1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 20
Текст из файла (страница 20)
|i4 = 16/135.зов. Случайная величина X задана плотностью распределения f{x) — 2x в интервале (О, 1); вне этого интервала f(x)=^0. Найти начальные и центральные моментыпервого» второго, третьего и четвертого порядков.§ 4. Равномерное распределениеРавномерным называют распределение нероятностей непрерывнойслучайной величины X. если на интервале (а, Ь), которому принадлежат все возможные значения X» плотность сохраняет постоянноевначенне» а именно / ( х ) » 1 / ( 6 — а ) ; вне этого интервала / ( х ) = 0 .307.
Плотность равномерного распределения сохраняетв интервале (а, Ь) постоянное значение, равное С; внеэтого интервала /(.v)=:0. Иайти значение постоянногопараметра С.308. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А.Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделанаошибка, превышающая 0,02 А.Р е ш е н и е .
Ошибку округлення отсчета можно рассматриватькак случайную величину X, которая распределена равномерно синтервале между двумя соседними целыми делениями. Плотностьравномерного распределения f{x) = l/(b—а), где {Ь—а)—длина интервала, в котором заключены возможные значения ^ X; вне этогоинтервала / ( х ) = 0 . В рассматриваемой задаче длина интервала,в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому/(дс) = 1/0,1 = 1 0 . Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).ьПо формуле Р (а < X < Ь)^ { f (х) dx получима0,08Р (0.02 <Х< 0,08)= J 10djc = 0,6.0.02309. Цена деления шкалы измерительного прибораравна 0,2.
Показания прибора округляют до ближайшегоцелого деления. Найти вероятность того, что при отсчетебудет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.106310. Автобусы некоторого маршрута идут строго порасписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будетожидать очередной автобус менее 3 мин.311. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время,которое отличается от истинного не более чем на 20 с.312. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f{x) = \l{b—а) в интервале (а, 6); внеэтого интервала f{x) — 0.
Найти функцию распределения F{x).313. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а, 6).Р е ш е н и е . График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой х=(а+^)/2, поэтому М (Х)=(а+6)/2.Итак, математическое ожидание случайной величины, равномернораспределенной в интервале (а, Ь), равно полусумме концов этогоинтервала. Разумеется, этот же результат можно получить по формулеоM(X)=:^xf(x)dx.аВ частности, математическое ожидание случайной величины /?«распределенной равномерно в интервале (О, 1), равноiW (/?):= ( 0 + 1 ) / 2 = 1 / 2 .314. Найти математическое ожидание случайной величины Xf распределенной равномерно в интервале (2, 8).315. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномернов интервале (а, Ь).Р е ш е н и е .
Используем формулуьD(X)^l x^f (X) 6х--[М (Х)]^.аПодставив / (x) = l/(b —а), Л1 (X) = (а + 6)/2 (см. задачу 313) и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсиюD(X) = (^—a)V12.Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равноквадратному корню из ее дисперсии:a(X) = (6-a)/(2V^'3).В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонениеслучайной величины/?, распределенной равномерно в интервале (О, 1),соответственно равны: D(/?)=l/12, а (/?) = !/(2 У"5).10731в. Найти дисперсию и среднее квадратйческое отклонение случайной величины X, распределенной равномернов интервале (2, 8).317.
Равномерно распределенная случайная величинахзадана плотностью распределения f(x)^ 1/(2/) в интервале(а—/, а + 1); вне этого интервала /(х) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.318. Диаметр круга х измерен приближенно, причема^х^Ь.Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, 6),найти математическое ожидание и дисперсию площадикруга.Р е ш е н и е . 1.
Найдем математическое ожидание площадикруга—случайной величины У =ц>(К)=^лХ^/4—по формулеbаПодставив ф(д:) = ях*/4,/(х) = 1/(6—а) и выполнив интегрирование,получимМ (лА'«/41=л (b^ + ab + a^)/12,2. Найдем дисперсию площади круга по формулеbаПодставив ф(дг)=:лдс^/4« f{x)^=]/{b—а) и выполнив интегрирование»получимD [лЛ«/41 = (л«/720) (^—а)2 {4b^ + 7ab + 4a^).319. Ребро куба х измерено приближенно» причема^х^Ь.Рассматривая ребро куба как случайную величину Х^ распределенную равномерно в интервале (а, 6),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.320. Случайные величины X и V независимы и распределены равномерно: X — в интервале (а, &), Y — в интервале (с* d).
Найти математическое ожидание произведения XV.У к а з а н и е . Воспользоваться решением задачи 313.321. Случайные величины X н У независимы и распределены равномерно: X — в интервале (а, Ь), У — в интервале (с, d). Найти дисперсию произведения XY.Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой0(ХУ)-=Л1 l(XK)«I-^lAf (XK)J« = Af(A«K2)-.lAf(XK)l*.Математическое ожидание произведения независимых случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий, поэтомуD(AK) = Af(A2)Af (К«) —(iW (Х)М(У)]*.(•)108Найдем М(Х*) по формулеb^ [ f W I = JcpW/(jr)djir.Подставляя ф(дг)=^х', f(x)^l/{b—а)и выполняя интегрирование,получимAf (Х«) = (Ь^ + аЬ + а«)/3.(*•)Аналогично найдемПодставив М(Х)^(а + Ь)/2, М (Y) = {c+d)/2, а также (••) и(•*•) в (*), окончательно получимD(XK)=:=(a« + a^4-^*)(^*+cd + d«)/9—[(a4-6)«(c+d)Viei-§ 5.
Нормдлыю^ распределениеНормальным называют распределение вероятностей непрерывнойслучайной величины X, плотность которого имеет вид/W=:-I=.e-<-«>VU<'«>,ак2ягде а—математическое ожидание, о—среднее квадратическое отклонение X.Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Р).Р(«<х<р,=ф(Р:^£)_ф(«^-).Xгде Ф(х)«==—=-1 е^'*^* 6х—функция Лапласа.^ ^ оВероятность того, что абсолютная величина отклонения меньшеположительного числа 6,Р ( | Х — а | < б) = 2Ф(6/а).В частности, при а = 0 справедливо равенствоР{\Х\ < 6 ) = 2Ф(б/а).Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределенния соответственно равны:А,^0, ^^ = 0, Мо = а, М^^а, где а^М{Х).322.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно а^З н среднее квадратическое отклонен'ие а = 2. Написать плотность вероятности X.323. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М{Х) = 3^D(X)=16.109324. Нормально распределенная случайная величина Xзадана плотностью flx) = —i==-e-<^-^>*/*«. Найти математическое ожидание и дисперсию X.325. Дана функция распределения нормированногоXнормального закона F (х) == -^ — \ е-^'/М/.
НайтиHVIOT-ность распределения f{x).326. Доказать, что параметры а и о—плотностинормального распределения — являются соответственноматематическим ожиданием и средним квадратическимотклонением X.У к а з а н и е . При нахождении М(Х) и D (X) следует ввестиновую переменную г^(х—а)/а и использовать интеграл Пуассона00— 00327. Доказать, что функция ЛапласаXнечетна: Ф(—х) =—Ф(д:).У к а з а н и е .
Положить z = — / в равенствеУ~2л328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайнойвеличины X соответственно равны 10 н 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойЯ(«<Х<р) = ф(&=-«)-ф(«^).Подставив а = 1 2 , Р = 14, ^==10 и 0=^2, получим Р {\2 < X < I4)=s= Ф(2)—Ф(1).
По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = 0,4772,Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р (\2 < X < 14) = 0,1359.329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной110величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15, 25).330. Автомат штампует детали. Контролируется длинадетали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и неболее 68 мм.
Найти вероятность того, что длина наудачувзятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.У к а з а н и е . Из равенства Р (32 < X < 68) = 1 предварительнонайти а.331. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибкиизмерения X подчинены нормальному закону со среднимквадратическим отклонением а=10мм. Найти вероятностьтого, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
