1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Математическое ожидание случайных ошибок равнонулю» поэтому применима формула Р{\Х\< о) = 2Ф(6/а). Положив6=15, а=10, находим Я ( | Х | < 15)=2Ф(1,5). По таблице прило­жения 2 находим: Ф (1,5) =0,4332. Искомая вероятностьР(\Х\ < 15)^2.0,4332 = 0,8664.332.

Производится взвешивание некоторого веществабез систематических ошибок. Случайные ошибки взвеши­вания подчинены нормальному закону со средним квад­ратическим отклонением а = 20 г. Найти вероятность того,что взвешивание будет произведено с ошибкой, не пре­восходящей по абсолютной величине 10 г.333. Случайные ошибки измерения подчинены нор­мальному закону со средним квадратическим отклонениема = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найтивероятность того, что из трех независимых измеренийошибка хотя бы одного не ь^^евзойдет по абсолютнойвеличине 4 мм.334.

Автомат изготовляет шарики. Шарик считаетсягодным, если отклонение X диаметра шарика от проектногоразмера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая,что случайная величина X распределена нормально сосредним квадратическим отклонением а = 0,4 мм, найти,сколько в среднем будет годных шариков среди ста из­готовленных.Р е ш е н и е .

Так как X—отклонение (диаметра шарика от про­ектного размера), то Af(X) = a = 0.IllВоспользуемсяформулойв = 0,7, а5^0,4, получимР(\Х\Р (\Х\ < 6) -^2Ф (6/а).Подставив< 0,7) = 2 ф ( ^ ) = 2 Ф ( 1 , 7 5 ) = 2.0,4599 = 0,92.Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 1СЮ окажутсягодными.335.

Деталь, изготовленная автоматом, считается год­ной, если отклонение ее контролируемого размера отпроектного не превышает 10 мм. Случайные отклоненияконтролируемого размера от проектного подчинены нор­мальному закону со средним квадратическим отклонением0=^5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколькопроцентов годных деталей изготавливает автомат?336. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длинакоторого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайныевеличины X н Y (расстояния от вертикальной и гори­зонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы)независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю.Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшен­ной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сбро­шены две бомбы, причем известно, что для разрушениямоста достаточно одного попадания.337.

Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а = 10. Вероятность попада­ния X в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна веро­ятность попадания X в интервал (О, 10)?Р е ш е н и е . Так как нормальная кривая симметрична относи­тельно прямой д: = а = 1 0 , то площади, ограниченные сверху нор­мальной кривой и снизу—интервалами (О, 10) и (10, 20), равнымежду собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностямпопадания X в соответствующий интервал, тоЯ (О < JV < 10) = Р (10 < X < 20)==0,3.338.

Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а ^25. Вероятность попа­дания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна веро­ятность попадания X в интервал (35, 40)?339. Доказать, чтоР ( | Х — а | < а О = 2Ф(0,т. е., что значение удвоенной функции Лапласа при за­данном / определяет вероятность того, что отклонение112X—а нормально распределенной случайной величины Xпо абсолютной величине меньше ot.У к а з а н и е . Использовать формулу Р (| X—а \ < 6) ==2Ф (6/0),положив б / а - - / .340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того,что абсолютная величина отклонения нормально распре­деленной случайной величины б>^дет меньше утроенногосреднего квадратического отклонения, равна 0,9973.У к а з а н и е .

Использовать решение задачи 339, положив / = 3.341. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием 0 = 1 0 и средним квадратическим отклонением а - ^ 5 . Найти интервал, симмет­ричный относительно математического ожидания, в кото­рый с вероятностью 0,9973 попадет величина X в ре­зультате испытания.342. Случайная величина X распределена нормальносо средним квадратическим отклонением а = 5 мм. Найтидлину интервала, симметричного относительно математи­ческого ожидания* в который с вероятностью 0,9973попадет X в результате испытания.343. Станок-автомат изготовляет валики, причем кон­тролируется их диаметр X. Считая, что X—нормальнораспределенная случайная величина с математическиможиданием а = 1 0 м м и средним квадратическим откло­нением а = 0,1 мм, найти интервал, симметричный отно­сительно математического ожидания, в котором с веро­ятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленныхваликов.344.

Нормально распределенная случайная величина Xзадана плотностьюНайти моду и медиану X.Р е ш е н и е . Модой Af© (X) называют то возможное значение X,при котором плотность распределения имеет максимум. Легко убе­диться, что при х = а производная /' ( а ) = 0 ; при х < а производная/' (х) > О, при X > а производная /' (х) < 0; таким образом, точках = а есть точка максимума, следовательно, MQ(X)=^a,Медианой М^ (X) называют то возможное значение X, при ко­тором ордината / (х) делит пополам площадь, ограниченную кривойраспределения. Так как нормальная кривая [график функции f (х)]симметрична относительно прямой jc = a, то ордината f (а) делитПЗпополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно,А!^(Х) = а.Итак, мода и медиана нормального распределения совпадаютс математическим ожиданием а.345.

Случайная величина X распределена нормально»причем математическое ожидание а = 0 н среднее квадратическое отклонение равно а. Найти значение а, прикотором вероятность того, что X примет значение, при­надлежащее интервалу (а, Р) (а > О, р > а), будет наи­большей.У к а з а н и е .

Воспользоваться формулойР (а < X < Р) = Ф (Р/а)—Ф (а/о) =Э/аа/аУ^i1/-2Л Jнайти а из уравнения ф'(а)=:0.§ 6. Показательное распределениеи его числовые характеристикиПоказательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описы­вается плотностью/Опри д: < 0 ,. ,где X—постоянная положительная величина.Функция распределения показательного законапри JC < о»F(*)={.

.-х,_:г(*•)^ при : гх^О.Вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случай*ной величины X, распределенной по показательному закону»-{.-VР{а<Х<6) = е - ^ — е - ^ .Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическоеотклонение показательного распределения соответственно равны:Л1(Х) = 1А, D(X) = 1A«, а ( Х ) = 1А.Таким образом, математическое ожидание и среднее квадрати­ческое отклонение показательного распределения равны между собой.346.

Написать плотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х==5.114Р е ш е н и е . Подставив л = 3 в соотношения (*) и (**), получимгпри X < О,о-5-^' при дс^О;/Оприх<0,г (л) = < ,^ ' \ 1 —е-5дг при х : > 0 .(347. Написать плотность п функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х,а=6,348. Найти параметр К показательного распределе­ния: а) заданного плотностью / {х)=0 при х < О, / (л:)==2е""^^при х^О; б) заданного функцией распределения F(x)=0при х < 0 и F(x) = l—е-^'*^ при х > 0 .349. Доказать, что если непрерывная случайная вели­чина X распределена по показательному закону, то вероят­ность попадания X в интервал (а, Ь) равна е*"^^—е"^Р е ш е н и е .

П е р в ы й с п о с о б . Пусть величина X заданафункцией распределения F{x)=^l—e-^ix^O),Тогда вероятностьпопадания X в интервал (а, Ь) (см. гл. VI, § 1)Р(а< X < b)^F(b)-^F (а) = [1 —е-^^] — [1 —е-^^] =е->^—е-^*.В т о р о й с п о с о б . Пусть величина X задана плотностью рас­пределения /(д:)=Хе-^-^ ( х ^ О ) .

В этом случае (см. гл. VI, § 2)иа. -ч350. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону, заданному плотностьювероятности f(x) = 3e^^'^ при л'^О; при ;с<0 /(jc) = 0.Найти вероятность того, что в результате испытания Xпопадает в интервал (0,13, 0,7).Р е ш е н и е . Используем форм> луР(а< X < fc) = e-^«—е-^ь.Учитывая, что, по условию, а = 0,13, 6 = 0,7, А. = 3, и пользуясьтаблицей значений функции е - * , получимР (0,13 < X < 0,7) = е-з.о.1з _е-з-о,7 =е-о.39^е-зД == 0,677—0,122 = 0,555.351. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону, заданному при х ^ Оплотностью распределения /(х) = 0,04-е""®'<>*-^; при х < 0функции f{x) = 0.

Найти вероятность того, что в резуль­тате испытания X попадает в интервал (1, 2).115S52. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону» заданному функциейраспределения F(x)= Г—е~®'** при JC^O; при х < 0F(jr) = 0. Найти вероятность того, что в результате ис­пытания X попадет в интервал (2, 5).353. Найти математическое ожидание показательногораспределенияf(jc) = Xe-^' (JC^O); /(х)=-0 (х < 0).Р е ш е н и е . Используем формулувоM(X)==z \ xf (X) dx.—»Учитывая, что /(д:)-=гО при дг < О и /<дг)~Хе-^ при д:^О, получимо»—A.JC.X'iAf(X) = X Jx.e'^^Vr.оИнтегрируя по частям по формуле\ udv ^ wt» I — \ tfda.положив (/=^дг, (1у = е-*'*(1дг и выполнив выкладки, окончательно по­лучим Л1(Х) = 1/Х.Итак, математическое ожидание показательного распределенияравно обратной величине параметра X.354.

Найти математическое ожидание показательногораспределения, заданного при дс^О: а) плотностьюf (jc) = 5е-5*; б) функцией распределения F {х) — \ —е"®«^*.355. а) Доказать, что если непрерывная случайнаявеличина распределена по показательному закону, товероятность того, что X примет значение, меньшее мате­матического ожидания М{Х), не зависит от величиныпараметра Х; б) найти вероятность того, что Х> М (X).356. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическоеотклонение показательного распределения, заданногоплотностью вероятности: /(л-) = Хе"^^ при х^О; /(х)=«0при JC < 0.Р е ш е н и е , а) Используем формулуD(X)= J— 00116x*f{x)dx-lM(X)]\Учитывая, что / ( х ) = 0 при дг < О, М {Х)^]/Клучим(см.

задачу 35S), по­00ОИнтегрируя дважды по частям, найдемосоСледовательно, искомая дисперсият. е. дисперсия показательного распределения равна величине, об­ратной X*.б) Найдем среднее квадратическое отклонение:а(Л')= К Щ А ) =/ГД2==1Д.т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределе­ния равно величине, обратной Я.357. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного распределения, заданного плот­ностью вероятности /(х) == 10е~^®^ (л:^0).358. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного закона, заданного функциейраспределения F {х) = 1 —е~^»^^ (х^ 0).359.

Характеристики

Список файлов книги