1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 13
Текст из файла (страница 13)
торых случаях 1! сводится к функции распределения Максвел. ла — Больцмана. Уравнение Вол»Клана, являющееся отправной точкой для самых строгих вычислений в кинетической теории, описывает действие прнложеш1ых сил и столкновений на функцию распределения. Как и уравнение Лиувнлля (2.11.2), оно имеет форму уравнения непрерывности (2.1!.3). Но мощность источника уже не равна нулю, так как мы теперь допускаем возможность взаимодействия частиц, выражающегося в столкновенпях с частицами их собственного типа и с частицами других тинов. Обозначим через а ускорение, вызываемое непрерывными или усредненными силами. (Если, например, частицы рассматриваемого нами типа — ионы, то это ускорение может быть вызвано приложенным извне электрическим полем.) Влияние столкновений н микроскопических флуктуаций учитывается отдельно мощностью источнике или мощностью столкновений.
Таким образом, уравнение Больцмана имеет вид — .Ч,1!.+а.1! 1,=(!.ВЗ) где 7,— теперь оператор градиента в трехмерном пространстве конфигураций, а ('» — оператор градиента в соответствующем трехмерном пространстве скоростей.
ВМощность» столкновений представляет собой сумму и интегралов, соответствующих числу и различных родов частиц, присутствующих в газе. Каждый нз этих интегралов, обозначаемый буквой В с соответствующими индексами, дает скорость изменения функции распределения частиц рода 1, вызываемого столкновениями с частицами рода 1, при движении вдоль траектории частиц !. Интеграл столкновений Вгь очевидно, получается как разность между скоростями рассеяния частиц ! внутрь элемента объема т(!о! и в окружающее его пространство вследствие столкновений с частицами у. Из того, что было сказано относительно скоростей реакций в гл.
1, Э 4, следует, что интеграл столкновений имеет вид В!т"'о =- )' )' 1,(о') 1,. (ч') о,'?,(О, о,') аа !Во !?зо ~ 1? (ч ) 1! (» ! )оа? (О, о ) и'О„!тзо !(зо (2 12 2) Ос",НОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ НЗ КИНЕТИ'!ЕСКОГ1 ТЕОРИИ !АЗОВ у, =- ч11, (2.12.4) а д,— компонента в пространстве скоростей: д! =-- а1Р (2.12.5) Фупкпию распределения измеряют очень редко, но ра азличпые моменты распределения по скоростям могут быть определены экспериментальным путем. Такими моментами являются плотность част1щ (сьв.чяр) дг=. 11(г, ч, 1)т(зо средняя энергия (скаляр) = ( о»1,?зо 2В! скорость дрейфа (вектор) о„=- — ~ т!1г?зо, кинетическое давление (тепзор) Р-- т ~ Ъ -- ч )(и - Вк) 1г?ао, (2.12.6) (2.12.?) (2.1 2.8) (2.12 9) ')Ооо' и 1 (о'.)т(зо'.— числа частиц, которые находятся в эком поло оложении, из которого они могут быть рассеяны в эле- з енты о е объема пространства скоростей г( о! и ВВО1, тогда как (ч;)!(Ео! и 1,(ч!)!(То! — числа частиц, находящихся в таком по! з которого они могут быть рассеяны из элементов (1, .
ф. о,н '', »в н !1»о1; о,— относительная скорость и !,(тт, ок)п..,1 — днф- а ереппи 1иальпое сечение рассеяния в системе центра и сс; г1„,! =--В11! О!(От(!р — элемент телесного угла в системе центра зсс Интегрирование производится по всем углам рассеяния и м скоростям рассеивающих частиц. Интеграл столкновео всем ск р мя ий лег , ° ко вычислить только в том слу!ае, когда среднее вре вободного пробега постоянно, о</,,(!З, о„) =.-сопай уп1тывая тот факт, что функпией распределения определяется ток частиц в !Дестнмерном фазовом пространстве, мы можем написать уравнение Больцмана в форме, соответствующей этому физическому содержанию: и — „' + ~, - у + ~.
а; = „~1 В л 1 Здесь у. — компонента тока частиц в пространстве конфигураций." Глаза 2 тепловой поток (тензор) Ю'=т [ (ч — ча)(ч ---чи)(ч — ча))ьпзп. (2.12.10) й 13. Методы решения уравнения Больцмана ') Уравнение Больцмапа лишь с очень большим трудом под. дается математической обработке, и для его решения приходится прибегать к методам разложения в ряд. Исключение составляет лишь один случай, когда средняя длина свободного пробега постоянна. Одним из наиболее употребительных методов являешься метод Чепмена — Энскога.
Он применяется в тех случаях, ког а рассма риваемая система близка к тепловому равновесию. т В этом методе функция распределения разлагается в ряд по . степеням параметра возмущения а, который вызывает отклоне ние от равновесия: ) = [о+ а)'+ а'['+ ... (2, И.1) В результате уравнение Больцмана сводится к линейному. Возмущенная функция распределения затем разлагается на поли. номы Сонина, н интегральное уравяение сводится к бесконеч. ному ряду алгебраических уравнений. Этот метод хорошо разработан и подробно описан в литературе (см. [7[, а также [8[, часть 2). К сожалению, метод Чепмена — Энекога оказывается мало пригодным в случае заряженных частиц в электрическом поле, так как ряд в этом случае плохо сходится.
Применяется также другой метод возмущений, при котором полная функция распределения рассматривается как сумма функции [а, характеризующей устойчивое состояние, невозмущенную систему, и небольшой добавки 7ь обусловленной возмущением: (2.13.2) 1(г, ч, 1)=[,(г, ч, ~)+7,(г, ч, 7) Здесь функция 1а(г, ч, 1) не обязательно максвелловская, по предполагается, что либо она известна, либо ее можно вывестн на основании физических соображений. Если (2.13.2) подставить в уравнение Больцмана, то получится уравнение для [ь Если же это уравнение привести к линейной форме, пренебрегая члепамн второго порядка, то полу шм следующее уравнение: — '+ а, !А = — )и (2.13.3) где 0(н07 — полная производная по времени от [2 в шестнмер.
ном фазовом пространстве, а а2 — ускорение, обусловленное ') Соле жаи ) , рж иие лаппого параграфа азата в оеновноы из работы 127]. основныс сведения из кинстичсскоп тноР1нз 1л:;оп 7! мушепиямп. Правая часть представляет собой интеграл, ыпте~ ральиое выражение которого линейно относительно возшьеннои функции распределения. Этот интеграл столкновений Роксимируется правой частью уравнения (2.!33).
Величина, атная эффективной частоте столкновений ч, играет роль врен релаксации — если удалить возмущение, то ~~ убывает как Сушествует много способов решения (2.!3.3). Один из них, орый особенно удобен в случае легких частиц, движущихся Реде, состоящей из тяжелых частиц, заключается в разложе- фупкцни распределения иа сферические гармоники в пространстве скоростей. Этот метод часто применяется при рассмотрении пОВедения электронов в газах (см. гл. П, 'з 4) и нейтроноз, проходящих через толщу вешества с большим атомным весом. я 14. Ограничения теории Больцмана Пользуясь уравнением Больцмана, мы делаем допущение, что частицы газа движутся свободно, за исключением тех промежутков времени, когда они испь1тывают парные столкновения; эти промежутки времени малы по сравнению со средним временем свободного пробега.
Уравнение Больцмана на практике можно применять с успехом лишь тогда, когда приходится иметь дело с газами сравнительно малой плотности, состоящими из незаряженных, сферически симмстричпь1х молекул. Успехи в развитии кинетической теории для плотных газов и многоатомных молекул описаны в книге Гиршфельдера, Кертисса и Берда [8[.
Несколько других приближений к теории Больцмана применяются пря исследовании сильно нонизовапных газов. В одном приближении используется уравнение Фоккера — Планка, в котором задача выражается через большое число одновременных далыпах взаимодействий между заряженными частицами газа, а пс через последовательные взаимодействия на близких расстояниях. Метод Фоккера — Планка рассмотрен в риде работ (см., например, [23, 27 — 33, 39[). Другое приближение дается уравнением Власова, или бесстолкповительным уравнением Больцмана [3 — 38[. В этом случае в уравнении Больцмана соверпзенпо пренебрегают интегралами столкновений и получаемый результат совместно с уравнениями Максвелла для элек'громап1итного поля дает систему уравнений, которая приближеш1о описывает сильно ионпзованпый газ.
Существует еще одш1 метод решения задачи на основе магнитной гидродинамихн, В котором используются уравнения гидродинамики совместно с уравнениями Максвелла, а ионизованпый газ рассматрпнается как жидкость. глава ь Ф ИЯ УЯРУЕСГС РАССЕЯНИЯ И ЛОЛЕ ЦЕНТРАЯ3»НЫЕ СИЯ :гз (3.1.1) литнилтуил а, 1. К е п п а г д Е. Н., К|иенс ТЬеогч о1 !завез, Меч« уогК 1938. 2 3 е а и ь Е Н., Аи !п1гобпсиоп 1о |Ье К|не|к ТЬ 1 О ., С 1940.
еогу о азеч, а!,!Ь!!, Яч 3. Р ге зе п 1 К. О., К|пенс ТЬеогу о1 Оазез, Меч« УогЕ !958. 4. Ь оеЫ.. В., К|пенс ТЬеогу о1 Оазеь, Зд еЕ, !»е» уогЬ, !961. 5. Со»! ! ! п К Т. О., Мо|есп!ез |и Мо|!оп, )чегч уогЬ, !960, 6. 3 е а и з,!. Н, Тье Оупвп!!са) ТЬеогу о| Оазез, Ые»ч Тоги, !954. 7. С Ь а р п! а п 5., Со» 1! п 8 Т. О., ТЬе Ма(ьепза1!са( ТЬеогу о| Моп-игч 8. Й |гзс Ь|е|б ег .!.
О., С ц г|12 з С. Г., В | г6 К. В. Мо|есп!аг о| Оазез апб Е|ци|бз, )4е»ч Уогх, 1954. 9. 1. а и! Ь е г 1 Л О., н на иге «А1оппс впб Мо|еси!аг Ргосезьез», еЕ Р. К. Ва. ез, Меи УогК 1962 (имеется перевод: «Атомные н мо !ек ля ные п 1О. цессы», ред.
Д. Бе|ни«, нзд-во «)|Ь!р», 1964, . 20). . ТЬе Зс|еп|Нк Рарегз о1 Закеь С)егЬ Мах!чей, Е '»!. О. ЬГ , гл !(е» Уогй, 1952, р. 26. ах»ге, е... )»|чеп, чо!. 1|, Н, Мвзоп Е. п Е. А., 5 с Ь а и р Н. 1«'., и книге «Епсус1ореб|а о1 РЬ каса! ги|з(гу апд СЬеппса! Та!уз!сз», Ьопдоп, 1964. 13. Е а пдеч |п Р., Апп. СЬпп. РЬуз., 5, 245 (1905]. 14.
О а!3 аг по А., Тч!11|асях А., Ргос. РЬуз. Зос., А72, 274 (!958 . 4!1 !5 М а з о и Е. А., 5 с Ь а и! р Н, 112., Апп. РЬуь., 4, 233 (1958). !6. Оа! агпо ь., н кн А., н книге «А1опис апд Мо!есп1аг Ргосеззез», ец О. К. В"- % !ез, Меи УогЕ 1962 (имеет ( ся перевод «Атомные н молекулярные про- цессы», ред, Д. Бейте, нзд-во «Мнр», 1964, гл. 16) 17. (Уз!И!пап и 1., в книге «НапбЬпсЬ бег Рьуз!и», Вд. 12, Вег||п, 1958, 18, Огай Н., в « !9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
