1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ISИскомаярис. 15.гистограмма относительныхчастот изображена на449. Построить гистограмму относительных частот поданному распределению выборки:а)^1астич11ЫЙинтервал^/"•^1 + 1Номеринтервала1I2345110—1515—2020—2525—3030—35Сумма частот вариантчастичного интервала124842л = 2 ^ / = 20156б)Номеринтервалаi1234ЧастичныйинтервалСумма частот вариантчастичного интервала«12—55—88—1111 — 14110145П==^П(:=2ЪУ к а з а н и е . Найти сначала относительные частоты, соответствующие плотности относительной частоты для каждого интервала.Глава десятаяСТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ§ 1.
Точечные оценкиСтатистической оценкой в* неизвестного параметра в теоретического распределения называют функцию / ( X i , Х2, . . . Хп) отнаблюдаемых случайных величин Xi, Х2, . . . , Хп.Точечной называют статистическую оценку, которая определяетсяодним числом e* = /(jvi, Х2, . . . , Хп)у где xj, jcj», . . . , х„—результаты п наблюдений над количественнЫхМ признаком X (выборка).HecMeu^f*HHOu называют точечную оценку, математическое ожидание которой разно оцениваемому параметру при любом объемевыборки.Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.Несмещенной оценкой генеральной средней (математическогоожидания) служит выборочная средняя\ж"'где Х{ — варианта выборки, «/-частотап,варианты лг/, л = 2 ^ ' —*= 1объем выборки.З а м е ч а н и е 1.
Если первоначальные варианты Х(—большиечисла, то для упрощения расчета целесообразно вычесть из каждойварианты одно и то же число С, т. е. перейти к условным вариантамw/=jc/—С (в качестве С выгодно принять число, близкое к выборочной средней; поскольку выборочная средняя неизвестна, число Свыбирают «на глаз»). Тогда^в=С + (2л/а/)//г.157Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочнаядисперсияD»=(^ni(Xi-x,)Alntэта оценка является смещенной, так какAIID,l = l j j i z ) r .Более удобна формулаЗ а м е ч а н и е 2.
Если первоначальные варианты ж/—большиечисла, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то жечисло С, равное выборочной средней или близкое к ней, т. е. перейтик условным вариантам Ui^xi-^-C (дисперсия при этом не изменится).Тогда0^{Х)^0^{и)^и^^[Ъ\^З а м е ч а н и е 3. Если первоначальные варианты являются десятичными дробями с k десятичными знаками после запятой, то,чтобы избежать действий с дробями, умножают первоначальные варианты на постоянное число С=:10*, т.е. переходят к условнымвариантам ui^Cxi. При этом дисперсия увеличится в С* раз.Поэтому, найдя дисперсию условных вариант, надо разделить еена С*:Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия^• = n = I - ^ B =Более удобна формула»*7[=\в условных вариантах она имеет видтип.*«•"7[^\'—•причем если ui*=^X{—С, то sx^ssS; если utrs&Cxi^ то sx«5tf/C^.З а м е ч а н и е 4.
При большом числе данных используют методпроизведений (см. гл. л1, § 1) или метод сумм (см. гл. XI, § 2).450. Из гене{>альной совокупности извлечена выборкаобъема п = 50:варианта Х/ 2 5 7 10частота П/ 16 12 8 14Найти несмещенную оценку генеральной средней.158Р е ш е н и е . Несмещенной оценкой генеральной средней являетсявыборочная средняяЗгв = ( 2 л / Х / ) / л = (16.2 + 1 2 . б + 8 . 7 + 1 4 . 1 0 ) / 5 0 = 5Д6.451. Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема п=«60:х^ 1 3 6 26п^ 8 40 10 2Найти несмещенную оценку генеральной средней.452.
Задано распределение первоначальных вариантвыборки объема п:Доказать, чтоХ|Xitil^ i ^ s • • • ^kХ^ • • • Xffгде условные варианты Ui — x^—С.Р е ш е н и е . Так как щ=Х1—С, то Л|и/ = п/(Х|-—С); суммируялевую и правую части равенства по всем значениям /» получим2л/«^1=»2'*/(^/~"^)» ^^^Отсюда^niUi^^niXi—C^ni^^^niXi—Cn.Следовательно,(^niXi)ln^=:C + (^niUi)ln,или Хв=С + ( 2 л / « | ) / я .что и требовалось доказать.453. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п=10:Xi 1250 1270 1280П; 253Р е ш е н и е . Первоначальные варианты—большие числа, поэтомуперейдем к условным вариантам.
щ=Х1 —1270. В итоге получимраспределение условных вариант:щ —20 О 10Л/2 5 3Найдем искомую выборочную среднюю:454. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 20:X, 2560 2600 2620 2650 2700п,231041159У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам м/ =jc/—2620.455.
По выборке объема /г = 41 найдена смещеннаяоценка D„ = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.Р е ш е н и е . Искомая несмещенная оценка равна исправленнойдисперсии:S^ == - ^ DB = ~ -3 = 3,075.456. По выборке объема л = 51 найдена смещеннаяоценка DB = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.457. В итоге пяти измерений длины стержня однимприбором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти:а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочнуюи исправленную дисперсии ошибок прибора.Р е ш е н и е , а) Найдем выборочную среднюю:i ^ = 9 2 + ( 0 - b 2 + n + 13 + 14)/5-=92-h8 = 100.б) Найдем выборочную дисперсию:.=[(92—100)* + (94-~ 100)2+(103—100)2]/5+Оя+ [(105 —100)«-!- (J06—100)2]/5 = 34.Найдем исправленную дисперсию:п —1D B = ^ - 3 4 = 42,5.458.
В итоге четырех измерений некоторой физическойвеличины одним прибором (без систематических ошибок)получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти:а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.459, Ниже приведены результаты измерения роста(в см) случайно отобранных 100 студентов.Рост 154—I58|l58—162 162—166 166—170 170—174 174—178| 178—182Числостудентов101426281282Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсиюроста обследованных студентов.У к а з а н и е . Найти середины интервала и принять их в качестве вариант.160460.
Найти выборочнуюпределению выборки объемаXi 186Ai,. 2дисперсию по данному рас/г=10:192 19453Р е ш е н и е . Варианты—сравнительно большие числа, поэтомуперейдем к условным.вариантам Uf^^Xi—191 (мы вычли из вариантчисло С = 191, близкое к выборочной средней). В итоге получимраспределение условных вариант:UiЛ/—521 35 3Найдем искомую выборочную дисперсию:— [(2. (—5) + 5 1 + 3 - 3 ) / 1 0 ] 2 = 8,2—0,16 = 8,04.461. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема л = 1 0 0 :Х; 340 360 375 380п,. 20501812У к а з а н и е .
Перейти к условным вариантам а/ =д:/—360.462. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 1 0 0 :Xi 2502 2804 2903 3028rii830602У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = Xi—2844.463. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 1 0 :Xi 0,01 0,04 0,08п,.532Р е ш е н и е . Для того чтобы избежать действий с дробями,перейдем к условным вариантам а,==100х/.
В итоге получим распределениеUi 1 4 8л/ 5 3 2Найдем выборочную дисперсию условных вариант:Ов (и) = ( S «,«?)/л-[(2 л,«,)/«]^Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получимDB(«) = 7,21.Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант:DB(A:) = DB(W)/1002 =7,21/10 000 = 0.0007.161464. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема /г = 50:xi 0,1 0,5 0,6 0,8rii 515 20 10У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам U{ = \Ox{.465. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 50:Xi 18,4 18,9 19,3 19,6Л; 5102015У к а з а н и е .
Перейти к условным вариантам Ui^=\Oxi—195.466. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки /г = 10:Xi 102 104 108/г^ 235Р е ш е н и е . Перейдем к условным вариантамut^Xi—104.В итоге получим распределение«/ —2 О 4/I/2 3 5Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:^"1Г^\•Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объемвыборки, получим 5^=6,93.'Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то жепосюянное число С = 1 0 4 , поэтому дисперсия не изменилась, т. е.искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: ^х'^^^ ==6,93.467.
Найти исправленную выборочную дисперсиюпо данному распределению выборки объема п = 100:Xi 1250 1275 1280 1300п^ 2025505У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=^Xi—1275.4в8, Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема п=\0:Xi 0,01 0,05 0,09П/235Р е ш е н и е . Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам а/=: lOOx/. В итоге получим распределение<// 1 5 9п/ 2 3 5162Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант^==7Г=Г1Подставив в згу формулу данные задачи, получимs ^ ^ 10,844.Найдемвариант:искомуюисправленнуюдисперсиюпервоначальных4 =л^ /100*» 10,844/10 000 с^ 0,0085.469. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема /1 — 20:Xi 0,1 0,5 0,7 0,9П/ 612 11У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/»Юдг/.470. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема п = 10:х^ 23,5 26,1 28,2 30,4п^ 2341Указание.Перейти к условным вариантам UisЮдг/ —268.§ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
