1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. . , Х„, . . . задана законом распределениярп/{2п+1)(л + 1)/(2п+1)Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?249. Последовательность независимых случайных величин Xi9 Х2Х„, . . . задана законом распределенияХ„п+ 1—прп/(2п+1) (п+1)/(2л+1)а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева оравномерной ограниченности дисперсий не выполняется;б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемойпоследовательности теорема Чебышева неприменима?250*. Последовательность независимых случайных величин Хх, Х^, ...» Х„, . . . задана законом распределенияХп —паОпар 1/2« 1_1/2'»-1 1/2'»Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?Р е ш е н и е . Поскольку случайные величины Х„ независимы,то они подавно и попарно независимы, т.
е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.Легко найти, что iW(X„)==:0, т. е. требование конечности математических ожиданий выполняется.Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формулеD(Xn)^M{X%)^lM(X„)]^учитывая, что М(Хп) = 0, найдем (выкладки предоставляется выполнить читателю)Временно предположим, что п изменяется непрерывно (чтобыподчеркнуть это допущение, обозначим п через дс), и исследуем наэкстремум функцию (р (х) — х^/2^''^.Приравняв первую производную этой функции нулю, найдемкритические точки ДГ1 = 0 и ^а = 2/1п2.Отбросим первую точку как не представляющую интереса (п непринимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точкедг2 = 2/1п2 функция ф(д:) имеет максимум.
Учитывая, что 2/In2ci«2,9и что п — целое положительное число, вычислим дисперсию D (Х„)==.^а^ для ближайших к числу 2,9 (слева и справа) целых чисел,т. е. для л = 2 и л = 3.При п = 2 дисперсия D (Х2) = 2а^, при п = 3 дисперсия ^ ( Х з ) ==(9/4) а^. Очевидно,(9/4) а2 > 2а2.Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4) а^,т. е. дисперсии случайных величин Х^ равномерно ограниченычислом (9/4) а^.Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.251. Последовательность независимых случайных величин Xi, Ха, .
. . , Х „ , . - . задана законом распределениях„ -Узр1/3О КЗ1/31/3Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?З а м е ч а н и е . Поскольку случайные величины X одинаковораспределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно конечно.Глава шестаяФУНКЦИИ и п л о т н о с т и РАСПРЕДЕЛЕНИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН§ 1 . Функция распределения вероятностейслучайной величиныФункцией распределения называют функцию F{x), определяющуюдля каждого значения х вероятность того, что случайная величина Xпримет значение, меньшее х, т.
е.F(x)^P(X<x).Часто вместо термина «функция распределения» используюттермин «интегральная функция распределения».Функция распределения обладает следующими свойствами:87Свойствоотрезку [0; 1]:1. Значения функции распределения принадлежатСвойствофункция:2.0<F(jc)<l.Функцияраспределенияесть неубывающаяР (х%) ^ F (дсх), если х^ > Xi.С л е д с т в и е 1.
Вероятность того, что случайная величина Xпримет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращениюфункции распределения на этом интервале:P(a<X<b)^F(b)—F(а).С л е д с т в и е 2. Вероятность того, что непрерывная случайнаявеличина X примет одно определенное значение, например х^, равнанулю:Я (X = хг) = 0.С в о й с т в о 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу {а, Ь), тоF(jc)=0 при х<а\F{x)^\при х:^Ь.С л е д с т в и е . Справедливы следующие предельные соотношения:limF ( x ) = 0 , lim F(х) = \.С в о й с т в о 4. функция распределения непрерывна слева:limF(X)=^F(XQ).252.
Случайная величина X задана функцией распределения0прих^—1,!(3/4) А:+ 3/4 при — 1 < л : < 1 / 3 ,1прих>1/3.Найти вероятность того, что в результате испытаниявеличина X примет значение, заключенное в интервале(О, 1/3).Р е ш е н и е . Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (а, Ь), равна приращению функции распределенияна этом интервале: Р (а < X < b)=^F (Ь)—F(а). Положив а==0,6 = 1 / 3 , получимРф<Х<l/3) = F(l/3)—F(0) == [(3/4)^ + 3/41^^,/з-КЗ/4)^ + 3/4];,^о=1/4.253. Случайная величина X задана на всей оси Охфункцией распределения F (;с) = 1/2 + (arctg х)/я. Найтивероятность того, что в результате испытания величина Xпримет значение, заключенное в интервале (О, 1).254.
Случайная величина X задана функцией распределенияf ОприА:<—2,f ( x ) = | 1/2 + (1/я)агс8ш(л:/2) при — 2 < х < 2 ,\ 1прих>2.Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале( - 1 , 1).255. Функция распределения непрерывной случайнойвеличины X (времени безотказной работы некоторогоустройства) равна F(x)=l—е"^/^(х^О).Найти вероятность безотказной работы устройства за времях^Т.256.
Случайная величина X задана функцией распределенияОпри л : ^ 2 ,0,5А: при 2 < л : < 4 ,1прих>4.Найти вероятность того, что в результате испытания Xпримет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) неменьшее трех; г) не меньшее пяти.(Р е ш е н и е , а) Так как при х^2f (О, 2) = 0, т.
е. Р{Х < О, 2) = 0;функция F(jc) = 0, тоб) P ( X < 3 ) = F ( 3 ) = [ 0 . 5 J C — 1 ] ^ ^ 3 = 1 , 5 — 1 = 0 , 5 ;в) события Х^З и X < 3 противоположны, поэтому Р (Х^З)Н+ Р (X < 3) = 1. Отсюда, учитывая, что Р {X < 3 ) = 0 , 5 [см. п. б)],получим Р ( Х ^ З ) = 1—0,5 = 0,5;г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице,поэтому Р (Х:^5)-^Р {X < 5) = 1. Отсюда, используя условие,в силу которого при X > 4 функция F {х) = 1, получим Р (Х^5) == 1 — Р (X < 5) = 1 — /" (5) = 1 — 1 = 0.257. Случайная величина X задана функцией распределения(Опри АГ^О,х^ при 0 < ; с < 1 ,1 при X > 1.Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина X ровно три раза приметзначение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).258.
Случайная величина X задана на всей оси Охфункцией распределения F {х) = 1/2 + (1/^) arctg (х/2).Найти возможное значение х^, удовлетворяющее условию:89с вероятностью 1/4 случайная величина X в результатеиспытания примет значение, большее х^.Р е ш е н и е . События X<Xiи X > Xi — противоположные,поэтому Р {Х< Xi) Н-Р (X > Jfi) = 1. Следовательно, Я (X < Хх) == 1-_Р(Х > x i ) = l —1/4 = 3/4. Так как Р (X^Xi)^0,тоР (X<:xt) = P (X:=xi) + P (X < X i ) = P (X < ;ri)=:3/4.По определению функции распределения,Р(Х< Хг)^Р(Хг)1/2 + (1/л) arctg (xi/2).Следовательно,l/2 + 0/«)arctg(jCi/2) = (3/4), или arctg (Xi/2) = я/4.Отсюда Xi/2=1, или Jti = 2.259.
Случайная величина X задана на всей оси Охфункцией распределения F (х) = (1/2) + (1/я) arctg {х/2).Найти возможное значение х^, удовлетворяющее условию:с вероятностью 1/6 случайная величина X в результатеиспытания примет значение,большее х^.260, Дискретная случайная величина X задана законом распределенияXр20,540,270,3Найти функцию распределения F (х) и начертить ее график.Р е ш е н и е . 1.
Если дг<2,то р(х)=0.Действительно, значений, меньших числа 2, величина X не принимает. Следовательно,при J f < 2 функция F(x)=:P (X < д:) = 0.2. Если 2 < j c < 4 , то F(jc) = 0,5. Действительно, X может принять значение 2 с вероятностью 0,5.3. Если 4 < j c < 7 , то F(jc)=0,7. Действительно, X можетпринять значение 2 с вероятностью 0,5 и значение 4 с вероятностью 0,2; следовательно, одно из этих значений, безразличнокакое, X может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,5 + 0,2 = 0,7.4.
Если X > 7, то f (х) = \. Действительно, событие Х<7 достоверно и вероятность его равна единице.Итак, искомая функция распределения имеет вид/ Оприх<2^0,5 при 2 < л : < 4 ,Р(х)^0,7 при 4 < j c < 7 ,1при X > 7.График этой функции приведен на рис. 6.90261 • Дискретная случайная величина задана закономраспределенияX34710р0,2 0,1 0,4 0,3Найти функцию распределения и построить ее график.§ 2. Плотность распределения вероятностейнепрерывной случайной величиныПлотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: / (х) =f' (х).Часто вместо термина «плотность распределения» используюттермины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), определяется равенствомьP(a<X<b)^^f{x)dx.аЗная плотность распределения, можно найти функцию распредеXления F (х)=\ / (х) dx.— соПлотность распределения обладает следующими свойствами:С в о й с т в о 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
