Главная » Просмотр файлов » 1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb

1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 16

Файл №845956 1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (Гмурман В.Е. — Руководство к решению задач по терверу) 16 страница1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956) страница 162021-08-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Найти предварительно начальные моменты и выра­зить через них центральные моменты.232. Доказать, что центральный момент второго по­рядка (дисперсия) \1^ = М[Х—M(X)Yменьше обычногомомента второго порядка iil = MlX—С]^ при любом С«?^^ФМ{Х).Р е ш е н и е . Для простоты записи введем обозначение М {Х)^т,Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:^2 = M [X—С]« = М [(X—m) + (m—С)]2==« М [(X—m)2+2(m —С)(Х—m) + (m —С)2].Математическое ожидание суммы равно сумме математическихожиданий слагаемых, поэтомуji;=:Af [X —m]2 + M [2(/7i—С)(Х —m)l + M [m—CJ».Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи*Дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной (т—С)*равно самой постоянной и что по определению Л1 [X—mj*=|i2,получим|г;=гц,+2(т—C).M [ X - . m ] + ( m - C ) a .Принимая во внимание, что математическое ожидание отклоненияX—m равно нулю, имеемМ^а = Ц2 + {/п—С)2.ОтсюдаИз этого равенства заключаем, что центральный момент второгопорядка меньше обычного момента второго порядка при любом Сфт,233.

Доказать, что центральный момент третьего по­рядка связан с начальными моментами равенством^A8==Vз—3viv, + 2v;.Р е ш е н и е . По определению центрального момента,цз = Л4[Х--ЛГ(Х)р.Используя свойства математического ожидания и учитывая, чтоМ(Х) есть постоянная величина, получимцз = Л1[Х»—3X«.iM(X) + 3XM«(X)—М» (Х)]==^М{Х^)—ЗМ (Х)М (Х«) + ЗЛ42 (Х)М(Х)—М[iW»(X)J == М (X»)—ЗМ (X). М (Х^) + ЗЛ|8 (X)—Л1«(X) ==Л1 (X8)~.3M (X)-M (х«)+2Л1з (X).оПо определению начального момента,VI = Ai (X), V, = М (Х«), Va = М (X»).Г)Подставив (••) в (*), окончательно получим|i8=V3—3viVa + 2vi.81234. Доказать, что центральный момент четвертогопорядка связан с начальными моментами равенствомfii = v^—4V3 Vi + evjvj,—3vJ.235. Пусть X = Xi + X^, где X^ и X,—независимыеслучайные величины, имеющие центральные моментытретьего порядка, соответственно равные jij и ц|.

Дока­зать, что Ц8 = И^8 + И8, где fig—центральный момент треть­его порядка величины X.Р е ш е н и е . Введем для простоты записи следующие обозначе­ния математических ожиданий: Al(Xi)s=ai, МСХз)^^!. ТогдаМ (X) = M(Xi + Ха) = М (Хг) + М (Х,) = ai + а,.По определению центральный момент третьего порядка,lis^MlX-M(X)]^^M[(Xi+ Xt)-(a, + a^)]^^Используя свойства математического ожидания (математическоеожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,математическое ожидание произведения независимых величин равнопроизведению математических ожиданий сомножителей), получим+ М [3(JVa~aanAf [ Х х - а х ] + Л«[X^-a^P.Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разностимежду случайной величиной и ее математическим ожиданием) равнонулю, т. е. Л! [^1—.«1Г=0 и М [Х^—a2l=0, окончательно имеемИз = Л1 [Хг-агР+ М [ Х 2 ~ а , р = ^4+f^l-Глава пятаяЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ§ 1 .

Неравенство ЧебышеваНеравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонениеслучайной величины X от ее математического ожидания по абсолютHQU величине меньше положительного числа в, не меньше чем 1—D(X)/e^:Р (IX—Л1 (X) I < е) ^ 1 -^D (Х)/е«.23в. Иcпoльзy^я неравенство Чебышева, оценить веро­ятность того, что случайная величина X отклонится отсвоего математического ожидания менее чем на три сред­них квадратических отклонения.82237. Доказать неравенство Чебышева в формеР (I Х—М(Х) I > е) < D (X)/8^У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что события \Х — М {X) \ < 8и I X — М (X) I ^ е—противоположные.238. Используя неравенство Чебышева в форме, при­веденной в задаче 237, оценить вероятность того, чтослучайная величина X отклонится от своего математи­ческого ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.239.

Используя неравенство Чебышева, оценить веро­ятность того, что | Х — Л / ( Х ) | < 0 , 2 , если D(X) = 0,004.240. Дано: Р ( | X —Л4 (X) | < е ) > 0 , 9 и D(X) = 0,009.Используя неравенство Чебышева, оценить е снизу.241. Устройство состоит из 10 независимо работающихэлементов^ Вероятность отказа каждого элемента завремя Т равна 0,05. С помош.ью неравенства Чебышеваоценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ности между числом отказавших элементов и среднимчислом (математическим ожиданием) отказов за время Токажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.Р е ш е н и е , а) Обозначим через X дискретную случайную вели­чину— число отказавших элементов за время Т, ТогдаМ(Х) = пр = 10.0,05 = 0,5;D(X) = np(7= 10 «0,05 0,95 =0.475.Воспользуемся неравенством Чебышева:Р ( | Х —M(X)| < е)^1—D(X)/ea.Подставив сюда Af(X)==0,5; D(X) =0,475, 8 = 2 , получимР (I X—0,51 < 2 ) : ^ 1 —0,475/4=0,88.б) События \Х—0,5 I < 2 и \Х—0,5 | : ^ 2 противоположны, поэ­тому сумма их вероятностей равна единице.

Следовательно,Р{\Х —0,5 I ^ 2 ) < 1 —0,88 =0,12.242. В осветительную сеть параллельно включено 20ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будетвключена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева,оценить вероятность того, что абсолютная величина раз­ности между числом включенных ламп и средним числом(математическим ожиданием) включенных ламп за время Токажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.243.

Вероятность появления события А в каждомиспытании равна 1/2. Используя неравенство Чебышева,83оценить вероятность того, что число X появлений собы­тия А заключено в пределах от 40 до 60, если будетпроизведено 100 независимых испытаний.Р е ш е н и е . Найдем математическое ожидание и дисперсию дис­кретной случайной величины X—числа появлений события А в 100независимых испытаниях:Af(X)=rnp = 100.1/2=r50; D(X)==np(7 = 100.1/2.1/2«26.Найдем максимальную разность между заданным числом появле*НИИ события и математическим ожиданием Л1(Х)ав50:е «60—50 = 10., Воспользуемся неравенством Чебышева в формеР (I Х—М (X) I < е ) ^ 1 -.D(X)/e«.Подставляя Л4(ЛГ)=50, D(X)=25, 6 = 10» получимР ( | Х — 5 0 | < 10)^1—25/10» =0,75.244.

Вероятность появления события в каждом испы­тании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оце­нить вероятность того, что число X появлений событиязаключено в пределах от 150 до 250, если будет произ­ведено 800 испытаний.245. Дискретная случайная величина X задана зако­ном распределенияX0,30,6р0,20,8Используя неравенство Чебышева, оценить вероятностьтого, что |Х —Л/(Х)|<0,2.Р е ш е н и е .

Найдем математическое ожидание и дисперсию ве­личины X:Л1(Х)=0,30,2 + 0,6 0,8=0,54;D(X)=:A1(X2) —[УИ(Х)1«««(0.3« 0,2 + 0,6» 0,8)—0,54» =0,0144.Воспользуемся неравенством Чебышева в формеР (I X —Л! (X) I < е) ^ 1 —D (Х)/е«.Подставляя Л1(Х)=0,54, D(X) =0,0144, е=0,2, окончательнополучимР (I Х—ОМI< 0,2) :^ 1 —0,0144/0,04 =0,64.246. Дискретная случайная величина X задана зако­ном распределенияX0,10,40,6р0,20,30,5Используя неравенство Чебышева, оценить вероятностьтого, что |Х —Л1(Ху|<1/0,4.84§ 2.

Теорема ЧебышеваТеорема Чебышева. Если последовательность попарно независимыхслучайных величин Xi, Х^, • . . , Х„, . . . имеет конечные математическиеожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены {непревышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметияескому их математических ожиданий, т. е, если е — люёое положи­тельное число, топпlim Р<е =1тЕ^.-тЕ^(^')t= li=ilВ частности, среднее арифметическое последовательности попарнонезависимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены икоторые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходитсяпо вероятности к математическому ожиданию а, т. е.

еслие—любоеположительное число, тоlimPIЛ1£х,-а< е ) = 1.247. Последовательность независимых случайных ве­личин Xj, X jзадана законом распределения— па.О1/(2п^)1 — 1//1«па1/(2п«)Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?Р е ш е н и е . Для того чтобы к последовательности случайныхвеличин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы этивеличины были попарно независимы, имели конечные математиче­ские ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.Поскольку случайные величины независимы, то они подавнопопарно независимы, т.

е. первое требование теоремы Чебышевавыполняется.Проверим, выполняется ли требование конечности математиче­ских ожиданий:M ( ^ J = : —ла(1/2п2)+0(1 —1/л«) + ла(1/2л«) = 0.Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равноенулю) математическое ожидание, т. е. второе требование теоремывыполняется.Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.

Напишем закон распределения Х%:Оxi1/(2п«) 1—1/п« 1/(2/»«)или, сложив вероятности одинаковых возможных значений.ОxJt1/п«1—1/п«Р85Найдем математическое ожидание М {Х%)1Af(Xn) = n V . l / n « = a « .Найдем дисперсию D{X„), учитывая» чтоТаким образом, дисперсии заданных случайных величин равно­мерно ограничены числом а^, т. е. третье требование выполняется.Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматривае­мой последовательности случайных величин теорема Чебышеваприменима.248. Последовательность независимых случайных ве­личин Xi, Х„ .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
17,87 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее