1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 22
Текст из файла (страница 22)
навскае приблимсение применяют в тех случаях, когда сдвш фаз мал, а приближение Джеффриса — когда тк ие мало. Пригодны также вариационные методы. Все упомянутые здесь методы подробно рассмотрены Маггом и Месси (см. (26), гл. 7), Месси (29) и Бейтсом (39, 40). Следует отметить, что приближение Джеффриса называется также приближением Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ), классическим приближением, приближением фазового интеграла и асимитотическим приближением.
прпбл ьке шаго в ь)ьажения Джеффр!!аз д'ь" одни!.ов фаз, который под'ьеркивает пх физический смысл, дан М сои и Барханом (см. (25)„стр, 111). Мы пользуемся прибли- 3. жснпем Джеффрпса для сдвигов фаз в гл. 4„9 г, и гл. 9, 6 6 !6. Барновское приближение Приближенный метод вычисления сечений, предложенный Барном (41], играет важную роль при исследовании атомных столкновений. Этот метод применим лишь ирп некоторых определенных условиях, но имеет то достоинство, что позволяет гораздо легче вычислять сечения, чем точный метод парциальиых волн.
Выведем теперь выражение Бориа для амплитуды рассеяния. Сведения а применении борновского прпближеьшя к сдвигам фаз читатель может наььтьь в библиографии, на которую даны ссылки в предыдущем параграфе. Основное допущение при выводе этого приближения состоит в том, что влияние потенциала рассеяния мало, так что взаимодействие между частицами можно рассматривать как возмущение. Поэтому достаточное, ио пе необходнлше условие — чтобы )«(«) было намного меньше Е, полной энергии бомбарднруюших частиц '). Мы будем исходить пз волнового уравнения (3.15.4) рй)' + )хв — (/(«)! ф = 0 и будем искать решение, имеющее для болыпих «асимптатическую форму (3.4.17) !ит ф = выл+ — — /(ьЭ) Матт и Месси (см.
(26), гл. 6, 6 4) показали, что общее нерасходящееся решение уравнения рвф+хлф=Р(х, у„г) (3.16.1) имеет вид ьи! г-.г' Ь ь)ь=гь'(х, у, -) — — „~ —, Е(г')бы', (3.16.2) где 6 — обьцее решение уравнения (3.16.3) '! Полробво условьж прпиеювюсти бороовспого приблпльепия рассма'1ььваьотся вноси 1291 !2В ГЛАВА З Лпеснзгчий пучок (3.16л)) где К==и ! па — и !.=-2ы азов 9 2 Поэтому общее решение волнового уравнения (3.15.4) будет определяться выражением гх ! г-г' ! ф =-Π— ~ 1,, — (/(г') ф(г') дт'. (3.16 4) Чтобы это решение могло иметь надлежащу!о асимптотическую форму (3.!4.7), мы должнь! положить О:=с!ха. Предположим теперь, что потенциал рассеяния достаточно быстро убывает при больших г' и зто имеется асимптотическая область, где г велико по сравнению с теми значениями г', которые дают значительный вклад в подыптегральное выражение Обозначим через п единичный вектор в направлении г (фиг.
3.16.1). Тогда !г — г'! Ры г — и г'+ ..., (3.16.5) н выражение (3.16.4) принимает вид Е'х' 1» ф Е!хз Е-2кп г'Ггт(»г) ф (!.!) Сй, т » 4л Принимая рассеяние слабым, мы можем с н!Тать, что на каждую точку в области рассеяния падает волна с полной начальной интенсивностью. Таким образом, мы можем заменить волновую функцио ф(г') в (3.16.6) на певозмушенную волновую функцию е""'. Тогда, сравнивая (3.14.7) и (3.16.6), мы видим, что 1 г 4л л (3.16.7) где и,— единичный вектор, направленный вдоль оси л. Интеграл в (3.!6.7) легко вычислить, если ввести углы сс и р, где а — полярный угол, измеряемый от направления вектора и,— и, и !) — соответствующий азимутальный угол. Тогда 2Л Л со )(О)= — — ! с(р) з(пади) е'к'созп(7(г')у' дг'.
(3.16.8) 4л Л а б о — импульс, переносимый за время столкновения, деленный на а. Если мы выполним интегрирование по а и !1 и раскроем скобки, то получим алиулитуду рассеян!!я в борновснол! приближении: 2м, ~ мак» (У(г)губ(г. (3.16.1()) р ТЕОРИЯ УПРУГО!О РАССЕЯНИЯ В ПОЛЬ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ ! 2! Фиг. 3.!6.!. Геометрической соотиоцгаииа мезклу векторами, используемыми црн вычислении упругого расселаия частиц а бориоаском приближенна. Рассеиваююий пеатр иазоаитск в точке В, а лействие его локализовано внутри сферы, показанной иа фигуре: г-р и сф: -рааиус-вектор то~ни, в которой требуется вычислить амплитуду рюсеиниой волны; г — рал~ у -ве й; г! — рал~ ус-вектор точки, котораа лает аызеп~!зй вклал в интеграл Рчы ссеииа; и — полерйый угол невку гг и осью, прокалив!ей через тому О пар аллельио вектору пе-п. Соответствующей азииутальиый угол В ие показан.
Приближение, используемое в данном параграфе, иногда называют первым борновским приближением. Описанный метод можно распространить на более высокие приближения путем итераций. Например, если выражение ,!х! г-г'! гр =е'" — — „~ ' „, (/(г')е! 'агт' (3.16.11) подставить в формулу )(О) ' ~ е- "еи(г') ф(г') (т', (3.16.12) 12 (3.1 7.!) 1/(г) = — ' е-", л«е (3.17.2) то мы получим аиплптудд ра«генная во втором борновеко ближении. м Хотя изложенная а данной главе теория нспосрелственн енима только к упругому рассеяшпо, борповское приближение е ри исслеи метод парциальных волн можно применять также и дованпи неупру>их столкновений. Примеры таких применен>гй рассматриваются в гл. 6 и б.
8 17. 1(улонавское рассеяние в борновском приближении В случае кулоновского рассеяния, когда потенциал равен ]'(г) = — ',"'. интеграл в выражении (3.16.!0) переходит в ) з!пКге/г, бессмыслеиный с математической точки зрения. Чтобы обойти эту трудность, прелположпм на некоторое время, что потенциал имев~ вид где у — положительная величина. Тогда интеграл в выра>кении (3.!6.10) переход>гг в з!и Кге-т' е/г =- — -.
— К2+ у2 о При у- О это выражение стремится к !/К, и тогла /(О) 6 лет равно улет /(0) = — 2~'"'4 62К' Так как К=2к з!п(0/2), амплитуду рассеяния можно записать следующим образом: /(В) =-— 2лляо Моо (й2) ' Величина Ьи равна импульсу /]4„оо, так что в конце копцов для дифференциального сечения рассеяния мы получаем 4М,в2> Мп" (1)!2) Это уравнение, хотя оно и получено приближенным методом, точно такое же, как уравнение (3.8.9), полученное на основе классической теории.
В то же время оно полностью согласуется с результатами точных квантовомеханических вычислений (см, (26), гл. 3). В предыдущем выводе ввеление множителя е> в (3,17.2) Лля получения «экранированного кулоповского потенциала» было просто удобным математическим приемом.
Но в некоторых физических задачах экранированные кулоновские потенциалы а точности описывают истинные потенциалы. Иапример, выра>кение (3.17.2) дает взанмну>о потенциальную энергию двух заряженных частиц в плазме, если считать, >то 1/у — дебаевский рациус экраниравания плазмы '). В этом случае экспоненциальпым множителем учитывается экранирующий эффек~ заряженньж частиц вблизи данного иона или электрона в плазме. В атомной физике, если 1/у порядка атохиных размеров, то (3.17.2) может представлять потепциальну>о энергию иона или электрона в окрестности нейтрального атома.
Злесь экранирующий множитель учитывает экранированпе ядра атома орбитальными электронами. 0тносительно рассеяния частиц в случае экранированного кулоновского по>епциала см. гл. 4, ф 1О. й 18. Рассеяние идентич>>ых частиц 2) До сих пор мы не упоминали об эффектах симметрии, возникающих в том случае, когда сталкивающиеся частицы идентичны, и нам нужно теперь изменить уравнения для сечения рассеяния, чтобь1 учесть эти эффекты.
Их физическая основа заключается в том, что одинаковые бомбарлирующие частицы и частицы-мишени принципиально невозможно отличить друг от друга и поэтому волновая функция, описывающая систему, должна обладать некоторыми свойствами симметрии по отношению к перемене местами координат лвух частиц. Именна, волновая функция должна быть симметричной или антисимметричной по отиошеншо к перемене частиц местами в зависимости от того, каков их палньш (объединенный) спин — четный или нечетный, т.
е. равен четкому или нечетному числу в. Чтобы показать правильность утверждении о симметричном характере волновой функции, будем рассуждать следующим образом. Поскольку сталкива>ощиеся частицы, по предположежепи>о, неразличимы, состояния системы, получающиеся одно из пругого при простой перемене частиц мес~ами, должны быть совершенно эквивалентны в физическом смысле. Это означает, чта волновая функция, описыва>ощая систему, в результате ) Си гра о~о»м 1 '1 См !19], 2л. 10, и !42]. Глава 3 одного обмена может измениться только на несущественный фа зовый множитель.
Пусть ф(1, 2) — пространственная часть вол. новой функции системы '), в которой енсе не произошел обмен, Цифры 1 и 2 отььосятся к двум частицам, образующим систему, Новая волновая функция, описывающая систему после перемены часпш местами, в соответствии с вышесказаи;ь' а . лжка определяться уравнением ф(2, 1) =-е"ьр(! 2) где а — действительная константа. Если перемену частиц ме стами повторить, то мы должны получить первоначальную волковую функцию, т.
е. ь! (] 2) езьаф (! 2) Таким образом, е""=-1 и е'л=;+1, так что ф(2, 1)= — + ф(1, 2). Мы валим, что при перемене двух частиц местами волновая функция должна либо остаться неизменной, либо просто переменить знак. В первом случае говорят, что волновая функция симметрична, во втором случае — что она антнсимметрична. Перемена частиц местами эквивалентна изменению направления соециняьощсго их раль>ус-вектора на обратное. В системе центра масс г прн этом не изменяется, тогда как угол О переходит в и — В, а а в в — а, поскольку а=г сов О. Поэтому, если мы будем считать, что потенциал взаимодействия — функция только г, соответствующее асимптотическое выражение для пространственной части волновой функции будет иметь вид ьис ь) = е' ь е-> '+ —,.
(/(О) -.-'/(и — О)! (3181) (где положительный знак соответствует симметричной волновой функции, а отрицательный — антисимметричной), а не (3,14.7) еш' ф = еьи*+ ' /(О) как было ранее при отсутствии симметрии. Волновая функция (3.18.1) содержит лве падающие плоские волны равной амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях, ь ) Гели учьпыаать спин, то полная аолиоааа фуикции будет аы ажатьсз как произвелеиис двух функций, одна из которых зааисит только от ирс. страистаеииых коордииац а другая — от спика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
