1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Расчеты Лзижекеии-. прекрзсиыи пример прпмеиекия строгого металз переноса импульса, предложепиого Мзксзеллом, к рещеиию труппой задачи. Г)о этой причине, з также потому, это результаты расчетов очень цеииы, основное содержэиие статьи приводится изми в пркложеиия 2. Аизлогичиые расчеты коэффициента диф. фузиц можио изйтя тзкже з гл 8 кияги Г)резеитэ 13] (тзм же в гл. 1! ляется и общяя трзктопки метода переноса импульсз). ') См 171, гл. й, 181, гл. 8, з э зкже 114, 161. дянжсвен [13[') дал общий и строгий расчет Я„. Ре- ат данжевепа, выраженный через интеграл столкновес) более точной теории, раавитой впоследствии Ченменом .
1ом (см. [7), гл. 9, [8[, гл, 8, а также [14, !5)). имеет сле„Внсьогом см. чошпй внд: (2.10.3) гллвл 2 5 1Ь Мак-даниель .ао ф массу л1, половинным значением молекулярной массы отдель. ной присутствующей компоненты. Существенно отметить, что классическое описание процесса диффузии оказывается неудовлетворительным при очеш низких температурах (см. гл. 3, 9 10) или в том случае, когда приме- .'-$;.
няется не один, а несколько потенциалов взаимодействия, как ',';,.~, при диффузии возбужденяых атомов через газ„состоящий из:,-'42 таких же невозбужденпых атомов, и при самодиффузии атомов,,;,''!' .л не имеющих замкнутой оболочки. При этом получаются очень '-.",': болыпие сечения диффузии и малые коэффициенты диффузии ','.: =: [!6). В таких случаях при вычислении сечешчя диффузии следует,'.",. пользоваться квантовой теорией, а полученное таким ну~ем се. ':.,",. ченпе можно затем подставить в уравнения классической кине- .-':: тической теории, чтобы получить Я12 (см. гл.
9, 3 3 п. «б»). й!ы отложим дальнейшее рассмотрение процесса диффузии до гл. 9, 10, в которых особое внимание будет обрашено на дреи-'.':! фовые скорости и геометрическое распределение. электронов и -"4 ионов, диффупдирующих через газы. Дополнительные сведения -";,,' о теоретических и экспериментальных оценках коэффициентов -:.:: диффузии читатель может найти в работах Чепмена и Каулип-'-.'; га (7), Гиршфельдера, Кертисса и Берда (8), Далгарно (16) я Вальдмапа !'!7).
Обратимся теперь к некоторым вопросам фундаментального ',.".~' характера, которые очень существенны при строгом теоретическом исследовании свойств нейтральных и ионизованных газов..',:,: Чепмен и Каулипг дали обзор развития кинетической теории, ".";: которая детально рассмотрена в нх книге (7] и в книге Гирш-. ',',"„ фельдера, Кертисса и Берда (81 Подробный обзор совремепной: -'.:: теорни дан также в книге Града !18]. ч 11. Фазовое пространство и теорема Лиувилля ') Рассмотрим динамическую систему, имеющую з степенен свободы.
Движение этой системы можно описывать с помошью.'. !1 з обобщенных координат дь дв,..., да и з соответствующих обоб шенных импульсов рь рь..., Ра. Совокупность 22 значений этих переменных можно рассматривать как координаты точка в пространстве 2э измерений, называемом фазовым пространством, в котором обобшенпь1е координаты и импульсы играют роль де-.:! картовых координат. В таком случае набор начальных условий ':„'2' задается одной точкой, н когда система движется некоторым определенным образом, точка, представляющая ее в фазовом пространстве, проходит в этом пространстве некоторую траекторию. ') См.
!)1, гл. 9, в также [!9 — «4]. основныг свечения из кингтнпскоп ггоРПН глчог бз ассмотрим теперь большой ансамбль невзаимодействуюших лей (реплик) нашей динамической системы, с различными ,,ьпыми условиями, т. е. выходящих одновременно из разил ш,,ьп 1 личных то ых точек фазового пространства ). Состояние этого полного набора с б ра систем в любое время можно описать рядом точек в фазовом и пространстве, а истории этих систем можно представить ьак дв движения различных «фазовых точек» через фазовое прострапс в . апство. Если число систем достато'шо велико, то ряд точек ножниц представить как непрерывную функцию распределения (д,..., Ча, РЬ Ра), НаЗЫВаЕМУЮ ПЛОтнОСт2 Ю В фаЗОВОМ ПРО- стране транстве. Согласно теореме Лиувилля, плотность таких точек вокруг некоторой одной точки остается постоянной во времени.
Эта теорема доказывается следующим образом. В данный момент времени число точек в фазовом пространстве, представля2ощих системы, координаты и импульсы которых .лежат в пределах Лг7, Лйа, Лра... Лр, в некоторой фиксированной точке )ь ...,4!а, Рь , Ра, равно РЛс), ... Лл),др, ... Л,,= — РЛ)л, где Л!л — элемент обьема в 2э-мерном фазовом пространстве. Эти точки пройдут через каждую нз двух перпендикулярных ОСИ 2)~ СтсрОН Л'И' СО СКОРОСТЬЮ, раВПОй (РГ)2)Лд2... Лра, ГдЕ Зпачепие (Рд2) соответствует той стороне ЛР, которая рассматривается в данный момент. Такой же поток проходит через противоположную сторону, и результирующий поток, выходящий из Ль через стороны, перпендпкулярпеяе оси дь равен д(пч,) Л дч, если пренебречь членами более высоких порядков.
Определим теперь, какова величина потока, выходящего через все осталь- ные пары сторон элемента объема ЛР, соответствующие коорди- натам 72,..., Ра. Если мы сложим все скорости этих направлен- ных вовне из объема Л)г потоков, приравняем сумму потере точек внутри Л(г и перейдем к пределу Л= —.О, то получим диф- ференциальное уравнение для р: ~аао "ьрл~ М 4~ ач, р, 2-1 В последнее уравнение входят частные производные по времени; "" Уи .
Ф ар )а'н г' » а "вчяивюи1ио двигаться яри Рвчличимх иачвльйых условиях, и отсчитиввть в см Речи, ягои~елшее в каждом случае с момеига ив ~влв движении системы. 67 ГЛАВА З (2.11.4) Из уравнений Гамильтона дН 4'ь= ар ар, (2.11.5) (2.11.2) ' данной неподвижной точке в фазовом пространстве. Дифф р цпруя, получаем фферен дН вЂ” — (!=1, 2, ..., з), (2.11.1 где Π— гамильтониан, следует, что первый член в квадратных скобках исчезает. Таким образом, мы получаем Этим уравнением выражается тот факт, что полная скорость из-. менения р во времени вдоль траектории в фазовом прострз - ..
с тве равна Пуп!о. Первый член представляет собой скорость изр трзнменения р во времени в некоторой фиксированной точке фазового пространства и называется местной скоростью изменения. Второй член выражает скорость изменения р во времени, обусловленную потоком, илп течением, в пространстве конфигура-- ций. Последний член выражает изменение, производимое тече-; нием в проьтранстве импульсов. Уравнением (2.11.2) выражается теорема Лиувилля. Оно.:г имеет форму уравнения непрерывности для потока точек через '," фазовое пространство: д (плотность) + ть (поток плотности) мощность исто ника (2.11.3) в частном случае, когда мощность источника равна нулю').
Эту теорему можно записать в краткой форме,если воспользоваться г «мобильной»' ) производной, т. е. производной, следующей зз ' движением точки. «Мобильная» производная в этом пространстве определяется через скорость и, приложенную силу 1 и опс- ':='' ') Моьцнооть источника и данном случае равна нулю, иоскольк системы, об ззую и р . щ е ансамбль, не способны к иззимодойсгии!ш Фззоиые тоюя, льк) кзждзи из которых иредстзши!ет одну из систем ансамбля, ие стзлкинзютоз ми!иду собой: мехзнизмз длк создания нли уничтожении точек но существуеТ и частица но может внезапно перейти из одной облзстн фазового и ост зн' ру у и результате столкновения о другой точкой фззоиога ирогтрзнстзз.
з) П советской научной литературе этот термин не получил широкого рзоирострзнеиии. — Прим. ред. ры ! ы, радиептов в з-мерных пространствах конфигураций и . ьса й и пи следую!пил! образом: — —. —.+ ч '(ь, +1 ьь' . образом, теорему Лпувилля можно теперь выразить в уюпььм простом виде. ь)ь теорема играет важную роль в кинетической теории н статической механике. Из пее следует, что обьем в фазовом странстве, занимаемый собранием точек, постоянен во вреи — точки пе имеют тенденции скапливаться в какой-либо ооласти фазового пространства. Таким образом, можно считать, что точки образуют несжимаемую жидкосьь.
Теорема Лиувилля утверждает также, что если в некоторый момент точка находится внутри бесконечно милого объема фазового пространства, то она будет находиться в соответствующем объеме такого же размера и по прошествии времени й Форма соответствующего объема может быть„правда, совершенно иной. Описанное в этом параграфе 2з-мерное пространство не является единственно возможным, хотя н обладает особыми преимушествами (см. (1), гл.
9, а также (19 — 24)). В следующем параграфе мы будем пользоваться фазовым пространством шести измерений, три из которых соответствуют пространственным координатам и трн — связанным с ними компонентам скорости. Система Л) частиц описывается в этом пространстве совокуп!встык Л!' точек. Пирс (25) ') рассматривает движение пучка электронов через произвольную комбинацию электрического и магнитного полей и показывает, что теорема Лиувплля применима к 6-мерной плотности числа элеюгропов при условии, что псзш не зависят от положений электронов, т.
е. в 6-мерном фазовом пространстве плотность электронов в окрестности данного электрона не изменяется прн движении электрона вдоль пучка. й 12. Уравнение Больцльана Строгая кинетическая теория газов исходи.! из функций распределения 1! (г, ч,)) для каждого вида присутствуюпьих частььц. Функция 1! — плотность частиц ь-го вида в шестимерпом фазоьом пространстве. В частности, )ь(г, ч, 1)Ргь)зп — число частиц типа ь, которые в момент времени г находятся внутри элемента !) См. также 126) Ва ГЛХВЛ ! объема т(зг с центром В г в пространстве конфигураций и имею! скорое~и, лежащие в элементе объема !(зо с центром о в про странстве скоростей. Функпня распределения удовлетворяет ин. тегрально-дифференпиальному уравнению Больцмана. В неко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
