1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 18
Текст из файла (страница 18)
женно равен Лап/О„, так что условие 2 удовлетворяется только в том случае, если Ьа Ь )) — ", с'о (3.1 1.4) где 0 — угол Отклонения. ЕСЛИ МЫ ИСКЛЮЧИМ Лата та УВИДИМ, Чта СТОЛКНОВЕНИЕ МОЖНО Описывать с классической точки зрения, если ') бд » —. (3.11.5) ') Подробнее о критерии прпмеюрмоетн хласгл«ческой теарпп азесеяррин см. гл. 4, й 1О. Классичсское выражение лля угла отклонения таково: б=-«" т/вша, где Ем — компонента силы, действующей на бомбар.
дирующую частицу по оси у, а т — «длительность столкновения», которую можно считать равной у/оо. Если мы положим /«э = )д)г/дг', у/г, то получим бу = ! д)Г/дг )дз/гтаао. Таким образом, б„стремится к нулю прн уаа (или прн 6- О), если 1«убывает быстрее, чем 1/г, при больших г. В случае таких потенциалов тгопия мпгюОгО РАссеяния в поле ш:нтпдльиых сил 07 класснч ' снчсское описание оказывается неудовлетворительным прн лостато'« то'шо малых углах для любой длины волны й/«нера бомбарошей частицы. Отклонения на углы, меньшие некоторого МН«1««МаЛЬНОГО уГЛа было= л/таад, НЕЛЬЗЯ НабЛЮдатЬ, а ПОСКОЛЬ- ьу именно эти отклонения делакзт ур бесконечным с классической точки зрения, квантовомеханическое значение с/„может Оставаться конечным ').
Улучшение разрешающей способности при о бора не приводит к бесконечному увеличению измеряемого значения полного сечения. Особый интерес представляет случай упругого рассеяния электрона в статическом поле атома. В первом приближении, если пренебречь возмущением атома под действием электрона, взаимная потенциальная энергия на расстоянии г от центра ато- ма равна р рч р" ~ р„~р !рр,р„вр, «.! рэр, «~1, рз рррр о где 2в — заряд ядра, а р — плотность заряда электронов атома.
Эта энергия обычно выражается следующим образом: — 2 ех 1«(г)= - —,~ (3.1 1.7) где 2 — эффективный заряд ядра. Вообще говоря, 2„экспонен- циально убывает с расстоянием г при больших г, и в результате получается конечное значение ум если задача рассматривается с квантовомеханнческой точки зрения. ') ))а езхюм деле полное сечение ос«затее конечным толька в том случае, если )«!г) етоемичсп п пулра при балыках г быстрее, чем 1/г«. «пазовые адечгп (ем гл.
3, й 13) конечны, если $«(«) стремится к пул«а быстрее, чем 1/г', тогдз хех дифференциальное сечение пр«« ер=-О огрзпр«чена, только еелп 1«(г)-+О быстрее, чем 1/рч, Дохззэтельство этих утверждеппй можно найти е рабоче (23!, Стр. 326. т и. мрн даниель $ 12. Требования, предъявляемые к разрешающей способности прибора при измерении полного сечения упругого рассеяния Месси и Бархан (см. (25), стр. 5, 391, 49!) указывают на то, что для надежных измерений сечений необходимо обеспечить достаточно хорошее разрешение.
Чтобы измерить сечение упругого рассеяния электронов молекулами с точностью 1 /о, приз бор должен быть чувствительным к столь малым отклонениям, как 11' для электронов с энергией 1 зв, 6,5' лля электронов с энерпсей !О зв, 2,3' для элс.ктронов с энергией !00 зв, 0,85' для д2 д2 д2 дхе д) '„' дкм (3.13.2) гй д2 д2 дХмз ду~~~ дКм (3.13.3) (3.13А-) (3.13.5) г=-Йм — Йм, д д М д дХ дх+ +М дХ и ',,Г ),4 электронов с энергией 1000 эв н 0,2' для электронов с энергией 10000 эв. Эти данные справедливы почти для любого типа мо. лекул мишеней.
Когда бомбарднрующими частицами являются атомы, требования гораздо строже. Пусть 02 — минимальный угол откло. пения, который необходимо регистрировать для того, чтобы ошибка в полном сечении не превышала )025. В том случае, когда и бомоардируюгцими частицами, и мишенямп служат атомы гелия, 02 равно 3,6' при энергия 0,0255 эв, 2,0" при энергии 0,0862 эв и 0,59' при 1 эв. Для атомов аргопа, сталкивающихся с атомами аргона, соответствуюгцие минимальные углы равны 0,70„0,30 и 0,11'.
(Углы и энергии измеряются в лабораторной системе координат.) Разрешающая способность, требующаяся для измерений полного сечения, растет, грубо говоря, пропорционально относительной скорости сталкивающихся частиц, н в случае столкновений протонов с энергией 100 эв с атомами гелия для обеспечения точности измерений, равной примерно )0$, нужно, чтобы аппаратура позволяла регистрировать отклонения на угол, нс превышающий 7' )25). Лополпптельные сведения о распределениях тяжелых частиц по углам и требования, прсдь. являемые при этом к разрешению, приведены в гл. 4, д 5. Мы можем теперь выводить квантовомеханнчсскне выражения для сечения рассеяния.
Первый шаг в этом направлении заключается в том, чтобы показать, как можно при квантовомеханическом рассмотрении выделить движение центра масс взаимодействующих частиц из движения системы в целом, как при классическом рассмотрении. ч 13. Выделение движения центра масс из общего движения Пару частиц, испытывающих взаимное рассеяние, с квантовомеханической точки зрения можно описывать с помогцью волновой функции 21Г(Й, Й,Г, 1), где Й„= (Х,„, Ум, Х,,) и Йм = == (Хм, Ум.Ям) — векторы, определяющие положение часзпщ (с массой лГ и М) в лабораторной системе координат, а à — - время. Физический' смысл этой волновой функции таков: величина ;Ч" (Й „Йм, Г) )2Г)т Итм дает веРоЯтность того, что в момент вРеменн 1 частица л2 будет находиться внутри элемента объема Г(т прн Й, а частица М вЂ” внутри элемента объема Г(тм при Йм.
Эта волновая функция подчиняется нестацнопарному волновому уравнению Шредингера (д-;2)-=--,„-,? умЧ + 2,? Г Ч )Х(Й„„Й ) Ч (3131) дж У2 2 й2 2 теОРия упРРГОГО Расссяння в поле цен2Рллы)ых сил я)) р(Й„, Й ) — взаимная потенциальная энергия системы, когда т находится в Й„„а М--в Йм. Так как, по предположенкю, силы центральные, то )х=)х() Ʉ— Йм)). Положим теперь (ш+ М) Й = тй,„.+ Мйм где Й=- (Х, У, л)-- вектор, определяющий положение центра сс в х частиц в лабораторной системе, а г= (х, у, я) — вектор„ соедннякнций частнць) н направленный от М к т. Затем, та д д м д дХ дх + т+д) дХ и так как аналогичные соотношения имеют место и для других координат и вторых производных, то оператор й' 2, й' д + 'Л~ Х преобразуется в оператор Ь2 2 Р— Ул+ — — У зд)2 где М,=т+М вЂ” полная масса и М, — приведенная масса. При таком преобразовании волновое уравнение (3.13.1) принимает вид где Ч'=Ч'(г, Й, 1).
Мы можем теперь разделить персменныс и получить решение в форме Ч'(г, Й, Г) = л'(г, г) а (Й, Г). (3.13.?) !ОО ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ УПРЬТО!О РАССЕЯНИЯ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЫ1ЫХ СНЛ 1О) (313.10) (3.13.11) о о ! Если подставить (3.13.7) в (3.13.6), то мы п то мг~ получим уравнение г)Л Г- — гд — = —,, р'Р— (л (г) Р 1. СГ, — — (333.8) гнз йз — г'д — = —,— г ЯΠ— Сб, гм 2Мг (3. '. (' .13.9) где С вЂ” константа.
Тогда, если мы положим Р'(г, 1)=)(г, 1)егснь 6((г, г)=д(й, Г)е-1сьз, то получим следующие уравнения: г)1(г Г) 1Р— гд — '= — —, Р1(г, 1) — Ь'(г))(г, 1), (3.13.г2) дд (й, Е'7 й' — =- —.„—,, '8(К. 1). (3.13.13) Таким образом, мы вн выразить в виде дим, что волновучо функцшо можно Ч'(г, 14, К) =) (г, Ф) й (К, 1), (3.13.14) где 1 и д удовлетворяют (3.13.12) и (3.13.!3). „ равнение, которое описы Уравнение (3.13.12) — волновое уравне вает поведение взапмодействуюгцпх части ц в системе центра сс, ак и в классическом случае, это движение можно ассматривать как движение частицы с ма " М с массой „вокруг неподвижного рассеивающего центра.
Уравнением (3.13.13) ие 1 .. ) двпжевижение свободной ц р масс частиц описывается как движ частицы с массой Мг в лабораторной системе. . Квантовомеханическая формулировка задачи ке 14. К рассеяния ф р улпровать задач, Из сказанного выше мы видим, что сформулпр ие гипотетических шрасссяния можно, рассматривая поведени и силы. В ла стиц с массой М„взаимодействующих с неиод .
ь внжным центром классическом случае мы можем определить точную траекторию каждой бомбардиру|ошей части гя н ю ско ость ое и иаРаметР столкновениЯ О (пли чсРез гзолн)зо шнм принципам кванто энергшо Е и момент количества движения 7). С . О я .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
