1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 19
Текст из файла (страница 19)
огласно же о Р частицы ои е р цинам квантовой механики, орбита бомбардирующей р делена нето ~но, и мы можем вычислить лишь среднее поведение большого числа частиц и и пх мишенью. тиц при пх взаимодействии с а. Падающий пучок и его волновая функция. Представим себе бесконечно шпрокяй пучок бомбардпрующих частиц, ие облаДаюших стРУктУРой' ), пРпГзлижающийсв вДоль осп — 7.
к бесструктурному центру рассеяния, закрепленному в начале координат. Предполагается, что силовое поле обладает сферической симме~рией, так что потенциальная энери1я взаимодействия У является функцией только расстояния г. Падающий пучок должен быть однородным п моноэиергетическим, и частицы в пучке должны быть отличны от частицы-мишени, являющейся центром рассеянна. Случай, когда бомбардирующпе частицы и частицы-мишени одинаковы, требует специального квантояомехаиического рассмотрения (см. Ч 18 настоящей главы). Кроме того, пнтепсивносп пучка должна бьиь однородной в любой плоскости, перпендикулярной оси 7, и должна быть постоянна во времени. Каждой гюмбардируюшей частице пр|шисывается фиктивная масса М,=РЯМ/(т+М), где лг и М вЂ” истинные массы бомбардирующей частицы п частицы-мишени. Хорошо известно, что квантовым представлением таксжо пучка является плоская волна де-Бройля с постоянной амплитудой, распространяющаяся в направлении +7.
Предположим, ио плотность тока в пучке равна Л частиц)слгз ° сек, т. е, что через единицу площади, перпендикулярной направлению пучка, проходит за 1 сек Л частиц. Некоторые из этих бомбардпрующих частиц будут рассеяны центром сил, причем число рассеянных частиц будет прямо пропорционально полному сеченшо упругого рассеяния к зк и ,(П ч 2, 7(7,(В)з1 В (В. (3.14.1) Определим дифференциальное сечение гз(О)СЮпм как функцию угла и энергии и затем„произведя интегрирование, получим г), как функцию энериш. ЧТОГ>ы получить количественное выражение для интенсивности рассеяния в некотором направлении (О, 4.), обрат1гмси к фиг, 3,14.1. На этой фигуре гЮ представляет собой малый участок поверхности, лежащий в направлении (Е), г1) на большом расстоянии г от начала координат.
Предполагается, что этот участок г(о нормален к радиусу-вектору. Опирающийся па гЮ телесный угол с вершиной в начале координат равен г)Ппм. Из сказанного ранее о физическом смысле дифференциального се'яния (см. (1.4 1)) мы видим, по Лг',,(0)г(йцм равно шолу бомбардпруюших частиц, рассеянных через а5 за 1 сек. ') То есть таких, которые е задаче о раесекккк можно раеемзтркеать езк простые мзтеркзльпые точки. — Прил. ред. !02 ГЛАВА 3 тиория корм!ого Гхссгяния в полг. ц!.нт!Альных сил 1йЗ Плоская волна, соответствующая падаюшему пучку часгиц, описывается волновой функцией Сет!х™1, где С вЂ” амплитуда, н — волновое число н ву — угловая частота волны; н определяется Фиг. 3.14.!.
Система сферических полярных координат, используемая ~рн рассмотрении упругого рассеяния. Осноненнен конусе служит поверхность ЛЗ, о которое тоеорнтсн е тексте. через длину волны де-Бройля )ь, скорость частицы о, или начальную кинетическую эиерппо Т;, й!тпо 1 2А!сГо (3.14 2) а пу — через частоту т, или полную энергию Е: еу= 2пр= = Е й (3.14.3) Задача о рассеянии, которую мы сформулировали, — это задача о стационарном состоянии, и энергия падающей волны де-Бройля не изменяется в процессе упругого рассеяния. Следовательно, множитель е-уем — общий для всех волновых функций, с которыми мы будем иметь дело, так что мы можем и дальнейшем опускать этот временной коэффициент и указывать только про стрзнствецную зависимость волновых функций ').
Независящая от времени волновая функция для приходящей плоской волны обозначается через тр рпх(г, 8) =Се'"'. Ззметим, что зависимость „„ от ср здесь отсутс~вуе~, так как все величины в нашей задзче не зависят от азимутзльиого угла. Мы приняли, что плотность тока падатошего пучка равна Л бомбардируюшпх частиц на 1 смх в 1 сея.
Плотность тока можно также выразить через С вЂ” амплитуду волновой функции, и таким образом можно полу!ить соотношение между Л и С. Мы знаем, что среднее число частиц, которое должно присутствовать в единице объема в данном месте падающего пучка, опредеЛястеп ВЫРВЖЕНИЕМ т)1 рнктйпптск=- !т)тстРнк; ==.с, ГДЕ ф „„КОМ" плексная сопряженная тй,рпк. Каждая из этих частиц движется к началу координат вдоль оси — 7 со скоростью и,. Если мы теперь представим себе цилиндр длиной и, и плошадью сечения 1, ось которого совпадает с направлением оси — 2, то очевидно, что этот цилиндр будет содержать Супе бомбардируюших частиц в любой данный момент и что в течение следующей секунды именно эти бомбардируюшие частицы пройдут через правый конец цилиндра.
Тогда плотность тока, по определению, равна С'и, и Л и С связаны, таким образом, соотношением СУ = —. (3.14.4) по б. Рассеянная и полная волновые функции. Полная волновая функция будет состоять пз компоненты, связанной с приходяшей плоской волной, и пз компоненты, представляющей ту часть падающей волны, которая испытывает рассеяние.
Рассеянная волна должна иметь форму выходяшей сферической волны с амплитудой, уменьшающейся при больших г как !/г, чтобы радиальная плотность тока падалз обратно пропорционально квадрату расстояния от центра силы и чтобы число рассеянных частиц могло, таким образом, сохраняться.
Тогда волновая функция для рассеянной волны будет иметь асимптотическуто о му ф р ) (О) С!хе (3.14.5) где 1(е!) обычно называют алтлигудоа рассеяния. Найдем теперь свЯзь междУ )(8) и уе(9), диффеРенциальным сечением УИРугого рассеяния на единицу телесного угла. Уравнение (3.14.5) показывает, что радиальная плотность тока равна оо,С," 1!(О)!'/Гх при большвх г и, таким образом, число бомбар') Формальипе разделеике простраигтвевнпй к временной зависимостей можпо выполнить методом, примеинемыы к гл б, й !1, и.
«б». 105 104 ГЛАВА 3 теОРия упРуГОГО РАссеяния В пОле ценилльных сил дирующих частиц, рассеянных за 1 сек через элемент поверх ности а5 иол углами О, Ф (см фиг. 3.14.1)„равно -' — ',—; — !М)!'Г(5=О,!С!'!)(6)!е П„.„, =А!П6)РЖ!и „,. Число частиц, рассеянных внутри ~((«д»» за единицу времени, равно ЛЕ,(6)д(«ц„, Отсюда Е.(6) =)!(6)!'. (3.14.6« и, следовательно, нет необходимости знать полностью»р(Г„О), чтобы определить дифференциальное пли полное сечение,— нт жно знать только асимптотическую форму рассеянной волновой функции. (Выше для определения шола частиц, проходягцих через ГБ за 1 сек, использовалась только волновая функция рассеяния. Предполагается, что падающий пучок коллимировантаким образом, что не подвергшаяся рассеянию компонента не может достигнуть элемента Г(5, который находится на большом расстоянии от рассеивающего центра.
Такая коллимаппя всегда обеспечивается в экспериментальной установке.) Чтобы получить 1"(6) и, таким образом, найти сечения, мы должны решить сташюнарное волновое уравнение для двпжешш частиц с массой М, и положительной полной энергией (Е>О) в потенциальном поле неподвижного центра ра~сеяния.
Решение должно иметь асимптотическую форму Ьи 4»=Ф.Р.,+ФРЕЕ,=Е"'+ —,. 7(6), (3.14.7) где для удобства принимается, что амплитуда приходящей волны равна единице. Волновое число и выражено через начальну1о кинетическую энерппо по формуле (3.14.2). Но вели пша Тп равна полной эперпш, так как взаимная потенциальная энергия частиц прп очень больших Г равна нулю, и мы можем написать У Г (3.1 4.8) й !5. Решение волнового уравнении методом парциальных волн Стационарное волновое уравнение имеет вид 72Ф+ — д —,' (Š— !/(Г)! Ф=О, 2А4 (3.15.1) где Уе†оператор Лапласа в сферических координатах: «Ге = — — ~Г' — ) -)- — (з)п 6 — ) -(- —. (3.15.2) Ге дг ! дг) Г»з1пв дв ! дв) Г»е«Лев дэ»» ' Последнее слагаемое в этом выражении в данной задаче исче зает, т ет, так как ии одна из наших функций не зависит от Гп, По ложны ЕГ( ) АО1 (Г« в» (3.15.3) Тогда волновое уравнение можно нашюать в следуюгцей удоб ной форме: 1«й!»+ (к' — ЕГ (Г)! Ф -- О.
(3.15.4) й!ГЯ ищем решение уравнения (3.15.4), которое было бы везде ограничено, непрерывно и однозначно и которое имело бы асимитотпческую форму (3.14.7). '1 (Ге ))) ! '1из Е7(Г) ! + «1Е =О (3.15.7) и " (з! 6 — "''!+!(! 4-1) у'=О. (3158) мп е»»10 '»»1О) Уравнение (3.15 8) представляет собой частный случай уравнения Лежандра. Так как это уравнение второго порядка, то оно имеет два линейно независимых решения, каждое из которых можно представить в виде степенного ряда от сов 6, Оба решен|и обращаются в бесконечность при 6=0, если ! Ие равно нулю или положительному целому числу.
Поэтому приемлемымв с физической точки зрения решениями волнового уравнения а. Разделение переменных в волновом уравнении. Так как, по предположению, У зависит только от Г, то волновое уравнение можно разделить па два уравнения, одно из которых содержит только переменную Г, а другое — только переменную 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
