p 2 = 3 ; 2 2 = 1 + 4 = 5; гз = 3-|-2 = 5; 24 = 3 + 4 = 7.Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобыZ = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение Xi=l ивеличина У — значение ^ 1 = 2 . Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственноравны 0,3 и 0,6.
Так как аргументы X м Y независимы, то событияХ = \ и К = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события 2 = 3) по теореме умножения равна 0,3 0,6 = 0,18.Аналогично найдем:Р ( 2 = 1 + 4 = 5) ==0,3 0,4 = 0,12;Р (2 = 3 + 2 = 5) = 0 , 7 0,6 = 0,42;Я (2 = 3 + 4 = 7 ) = 0 , 7 . 0 , 4 = 0 , 2 8 .Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий 2 = ^2 = 5, 2 = 2я = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):2357Р0,180,540,28К о н т р о л ь : 0,18 + 0,54 + 0 , 2 8 = 1 .401.
Дискретные случайные величины X и У заданыраспределениями:а) XРб) XР100.440.7120.1100,3'160,5'YРYР10.210,82.0.8'70,2-Найти распределение случайной, величины 2 = Х + У133402. Независимые случайные величины X я Y заданыплотностями распределений:/iW = e-^ (0<АГ<оо). f,iy)^(1/2)е-У/^(0<у<оо).Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X + К .Р е ш е н и е . Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формулажgiz)=^Utix)fz(z-x)dx.Следовательно,гВыполнив элементарные преобразования, получимг(г) = е-^/М1-е-'/«1.Здесь г^О, так как Z^X-^-Y и возможные значения X н Yнеотрицательны.Итак, ^(г)=е"'^/* [1—e"^^*J в интервале (О, оо), вне этогоинтервала ^(z)==0.о»Рекомендуем для контроля убедиться, что \ g(z)dj = l.о403.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
